大学教案—线性规划

1、渭南师范学院 数学系教师教案纸渭南师范学院数学系讲稿 2012 2013 学年 第 二 学期教 研 室 计算数学 课程名称 线性规划 授课对象 数专升本12级 授课教师 路玉麟 职 称 讲 师 教材名称 线性规划武汉大学出版社张干宗 2013年 3月10日 第 页 线性规划 课程教案讲稿授课题目（教学章节或主题）：前言 线性规划概述授课类型课堂讲授授课时间第 1 周第 1节教材分析： 本章主要介绍了线性规划的基本概念。教学目的与要求：要求学生掌握线性规划的作用和意义。重点与难点：重点：线性规划的基本概念难点：常见线性规划问题教学内容与过程（设想、方法、手段） 启发式教学、课堂精讲、讲练结合思考

2、题、讨论题、作业：参考资料（含参考书、文献等）：教学内容与过程课后分析前 言线性规划的英文全称为：Linear Programming，可简称为LP一、线性规划所属学科线性规划是“运筹学”中应用最广泛、理论最成熟的一个分支二、线性规划发展简史三十年代末，苏联数学家康托洛维奇开始研究生产组织中的线性规划问题1947年美国数学家丹捷格提出了单纯形(Simplex)方法及有关理论，为线性规划奠定了理论基础五十年代，线性规划成为经济学家分析经济问题的重要工具随着计算机的迅猛发展，线性规划现被广泛应用于工业、农业、商业等各个领域三、用线性规划方法解决实际问题的两大特点1、全局性从全局出发，将全局目标作为

3、追求目标；2、定量性通过建立数学模型，对实际问题进行定量分析，而不是只做定性分析数学模型指：将实际问题用一系列数学表达式(函数、方程、不等式等)表示出来，称这一系列数学表达式为该实际问题的数学模型同时应注意全局的相对性，即对于车间，企业是全局；但对于集团公司，企业是局部，集团公司才是全局 教学内容与过程课后分析四、线性规划方法解决的两类问题1、任务一定，如何安排，可使人、财、物最省；2、人、财、物一定，如何安排，可使任务完成量最多五、线性规划可解决以下几方面的问题、运输问题：某产品有若干个产地、若干个销地，如何运输，使总运费最省；2、生产组织问题：3、配料问题：如何搭配各种原料，既符合质量(营

4、养)要求，又使成本最低；4、投资问题：资金一定，投向谁、投多少、期限多长，使若干年后本利和最高；5、库存问题：在仓库容量有限情况下，如何确定库存物资的品种、数量、期限，使库存效益最佳；6、合理播种问题：在土地资源有限的情况下，种什么、种多少，使效益最高；六、用线性规划方法解决实际问题的步骤1、提出问题，收集资料；2、建立线性规划数学模型；3、用线性规划方法解模型；4、给出最优决策方案七、讲授内容1、建模；2、用图解法解线性规划问题；3、用计算机软件解线性规划模型；4、写最优决策方案八、考试方式：教学内容与过程课后分析线性规划 课程教案讲稿授课题目（教学章节或主题）：第一章 线性规划数学模型的建

5、立授课类型课堂讲授授课时间第 周第 节教材分析：本章通过例题说明线性规划数学模型的形式、三要素及建立数学模型的方法教学目的与要求：通过本章学习，使学生理解线性规划数学模型的概念及一般表示形式；掌握线性规划数学模型的三要素；掌握建立线性规划数学模型的步骤和方法；能熟练的建立一些问题的线性规划数学模型；理解线性规划数学模型解的含义重点与难点：重点：线性规划数学模型的建立难点：建立线性规划数学模型教学内容与过程（设想、方法、手段）启发式教学、课堂精讲、讲练结合1、 供求平衡条件下的运输问题模型的建立；2、 线性规划数学模型的三要素；3、 建立线性规划数学模型的步骤；4、 线性规划问题解的概念（可行解

6、、可行解集、最优解、最优值）；5、 线性规划的概念；6、 线性规划数学模型的一般形式思考题、讨论题、作业：参考资料（含参考书、文献等）：教 学 内 容 与 步 骤备注本章通过例题说明线性规划数学模型的形式、三要素及建立数学模型的方法一、建立线性规划数学模型的例例1 供求平衡状态下的运输问题有两个农场和，产粮量分别为23万吨和27万吨，要将粮食运往，三个城市，三个城市的粮食需求量分别为17、18和15万吨农场到各城市的运价如下表运价表 单位：元/万吨运价城市农场50607060110160问：应如何调运，可使总运费最省？试建立该问题的数学模型分析此问题有两个供应方和，三个需求方，假设这五者组成一

7、个封闭系统，两个供应者的粮食只能提供给这三个需求方，同时三个需求方的粮食也只能从这两个供应者处获得要建立该问题数学模型，必须首先从问题出发该题问“应如何调运，使总运费最省”“应如何调运”指从农场分别向三个城市运多少万吨粮食(三个量)，从农场分别向三个城市运多少万吨粮食(三个量)，共计6个量 上述6个量是可以变化的，在计算前是未知的，是有待决策的，称其为决策变量在建立数学模型时应首先将其设出为便于区分供应方和需求方，将其设为双下标变量设：从农场运往城市的调运量为万吨教 学 内 容 与 步 骤备注注意，此时的既表示从农场发往城市的发出量，同时也表示城市从农场处的接收量如表示从农场运往城市的粮食量，

8、同时表示城市从农场处的接收量为方便讨论问题，运输问题通常先列出如下调运表调运表调运量 城市农场产粮量(可供应量)2327需求量171815供求平衡在这五个部门组成的封闭系统中，所有供应方的可供应量之和(23+27=50)为整个系统的可供应量，整个系统中所有城市粮食需求量之和(17+18+15=50)构成系统的总需求量由于该系统的总供应量和总需求量都是50，相等，故在调运表最后一个单元格中填写“供求平衡”此问题即为供求平衡状态下的运输问题上述所设的6个决策变量(调运量)应满足一定要求，这些要求就应从供求平衡开始由于供求平衡，供应方和需求方均恰好得到满足，即：两个供应方的粮食恰好全部运出，三个需求

9、方所需要的粮食也恰好全部得到满足，下面通过列表将文字语言转化为数学表达式供应方：调出量恰好等于产粮量供应方调出量恰好等于产粮量=23=27需求方：调入量恰好等于需求量教 学 内 容 与 步 骤备注需求方调入量恰好等于需求量=17=18=15于是，所设决策变量同时满足以上五个方程，且由于为调运量，必须非负所以应满足：称上述条件为约束条件，满足约束条件的解称为可行解分析可行解的情况由于方程组中无矛盾方程，且有效方程的个数(4个)少于未知量的个数(6个)，方程组有无穷多个解，进一步满足非负条件的解也有无穷多个，即可行解有无穷多个，每个可行解对应着一个调运方案(可执行方案)如：方案1113923165

10、627171815对应解 方案21121023166527171815对应解 教 学 内 容 与 步 骤备注显然，应有无穷多种调运方案每个调运方案都对应着一个总运费方案1对应的总运费为：(元)；方案2对应的总运费为：(元)即该题有无穷多个调运方案，不同调运方案对应不同运费，该问题要从无穷多个调运方案中找出一个使总运费最省的方案，即使总运费函数取得最小值的一组变量的取值综上，该问题数学模型列写如下：解 设：由农场运往城市的调运量为万吨则该问题的数学模型为：求一组变量的值，使其满足：并使最小此问题充分体现了全局观念需求方不能仅考虑自己运费是否最低，而必须从整个封闭系统总运费最低的角度出发，做到局部

11、利益服从整体利益该题属第一类问题，即任务一定，如何安排，使人、财、物最省通过例1对线性规划数学模型有关问题作如下归纳教 学 内 容 与 步 骤备注二、线性规划数学模型的三要素所有线性规划数学模型都要求一组变量的值，称该组变量为决策变量；该组决策变量都要满足一组条件，称该组条件为约束条件一般，约束条件由两部分组成：一部分为非负约束，剩下部分为数量约束；通常，满足约束条件的解若存在有无穷多个，我们最终不是求这无穷多个解分别是什么，而要寻求一个目标这个目标由函数表示，称为目标函数，线性规划问题最终要使目标函数取得最大值或最小值决策变量、约束条件、目标函数分别构成了线性规划数学模型的三大要素即三、建立

12、线性规划数学模型的步骤建立实际问题线性规划数学模型的过程，实际是“翻译”的过程，即将实际问题翻译成数学表达式的过程通常先用文字将实际问题表示出来，再将文字转化为数学表达式具体步骤如下：1、设决策变量根据题目的“问题”，设决策变量；2、列写约束条件根据题目要求(字面或隐含)列出约束条件，约束条件中通常包含非负限制3、写目标函数，并注明求最大或最小通常目标函数要求在题目的问中提出四、线性规划问题解的概念1、可行解：满足约束条件的解称为线性规划问题的可行解2、可行解集：全体可行解组成的集合3、最优解：使目标函数实现最优的可行解4、最优值：最优解对应的目标函数值由上述分析知，线性规划问题最终就是要求最

13、优解和最优值，该过程称作解线性规划问题的过程，或求线性规划问题的解的过程通常人们靠经验、靠想象求最优解，如上述例1，人们通常从当今的最低运费开始设计，直至满足所有需求方的需求，具体操作如下：教 学 内 容 与 步 骤备注由于到的运费最低，因而的需求17万吨全部从处获得，得到满足；在余下的运费中，到的运费最低，将剩余的6万吨给，所需的另12吨只能从运费相对较低的处获得；由于此时的粮食已全部运出，尽管运费较高，所需要的15万吨粮食也只能从处获得于是调运表如下方案1760230121527171815该调运方案所对应的总运费为4930元显然不是最优方案因而必须有专用的、科学的方法解线性规划问题解线性

14、规划问题的方法有图解法、单纯形方法、对偶单纯形方法、两阶段法、大M法等，我们在第五章中主要学习使用计算机软件求解通过计算机软件求解，可得例1的最优调运方案为：最优方案0815231710027171815该调运方案对应的运费为3650元，是所有可执行方案中运费最省的方案至于如何用程序解模型我们将在以后学习下面我们仍然介绍建立数学问题的数学模型的方法例2 资源利用问题某企业生产A，B两种产品，已知生产单位产品A和B分别需要消耗钢材8吨和9吨，煤5吨和8吨，电力6度和4度，劳动力4人日和12人日现该企业有钢材400吨，煤320吨，电力280度，劳动力350人日又知生产单位产品A和B各能获利8千元和

15、1万元问应如何安排生产，可使企业利润最大？试建立该问题的数学模型教 学 内 容 与 步 骤备注 分析 可将已知条件列表如下：单耗 产品资源AB现有量钢材 (吨)89400煤 (吨)58320电力 (度)64280人力 (人日)412350单位利润 (千元)810显然，B的单位利润高于A的单位利润，应多生产，但B对资源的消耗大，在资源有限的情况下，生产数量必然少于同样资源条件下A产品的生产数量另外，现有资源数量与B的单耗间也不成比例，因此应对两种产品产量进行合理搭配，才能在现有资源条件下创造出最高利润此处的“如何安排生产”指在现有资源条件下，A、B两种产品产量分别为多少决策变量：A、B两种产品产

16、量，分别为和约束条件：生产过程中对各种资源的消耗量不超过现有量资源消耗量不超过现有量钢材400煤320电力280劳动力350显然，满足上述条件的解有无穷多个，每个解对应一个生产方案，不同生产方案对应不同的企业利润目标函数：企业利润最大，即最大该问题数学模型列写如下解 设：A、B两种产品产量分别为和则该问题的数学模型为：教 学 内 容 与 步 骤备注求一组变量和的值，使其满足：并使最大此问题属第二类问题，即人、财、物一定，如何安排，使任务完成量最多此题需要说明的几个问题：(1)关于决策变量：资源利用问题中的决策变量只能设各种产品的产量，而不能设资源消耗量因为产量作为决策变量，约束条件中的资源消耗

17、量及目标函数中的企业利润都可以通过决策变量(产量)表示，也便于利用计算出的结果安排生产但若设资源消耗量为决策变量，则很难分辨这些资源是由哪些产品消耗的，因而企业利润无法表示，也就无法写出目标函数(2)关于约束条件：约束条件中的数量约束不能写成等式约束这是由于：等式约束表示各种资源恰好全部用完，与实际问题不符，此时的利润未必最大因为利润最大时，某些资源可能恰好用完，但某些资源可能有剩余；上述方程组可能无解；即使方程组有解，即使此时利润最大，在列约束条件时，也不必写成“=”，因为没有普遍性而“”中包含“=”，应靠解规划问题解出结果可能均为=，但不能事先写成=(3)此题通过计算机程序解得最优解和最优

18、值为：即：产品A生产27.5个单位，产品B生产20个单位时，企业利润最大，最大利润为420千元教 学 内 容 与 步 骤备注（4）资源利用问题分析：将最优解代入约束条件的左端，即可得到最优生产方案条件下各种资源的实际消耗量(如下表)，将实际消耗量与资源现有量作比较，可分析出各种资源的属性资源消耗量现有量余量钢材4000煤32022.5电力28035劳动力3500由于钢材和劳动力恰好用完，称其为稀缺资源，而煤和电力有剩余，称其为剩余资源，同时可计算出剩余资源的剩余量(5)假设采用预先买电的方式，该企业应买245度电(6)假设要求劳动力全部上岗，则约束条件变为 (7)假设劳动力市场有充足的劳动者供

19、应，则约束条件中应将劳动力约束删去，变为：例3 营养问题有一位消费者欲购买营养物，根据医生要求，他所购买的营养物中，维生素A的含量不低于9克，维生素C的含量不低于19克现有六种营养物可供选择，单位该营养物所含维A和维C的数量，及六种营养物的购买价格如下表：单位含量 营养物维生素维A (克)102212维C (克)013132购买价格 (元)202560353739问：他应如何购买，既符合医生要求，又花钱最省？试建立该问题的数学模型教 学 内 容 与 步 骤备注分析 显然，满足医生要求的购买方案有很多，但不同购买方案所花的钱数不同，该题要求找出花钱最少的方案 决策变量：此处的“应如何购买”指六种

20、营养物应分别购买多少设六种营养物的购买量分别为，约束条件：购买营养物的实际含量不低于医生要求 维生素实际含量不低于医生要求维9维19显然，满足上述数量约束条件和非负限制的解有无穷多个，每个解对应一个购买方案，花的钱数各不相同目标函数：花钱最少，即最小该问题数学模型列写如下解 设：营养物的购买量为则该问题的数学模型为：求一组变量值，使其满足：并使最小思考一下，该题属于第几类问题以上三个问题虽属于三个不同领域，但都是优化问题，都是要求满足一定约束条件的最值问题，因而都属于规划问题，它们具有以下共同特点：1、都要求一组决策变量的值决策变量的每一组取值对应着一个可执行方案通常一个规划问题有无穷多个可执

21、行方案2、都要满足一组约束条件，约束条件由数量约束和非负限制组成，其中数量约束可能是等式约束、可能是不等式约束，在不等式约束中，可能是“”约束，也可能是“”约束3、都有一个目标函数，根据题目不同，有的目标函数求最大，有的求最小若约束条件为“”约束，目标函数一般求最大，对应着人、财、物一定，如何安排，使任务完成量最多问题；若约束条件为“”约束，目标函数通常求最小，对应着任务一定，如何安排，使成本最低问题4、约束条件和目标函数都是决策变量的线性表达式教 学 内 容 与 步 骤备注五、线性规划数学模型的一般形式当规划问题中的约束条件和目标函数都是决策变量的线性表达式时，称规划问题为线性规划问题线性规

22、划数学模型的一般形式为：求一组变量的值，使其满足：并使最大(或最小)或写成例4 供求不平衡时的运输问题例1中若农场的粮食产量提高到了25万吨，其他条件不变，问如何调运，使总运费最省？试建立该问题的数学模型解由农场运往城市的调运量为万吨调运表调运量 城市农场产粮量(可供应量)2527需求量171815供>求由于供>求，供应方不能得到满足，而需求方则恰好得到满足，即：教 学 内 容 与 步 骤备注供应方：调出量不超过产粮量供应方调出量不超过产粮量2527需求方：调入量恰好等于需求量需求方调入量恰好等于需求量=17=18=15该问题的数学模型为：求一组变量的值，使其满足：并使最小例5 供

23、求不平衡时的运输问题例4在即将执行最优运输方案时，接到城市的信息，的粮食需求量增至20万吨问如何调运，使总运费最省？试建立该问题的数学模型解设：由农场运往城市的调运量为万吨 调运表调运量 城市农场产粮量(可供应量)2527需求量171820供<求教 学 内 容 与 步 骤备注由于供<求，供应方能得到满足，而需求方则不能得到满足，即：供应方：调出量恰好等于产粮量供应方调出量恰好等于产粮量=25=27需求方：调入量不超过需求量需求方调入量不超过需求量171820该问题的数学模型为：求一组变量的值，使其满足：并使最小例6 生产计划问题（工时利用问题）某精密仪器厂生产甲、乙、丙三种仪器，平

24、均每生产一台甲需7小时加工、6小时装配、售价为3000元；每生产一台乙需8小时加工、4小时装配、售价为2500元；每生产一台丙需5小时加工、3小时装配、售价为1800元每季度可供利用的加工工时为2000小时，装配工时为1000小时，三种仪器所需元器件基本相同又据市场预测知：市场对甲的需求量每季度不超过200台，乙不低于180台，丙无要求问应如何安排生产，可使企业产值最高？试建立该问题的数学模型教 学 内 容 与 步 骤备注将已知条件列表如下：单位工时 产品工序甲乙丙每季度可用工时加工7852000装配6431000售价300025001800市场需求分析 决策变量：三种仪器每季度产量，分别为，

25、和台；约束条件：两方面(1)加工时对设备的消耗工时数不超过每季度可利用工时数；(2)甲、乙两种仪器每季度实际产量应满足市场对该仪器的需求量(1)加工时对设备的消耗工时数不超过每季度可利用工时数：工序实际消耗量不超过可用量加工2000装配1800(2)甲、乙两种仪器每季度实际产量应满足市场对该仪器的需求量：甲不超过200台仪器季度产量不超过需求量甲200乙不低于180台仪器季度产量不低于需求量乙180可行解也有无穷多个目标函数：企业产值最高，产值产量销售价格解 设：甲、乙、丙三种仪器每季度产量分别为，和台，则该问题的数学模型为：教 学 内 容 与 步 骤备注求一组变量，的值，使其满足：并使最大例

26、7 进售货计划问题某专卖店要制定明年一季度商品进货及售货计划已知该店的仓库最多可容纳该种商品500件，且今年底尚有200件库存该店每月初进一次货总店规定明年一季度各月份进货及售货单价如下表：月份123买入价869售出价9810问该店各月应分别购入和售出多少件该种商品，可使一季度效益最高？试建立该问题的数学模型分析 决策变量：共6个，分别为各月份买入量和售出量，为便于区分，将买入量分别设为，；将售出量分别设为，约束条件(1)专卖店各月初进货后拥有商品数量不超过仓库容量：月份月初量不超过仓库容量1月5002月5003月500教 学 内 容 与 步 骤备注(2)专卖店各月份销售商品数量不超过该月该店

27、拥有该商品数量：月份销售量不超过月初量1月2月3月进、销货方案有无穷多个目标函数：一季度效益最高，一季度效益解 设：1、2、3月买入量分别为，；售出量分别为，则该问题的数学模型为：求一组变量，的值，使其满足：并使最大例8 投资问题某投资公司准备将1千万元的资金对A、B两家企业投资对企业A每投资1元，当年底投资公司可获利0.7元，对企业B每投资1元，第二年底投资公司可获利2元对企业A、B的投资期限必须分别为一年和两年的整数倍问应如何投资，可使投资公司在第三年底本利和最大？试建立该问题数学模型分析决策变量：该题的问题“如何投资”指每年分别向两家企业投资多少因而设分别表示第年向企业A和B的投资额，为

28、列写模型方便，将有关数据列表如下：年份年初资金对A投资对B投资年底资金1123教 学 内 容 与 步 骤备注约束条件：由于只要有投入，不管投向哪家企业一定有正回报，要想获得最大本利和，每年必须将手中的资金全部投出去，只不过，投向不同企业、投不同金额回报大小不同而已，因而约束条件应为：每年投资额等于投资公司当年初手中的资金额 目标函数：第三年底本利和最大解 如上表，设分别表示第年向企业A和B的投资额则该问题的数学模型为：求一组变量的值，使其满足：并使最大例9 配套生产问题某服装厂加工上衣和裤子，已知加工一件上衣可获利5元，加工一条裤子可获利2元，而每个工人加工一件上衣需2小时，加工一条裤子需1小

29、时，由于布料的限制，每个工人每天最多只能安排加工3件上衣和4条裤子若每个工人每天工作8小时，问如何安排，才能使每人每天的利润最大？试建立该问题的数学模型分析 决策变量：该题中的“如何安排”指每个工人每天生产多少件上衣、多少条裤子，因而设：每天每人加工上衣件，裤子条；约束条件由每个工人每天工作8小时，有；由每天每人生产上衣数不超过3件，有：由每天每人生产裤子数不超过4条，有：产量非负：，且为整数；目标函数：每人每天创造的利润最大解设：每天每人加工上衣件，裤子条则该问题的数学模型为：求一组变量、的值，使其满足： 并使最大教 学 内 容 与 步 骤备注例10 配料问题某养鸡场有100只鸡，用动物饲料

30、和谷物饲料混合喂养，平均每天每只鸡吃混合饲料1斤其中动物饲料所占比例不低于20%根据市场调查动物饲料每斤售价为0.1元，谷物饲料每斤0.08元，且饲料公司每周只保证供应谷物饲料500斤问应如何混合才能使饲料成本最低？试建立该问题数学模型分析决策变量：“应如何混合” 指每斤混合饲料中包含动物饲料和谷物饲料分别为多少，也可按每天或每周需消耗两种饲料数量为决策变量；约束条件：应从总数量和营养要求两个角度考虑；目标函数：饲料成本最低法一：解设：每斤饲料中含动物饲料斤，谷物饲料斤则该问题的数学模型为：求一组变量，的值，使其满足：并使最小法二：解设：每周用动物饲料斤，谷物饲料斤则该问题的数学模型为：求一组

31、变量，的值，使其满足：并使最小例11 植树问题某班有男同学30人，女同学20人，植树节准备去植树，根据以往经验：男同学平均每人每天可挖坑20个，或栽树30棵，或给25棵树浇水；女同学平均每人每天可挖坑10个，或栽树20棵，或给15棵树浇水问应如何安排，才能使植树（包括挖坑、栽树、浇水）量最多？试建立该问题数学模型分析决策变量：“如何安排”指男生、女生分别有多少人挖坑、栽树、浇水，共6个决策变量；约束条件目标函数：植树量最大教 学 内 容 与 步 骤备注解设：男生挖坑、栽树、浇水人数分别为、人女生挖坑、栽树、浇水人数分别为、人.则该问题的数学模型为：求一组变量的值，使其满足：并使植树量最大例12

32、 配套生产问题某木器公司有A、B、C三个加工厂，接受了为合资饭店赶制一批高档沙发的任务，每个客房放置一只大沙发和两只小沙发各工厂每天工作8小时，各厂生产能力为：A厂每天若只做大沙发可做60只，若只做小沙发可做75只；B厂每天若只做大沙发可做15只，若只做小沙发可做30只；C厂每天若只做大沙发可做45只，若只做小沙发可做50只合同规定每天按套交一次货问应如何安排生产，可使公司每天的总产量最大？试建立该问题的数学模型分析决策变量：可设三个工厂每天生产大、小沙发数量或时间；约束条件目标函数：每天生产沙发套数最多此题涉及数量与时间的转换，如厂生产能力为：每天工作8小时可做大沙发60只，则厂每小时可作大

33、沙发个；作一个大沙发所用时间为小时法一：设生产时间解设A厂每天生产大、小沙发时间分别为和小时B厂每天生产大、小沙发时间为和小时C厂每天生产大、小沙发时间为和小时则该问题的数学模型为：求一组变量的值，使其满足：教 学 内 容 与 步 骤备注并使最大法2设生产沙发数量解设A厂每天生产大、小沙发产量为和只B厂每天生产大、小沙发产量为和只C厂每天生产大、小沙发产量为和只则该问题的数学模型为：求一组变量的值，使其满足：并使最大例13 排班问题某饭店日夜服务，一天24小时所需服务员人数如下表：序号时间所需服务员最少人数12-6326-108310-1410414-187518-2212622-24如果每个

34、服务员每天连续工作8小时，且必须在上述时间段开始时间开始上班试确定满足以上条件的最少人数试建立该问题的数学模型分析 此题的关键是区分以下四种人数：(1)每个时间段上所需最少人数；(2)每个时间段上实际在班上的人数；(3)每个时间段开始上班的人数；(4)饭店所需服务员总人数教 学 内 容 与 步 骤备注该题显然不能设(1)和(4)为决策变量，设(2)为决策变量显然也不合适，因为每个时间段在班上的人数由上个时间段开始上班人数和本时间段开始上班人数之和组成，无法进一步分解出有多少人属于哪一种，也无法表示饭店所需总人数反之，若按各时间段开始上班人数设决策变量，每个时间段在班上的人数及饭店所需服务员总数

35、则可以很容易的表示出来，因而，本题关键设每个时间段开始上班人数为决策变量解 设第个时间段开始时间开始上班的人数为则该问题的数学模型为：求一组变量的值，使其满足：并使最小例14 合理下料问题某厂要做100套钢架，每套由2根2.9米、2根2.1米和4根1.5米的圆钢组成已知原料长7.4米问应如何下料，使所用原料最省？试建立该问题的数学模型分析：所有有关合理下料问题，均应将所有可能的下料方法列写出来，统计时必须从最长者的最多根数开始有规律递减，以保证下料方法不重复和遗漏该题所有下了方法如下：下料方法123456782.9米(根)211100002.1米(根)021032101.5米(根)101302

36、34余料(米)0.10.30.901.10.20.81.4解 设第种下料方式用原料根则该问题数学模型为：求一组变量的值，使其满足：并使最小教 学 内 容 与 步 骤备注例15 合理下料问题例14中考虑到设备调试问题，需要选择五种余料较少的方法进行套裁，应如何下料，使所用原料最省？试建立该问题的数学模型选第1,2,4,6,7种截法，作为第1,2,3,4,5种截法解 设第种下料方式用原料根则该问题数学模型为：求一组变量的值，使其满足：并使最小例16 资源利用问题及其对偶问题某工厂利用三种原料生产两种产品，三种原料的现有存量分别为150、240、300单位，生产单位产品所消耗各种原料的数量及销售单位

37、产品所能得到的收益如下表： 单耗 产品原料现有存量111502324032300单位收益2.41.8问：(1) 工厂应如何安排生产使总收益最大？试建立该问题的数学模型(2) 若有一企业欲从该厂购买现有原料，这批原料的销售单价应为多少，可使该厂愿意停止自己生产，而将原料全部出售？试建立该问题数学模型解 (1)设：的产量为单位，的产量为单位则该问题的数学模型为：教 学 内 容 与 步 骤备注求一组变量的值，使其满足并使最大(2) 分析 设原料的单价分别为，出售原料用于生产所得收益不低于自己生产所得收益：即出售原料用于生产所得收益不低于自己生产的收益：为保证成交，应使买方所付购买费最低，即使最小解设

38、：原料的销售单价分别为则该问题的数学模型为：求一组变量的值，使其满足：并使最小称(2)为(1)的对偶问题通过求解，两个问题的最优值相等，说明只有当工厂销售这批原料获得总收益与利用原料自己生产产品所获总收益相等时，销售这批原料才合算例17 工时利用问题及对偶问题某铁器厂生产甲、乙、丙三种产品，生产一件甲种产品需要1小时车工加工、2小时铣工加工、2小时装配，获得利润100元；生产一件乙种产品需要2小时车工加工、1小时铣工加工、2小时装配，获得利润90元；生产一件丙种产品需要2小时车工加工、1小时铣工加工、1小时装配，获得利润60元工厂每月可供利用的车工加工工时为4200小时、铣工工时为6000小时

39、，装配工时为3600小时(1) 工厂每月应如何安排生产，使总利润最大？(2) 如果企业将所有生产能力转化为来料加工，在不降低经济效益的情况下，各工种每小时的加工费为多少教 学 内 容 与 步 骤备注将已知条件列表如下工时定额产品工种甲乙丙可利用工时车1224200铣2116000装配2213600单位利润 (元)1009060解 (1)设：甲、乙、丙三种产品月产量分别为则该问题的数学模型为：求一组变量的值，使其满足：并使最大(2)设：车工、铣工、装配工种每小时加工费分别为元显然，为外商来料加工所得到的收入应不低于自己生产甲、乙、丙三种产品的利润由于生产生产一件甲种产品需要1小时车工加工、2小时

40、铣工加工、2小时装配，获得利润100元，将这些工时用于来料加工所得到的收入应不低于100元，即同理，生产乙和丙的工时用于来料加工所得到的收入分别不低于乙和丙的单位利润目标函数应从每月三个工种工时全部用于来料加工所得到的收入角度考虑，此时不能让收入最大，因为该收入也即对方的付出，要想通过来料加工获得收入，必须保证双方都合适，约束条件保证了工厂的利益，只有目标函数中使对方付出最小时，对方才能接受，因而目标函数应求最小于是，该问题的数学模型为：则该问题的数学模型为：求一组变量的值，使其满足：并使最小线性规划 课程教案讲稿授课题目（教学章节或主题）： 第三章 含有两个决策变量的线性规划问题的图解法授课

41、类型课堂讲授授课时间第 周第 节教材分析：1、 线性规划问题图解法的含义；2、 含有两个决策变量的线性规划问题的图解法；3、 线性规划问题解的类型（无可行解、有可行解但无最优解、有唯一最优解、有无穷多个最优解）；4、 线性规划问题解的有关说明；5、 图解法的应用教学目的与要求：通过本章学习，使学生了解含有两个决策变量的线性规划问题图解法；理解线性规划数学模型解的含义；掌握线性规划数学模型解的四种情况（无可行解、有可行解但无最优解、有唯一最优解、有无穷多个最优解）重点与难点：重点： 含有两个决策变量的线性规划问题的图解法难点： 含有两个决策变量的线性规划问题的图解法教学内容与过程（设想、方法、手

42、段） 启发式教学、课堂精讲、讲练结合思考题、讨论题、作业：参考资料（含参考书、文献等）：教 学 内 容 与 步 骤备注引例 某企业生产甲、乙两种产品，需消耗A、B、C三种资源，已知生产一件产品甲需消耗2单位资源A、1单位资源B、不消耗资源C；生产一件产品乙需消耗2单位资源A、2单位资源B、4单位资源C已知，该企业现有A资源12单位、B资源8单位、C资源12单位又知每件产品甲和乙的利润分别为2和3(百元)问应如何安排生产，可使企业利润最大试建立该问题的数学模型，用图解法解此模型，给出最优生产方案 为建立数学模型方便，将上述已知条件列成如下表格形式：单耗 产品资源甲乙现有资源A2212B128C0

43、412单位利润(百元/件)23先建立该问题的数学模型 设：甲、乙两种产品的产量分别为和则该问题的数学模型为：求一组变量和的值，使其满足：并使利润最大 一、线性规划问题图解法含义该线性规划问题仅含有两个决策变量和，可将两个决策变量取值组成的有序数组与平面直角坐标系上的点形成一一对应而含有两个决策变量的线性规划问题的目标函数为二元线性函数，约束条件为二元一次方程或二元一次不等式，这些均可在平面直角坐标系中通过直线或半平面等表示于是，含有两个决策变量的线性规划问题可在平面直角坐标系上通过作图方式求解 这种通过作图方式解线性规划问题的方法称为线性规划问题的图解法 教 学 内 容 与 步 骤备注学习图解

44、法的意义：(1) 求含有两个决策变量的线性规划问题的解；(2) 理解线性规划问题解的性质和含义 由于线性规划问题的约束条件为等式约束，或不等式约束及，而我们已知等式约束在平面直角坐标系中表示一条直线，而不等式约束即二元一次不等式在坐标平面内的求解方法及结果还不清楚，因而，我们先学习二元一次不等式的图解法 二、二元一次不等式的图解法以为例，分析用图解法解二元一次不等式的方法 (1) 如图4-1，建立平面直角坐标系O(2) 先作此为一条直线，找两个不同点和即可确定这条直线，称此直线为 图4-1该直线将整个坐标平面分成两个半平面：左下方和右上方(3) 分析两个半平面的特征先分析左下半平面特征：在直线

45、左下方任取一点，过点作轴的垂线，与直线交于一点由于做的是轴的垂线，点与点的横坐标相同，即由于点在点的上方，有由于点在直线上，满足直线方程教 学 内 容 与 步 骤备注将上述三个关系联立，有于是，有即直线左下方点满足不等式：由于点是直线左下方任意点，故直线左下方所有点都满足：同理：直线右上方所有点都满足：(4) 综上：直线将整个坐标平面分成两个半平面，其中一个半平面满足不等式：另一个半平面满足：可见，二元一次不等式的解为以直线为边界的半平面一般，二元一次不等式的解为以为分界线的半平面(5) 一般做题时，并不按上述方法找任意点分析判断解所在的半平面而是在直线外找一已知点代入不等式，观察不等式是否成

46、立，以判断解所在的半平面(注意：这里所说的已知点，指该点的横、纵坐标已知，且该点与直线的关系也已知)用图解法解二元一次不等式的步骤可归纳如下：(1) 建立平面直角坐标系；(2) 作直线(边界线)；(3) 通过代点法确定解所在的半平面具体方法是：在直线外任取一个已知点，将其横纵坐标代入不等式，若不等式成立，则该点所在的半平面为不等式的解若不等式不成立，则另一个半平面为不等式的解(4) 用阴影表示不等式的解教 学 内 容 与 步 骤备注例1用图解法解不等式解如图4-2 (1) 建立平面直角坐标系；(2) 作直线；(3) 将直线左下方点代入不等式，有：即不等式成立；(4) 不等式的解为直线及直线左下

47、方的半平面O图4-2例2用图解法解不等式解如图4-3(1)建立平面直角坐标系；(2)作直线；(3)将直线左下方点代入不等式，有，即不等式不成立；OO(4)不等式的解为直线及右上方的半平面图4-3图4-4教 学 内 容 与 步 骤备注例3用图解法解不等式组解如图4-4(1)建立平面直角坐标系；(2)作直线(纵轴)，找所在半平面，为纵轴右半平面；作直线(横轴)，找所在半平面，为横轴上半平面；(3) 不等式组的解为两者的公共部分第一象限由于含有两个决策变量的线性规划问题的约束条件中均含有，故含有两个决策变量的线性规划问题的可行解和最优解都在第一象限内，今后用图解法解线性规划问题时，着重画出第一象限即

48、可三、线性规划问题的图解法例4 用图解法解线性规划问题：解 (1) 建立平面直角坐标系，求可行解集； 先作直线，代点判断在直线的左下方； 作直线，代点判断在直线的左下方； 作直线，代点判断在直线的下方； 表示第一象限； 取上述五个条件的公共部分，得该问题的可行解集为如图4-5所示的OABCDO(2) 作目标函数初始等值线由于目标函数为，故目标函数初始等值线为，此为一条过点和的直线，用虚线表示由于该直线上所有点的目标函数值都是0，故称此条直线为目标函数等值线(注意是数值的值，确切的说，应称为目标函数等值直线)同理我们也可以做出目标函数的其他等值线，如、及等我们发现目标函数等值线彼此平行，故已知一条初始等值线，其它等值线可通过平移方式得到且向一个方向平