储油罐的变位识别与罐容表标定

1、2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和 参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D中选择一项填写）：_A我们的参赛报名号为（如果赛区设置

2、报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员（打印并签名）：1.2. 3. 指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：日期：2010年9月_2_日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分OOnOOOOOOO备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定的积分方程模型摘要：本文通过建立积分方程组模型:C1 = V （x ）,0 （x ）= 0,0 兰 x 兰 H 0x _ h

3、C? =V （xh? （x ）= , H 0 兰 x 兰 H1cosa.Fx _ H 0C3 二V HiH Sd -A x -B x dx,h3 x-,H H2Hicosax _ hC4 = C V （H4 x）, h4（x）=, H 2 兰 x 兰 H 3cosaC5 = C- V H 4 - x , h5 x =h4 H 3 ,H3_x_H4刻画、描述和揭示了储油罐由于地基变化而引起的罐体变位时储油罐内油面高度H i与罐容表标定刻度h（x ）之间的关系。合理的假设当储油罐在软土地基所加荷载不大时， 地基变形小；当荷载增大到一定程度后油罐地基沉降速率变快，由于地基内孔隙水 来不及消散，地基变

4、形保持体积不变，导致土体侧向移动，从而引起远罐地表土隆起， 近罐地表土沉降，随着荷载的增加和时间的延续，地基内孔隙水压力逐渐消散，土体 固结而产生沉降，使得隆起的地表又逐渐下沉，经过一段时间后，趋于稳定，即储油 罐内油面高度Hi与罐容表标定刻度h x之间的关系曲线就是先是有坡度的，然后有一 个平缓的部分，还有一个有坡度的部分。再利用非线性回归分析的方法通过附表中的 数据将:与1非线性拟合出来，且拟合效果高度逼近理论结果，从而在模型中任意给 出重要参数S x （油面横切面的面积），|'倾斜时油箱左下顶点到油位探针底部的距 离），| 2 （倾斜时油位探针底部距油箱右下顶点的距离），| 3

5、（倾斜时油箱右上顶点到油面的距离）的值，便可以描述出储油罐内油面高度Hi与罐容表标定刻度hi x之间的关系。以此为基础，给出了两个冋题较完备的答案。关键词：积分方程；非线性回归分析；非线性拟合；油面高度；罐容表标定刻度一问题的重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位 计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进 /出油量与罐内油位高度等数据，通过 预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐 内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向 倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从

6、而导致罐容表发生改变。按照有关规定， 需要定期对罐容表进行重新标定。怎么根据有变位时油罐的倾斜角度以及油面的高度 来标定罐容表的刻度呢？温度，湿度水压是否影响油面高度的测量呢？解决这些问题 的关键在于依据不同情况下不同阶段合理地建立油罐内油面横切面的数学模型，在建 立积分模型求出储油罐内油的体积，即此时罐容表应该标度什么刻度。二问题的分析储油罐内油的高度Hi与罐容表的标度hi x之间在只有横倾斜变位时，应该为用油 面高度巴和给出的倾斜角:用积分的方法求出油罐内油面横切面的面积 S x，再用积 分的方法将面积进行积分求的油罐内有的体积 Ci，即应该在罐容表上标定的刻度值。 此过程分为两个部分五个

7、阶段来讨论，第一部分是当储油罐没有变位时油面高度H i与罐容表标定刻度h(x )的关系，第二部分是储油罐有变位时油面高度 Hi与罐容表标定刻 度h(x )的关系；每个部分分为五个阶段，第一个阶段是，储油罐内油面在达到油位探 针底部之前油面高度Hi与罐容表标定刻度hi x的关系，第二阶段是，储油罐内油面在 油位探针与储油罐右下顶点之间时油面高度 Hi与罐容表标定刻度h(x )的关系，第三阶 段是，储油罐内油面在储油罐右下顶点与储油罐左上顶点之间时油面高度Hi与罐容表标定刻度h(x )的关系，第四阶段是，储油罐内油面在储油罐坐上顶点与油位探针顶部 之间时油面高度H与罐容表标定刻度h(x )的关系，

8、第五阶段是，储油罐内油面在油位 探针顶部与储油罐右上顶点之间时油面高度 Hi与罐容表标定刻度h(x )的关系。具体过 程如图1所示：注释：O'为坐标系XYZ和坐标系X Y Z'的公共原点。有待解决的冋题是随着油罐内油面咼度 Hi的上升，其横切面(为椭圆的一部分)所在椭 圆的短半轴是如何求出的，以及横切面的半径是如何求出的。有题意以及图1可知，在每个阶段横切面所在椭圆的长轴与油面在油罐壁上的宽度是相等的，而横切面的半 径与此时油面的高度Hi和倾斜的角度有关系，可以用二者的函数式表示，所以，横 切面的半径就可以这样转化为简单的问题。然后用积分的方法对半径积分求出横切面 的面积S x

9、，最后用积分的方法对横切面的面积积分S x求出油罐内有的体积 G，即此时罐容表应该标的刻度hi x。基于这种思想，我们建立了如下的模型 三模型的假设1. 没有发生地震，泥石流等自然灾害，而不破坏正常的测量以及测算过程。2. 油罐放在软土地基，其特征是；荷载均匀分布，油罐基础为柔性结构。3. 油罐自重比贮存物轻得多，荷载经常随贮存量的多少而变化，即柔性的油罐底 板经常受交替的拉应力作用。4. 油罐内随时有油。5.四参数的设立CGC2C3C4C5xS x S' x H Ho H1 H2 H3 H4 hi x表示储油罐的总体积 表示第一部分油的体积表示第二部分油的体积 表示第三部分油的体积

10、表示第四部分油的体积 表示第五部分油的体积 表示油面距油箱底部的高度 表示油面横切面的面积 表示油面到水平轴的高度表示倾斜时油位探针底部距水平地面的高度 表示倾斜时油箱右下顶点距水平地面的高度 表示倾斜时油箱左上顶点距水平地面的高度 表示倾斜时油位探针顶部距水平地面的高度 表示倾斜时油箱右上顶点距水平地面的高度 表示油浮子在第i阶段的油浮子的标值i=1,2,3,4,5 表示倾斜时油箱左下顶点到油位探针底部的距离 表示倾斜时油位探针底部距油箱右下顶点的距离 表示倾斜时油箱右上顶点到油面的距离2R表示球冠体所在球的半径日表示储油罐所在球冠体扇形圆心角的一半DD x五模型的建立与求解在空间建立直角坐

11、标系Oxyz和Ox'Y'z'，其中Y轴与丫'轴重合'2 '2在oxyz'系中椭圆柱面方程：字= 1OxY'Z系中与Oxyz间的坐标转换公式：x uxcos% +ycosA| +zcos£«y =xcosc(2 + ycos %+zcos 笃在第一种情况下，Bj(i =1,2,3)z = xcosc(3 + y cos % + z cos ?3可得：X = X cos: -Z sin :Z = X sin ：亠 Z cos:则在O$,y,z）中的椭圆方程为:2X cos： -Zsin :Y2b2-1(1)X有上图

12、可知：X = x - a cos :-将（2）式代入（1）式可得:2ix-acos： cos；： -Zsin ：y2：+b2=1所以Z 1 -2a.Y22 (x-acos ： )cos ：ysin1-二 BCaxCBAzOotXYDE2 a'2X1-；：sin：= AB由于.AOB =:,线段AO =X',所以SY 中1；：丄asin :因为OB二a. 1-；2 cos，所以厶aob的面积为： Y»a, 1 一2 （xacos： ）cos:有题意知将平面YOX'平移到如下图所示：1嗒册沁所以:有椭圆方程:'I 2.COS ：工 /1 abX 二a丄a

13、sin :1 i Y2AC =Z= ai 1(x -a cos： )cosI Y bA = X sina =aj1sinaVb2b-可知：DE/2 = Y=bX C°S2a有AOC沿着线段DE的积分可得，油的体积与YV x SYdYx之间的关系为:第一阶段:G =V (x ), h (x ) = 0 ,OWxEHo有图1可知，当xHo时，油浮子不浮起，所以hi x =0。该阶段可有F图所表示:第二阶段：x H图所示：C2=Vx，h2 x0 , Ho-X- 。女口下cos «第三阶段：xx H cC3 二V Hi Sdx，h3 x0，Hi Zx H2Hlcos。:设此时油当H

14、xH2，油罐里面油对油罐的横截面为椭圆的一部分，如下图所示 面的高度为x,则OF二X/cos> ,可知：a2AB=2b -笃已知大椭圆的方程为：2 2nm/2 TT-1 旦bsin :同理可得:bVA x 二2。a2dm x_a cosl dncos -sin=20x J cos ：a2a1sin :；2dm-2b 1x a cos：""2ax a costcosj sin :-bB x =20a2a 1 m2dm邙池爲dncossin、电JoX-H1 |coso（丿 aa2sin :1 -；2 dm -2b' 1hl_acos:""2ax

15、 -已一a cos二cos： sin :所以a'b'c'd'的面积S = absin -将平面a'b'c'd'沿x移动的积分可知:a2xC3 2 H1H1Sdxa2a2a2a2注释：上图中左边阴影部分面积为 A x ,右边阴影部分面积为B x第四阶段：x H cC4 二CV H4 X ,h4 x0,HH3COSG有已知及题意可知，该阶段和第二阶段对称。如下图所示：第五阶段：= C -V H4 -x ,h5 x =h4 H3 , H3 沁乞 H4有已知及题意可知，该阶段和第一阶段对称，当H3乞x时，油浮子不再上升。如下图所示：aR亠

16、2riR -I：乜2 '2ri2arctana R - rR riry=R -r2 - x iRri=,22 _2-xi 2X R 2y R xD x i = 2S' x L 2ry'XV x = 0 D t dt 当储油罐有变位时，建立球面方程：' 2 2 ' 2 X - a i 亠 Y 亠 i Z - R riRr yrx2rxarctan iyR rx-ry R_x二 X cos -Z sin :Y' =Y及X =x,Y =0代入上式可得：=X si nt 1 Z cos .：s2 2=R2X cos 二-Z sin 二 - a 亠X sin 二"Z cos ： - R ri2 2 _即 Z2r2 sin u，2cos Q ri- R Z亠X cosr亠Xsin 二R -ri一 R2= 02 _2-2(r2siri+r, cos-R 申($4 osHijZ =2 2.SCoRj: c os X 4:弟 o s X2 2:-R>1k-rr- R=r2sint rcos, -Rcos、£sin a +r