傅里叶变换的性质

1、§ 3-5傅里叶变换的基本性质信号的时间函数式与其傅里叶变换，分别从时域和频 域对同一信号进行了描述。傅里叶变换的性质就建立起信 号时间特性和频率特性之间的对应关系。理解和掌握这些 性质，对以后的学习至关重要。一、线性设则NN兀=工 X(jQ)=工 CjXj(jG)i=li=almzA l(u)x(af)XA 卜 >UKGfa4 H (g络 z 丄 T+(c)2 旦z H (ar) x cLIsMd)uss USH-最?例如：1<->2k6(Q)x(t)1Xg),100/1x(")' 5；沈(Q)L0 t0coco事实上，这个性质是出自于傅里叶正、

2、反变换公式的对称关系coX(yQ) = J x(t)eJrdtco1 °°x(0 = 一 J Xg)e%Gco、展缩（尺度变换）特性设则双1 x（j°）（a为非零实常数）aa因为，当a>0CO1 idGJ xat)ejCltdt = J 兀(p)£adx = X(j)co°°同样，当avO7I 7-JQ-1/ G、J x(at)e Jdt-J x(x)e adx =X(丿；)coa1x T、I(牝)X££Ip I3(-O)i = () x 1(Ox->0X率陽频曰¥土弓Ll假设实线图形表示一对

3、傅里叶变换，虚线图形 冬面积卢对应、实线图形相等的矩形。时间图形中的矩形穿 舊2茫波形的等效脉冲宽度，简称脉宽或时宽；中的矩形宽度b,称为对应波形的等效频带宽度, 间称频宽。£（9）fXg)M°)_T2由上图可见，两矩形的面积分别为COcoT - x(0) = J x(t)eJdtQ=() = X (JO)oOooScoB X(yO) = J X(JG)dG = J X(jQ)7QzQr=0 = 2 亦(0)ss£（9）£（9）所以有9Bt = 2ti B = 即信号的时宽频宽积等于 常量，或频宽与时宽成反 比关系。U)UXCO)EPJLxc.a8箱5r

4、Qfo)Y H fx(fe ©diIs今 ZOJ dfHdHk>*-v臭x(f H j X3e3£o)dq; H eIsH XQW?e jL<p(p。8Jpo fx(d)e81kZT22T21、22cT= pSq(G 評 f信号经过时移后，其对应的频 谱（傅里叶变换）中的振幅频谱没 有变化，只是相位频谱增加了一个 相对于频率Q线性变化的分量。五.频移特性与调幅波则x(t)eJ < A7 >Xy(Q-Q0)因为sooooco= Xj(Q-Q0)同样道理x(OeyQ(/ < F7 >Xy(Q + Q0)兀设信号兀(f)与一等幅正弦波相乘, 其

5、波形如图：x(r) cos Qof =)=丄x(t)eJQot + x(t)ejQot 2其傅里叶变换夕xOcosGo=扣口(。Oo) + xu(g+0。)若设信号兀的傅里叶变换如图:兀COS0/的傅里叶变换就应该如下图所示:丄ZT _Go莎&(r)cosG()f77Go>Q兀COS0/的图形是一幅度随信a x(r)cosQ0?号兀(7)变化的正弦波形，称这种波 为调幅波,对应信号称为已调信号。订 兀称为调制信号或基带信号，'、y（r）= x（f）cosQ0rcosL20?对应信号的频带宽度，称为基带带 宽。cos仪声称为战波信号或受调信 比) 号，它的频率称为载波频率，

6、简称 载频。获得已调信号的过程称为j$r&a）cosG（）/制。通过调制，基带信号的频谱被保留，并整体搬移到载波7T频率处。_GoiQIy(f) = x(Ocoso?由已调信号恢复基带信号的过程，称为解调。对于以 正弦信号为载波的调幅波，解调与调制过程类似：让已 调信号与其载波频率相同的正弦波相乘，再通过一频率 选择性滤波器。COSL2()tr(7n)ZTQn1z(t) = j(OcosQ0r = %(r)cos2 Qor_Q°(1 + cos 2QoO111fZg)112111-2G（）_ Go - 2Gc °。2G°Q利用频移特性，可以求得正、余弦信号

7、的傅里叶变换。已知直流信号的傅里叶变换是强度为2兀的冲激,f 员cosQ。/12k8(Q)根据频移特性1.申曲 < "2兀 6QGo)于是，正、余弦信号的傅里叶变换(兀)°o°。f j%sin O(/()T°ocos GJ = -(RE + 严)7iS(Q-Q0) + 5(Q + Qo)2sin Qor =丄加3(。+ Q0)-6(Q-Q0)2j六.微分特性贝q“)J jQX(jQ)-<dX (jQ)dG时域微分性频域微分性因为,由傅里叶反变换公式1 Sx(t) = 一 JJXS等号两边同时对时间/求导数X (T)=1 S一 J 丿2 兀OO

8、譬("叫dCl同样，由傅里叶正变换公式 X(jQ) = J x(t)e-jdt 两边同时对角频率Q求导数可得7例如：八对应的傅里叶变换皿5)dt8(0 < FT > jQti:8(Q) + 1 =丿0兀6(0) +畧 =1 jQJG再例如:gg)+寺j八丄=jt:5Q)-dGM)J七. 反褶与共轨特性则心）Z_X（丿 G）R）7_X J/G）由傅里叶变换公式很容易证明。八、奇偶、虚实性1、实信号 x(o = X= X*(-jQ)设X(jQ) = |XQ0)|Rg)= Xr (G) + 兀(G)Xg = |XOG)药曲)=Xr (Q) - jX, (Q)于是XjG) = |

9、X(-丿G)药用=X/-Q) -jXj (-Q)所以，当兀(0是实信号，就有|X(jQ)| = |X(-JQ)|g) = -<p(-Q)Xr (Q) = Xr (-Q)X】(Q) = -X (-G)唧实信号的傅里叶变换，模与实部是偶函数，相位与虚 部是奇函数。2实偶信号= x" (0 = x(-t)X (yQ) = X-jQ) = X(-jQ)于是Xr (Q) = Xr (0)X (Q) = X (0) = X/ (Q) = 0即实偶信号的傅里叶变换是实偶函数。3、实奇信号x(0 =心)=-心)VX(JG) = X-yQ) = -X(-丿。)于是Xg) = Xr(0) =X0)

10、 =0X,G) =X/(G)即实奇信号的傅里叶变换是虚的奇函数。九、卷积定理设则有x(0 «J X(jQ)A(r) < FT >H(jQ)x(r) *力(1) X(jG)H (jQ) 时域卷积定理乂(MOZI x(/G) * Hg)频域卷积定理 2兀因为oo co* h(t) = f f x(x)h(t 闷dtsss=J x(t) J h(t x)eJr dtydx = J x(t)H (j)eJzdx莎&() * A(r) = J x(T)e-Jdx H(jQ) = X (jQ) Hg)CD即两时间信号卷积，对应的傅里叶变换是两信号傅里叶 变换的乘积。利用时域卷

11、积定理，可以得出傅里叶变换的时域积分 性质o因为st= J X(T)U(t T)dx = J x(x)dxco00扌艮据时域卷积定理x(t) * u(t)> X (jQ) 7c8(Q) + -JjG->7tX(jO)8(Q) +Xg)jG利用傅里叶变换的公式可以证明，两时间信号的乘积， 对应的傅里叶变换是两信号傅里叶变换的卷积除以2兀。两信号相乘，可以看成是用一个信号去调制另一个信 号的幅度，即幅度调制。前述的正弦调幅波信号，是用 兀调制正弦信号的幅度，即是x(f)与正弦信号帝域相乘， 即对应的傅里叶变换就是频域卷积。X(jQ)1灵cosQ。/ww。0(0。 ri丄.歹x(r)cosG()r/! 2z： r_G（）Q（）QQ十.帕塞瓦尔定理则有03S S因为sco=J (t)dt = J x(r) J X jd)e,cltdddt J V_s_CO一SCO=J x(0 J X*gF%GM2 兀coss1°2?fXpG)j(T)eq期O = J|X(jQ)| dG