教学内直线与平面垂直的判定容

1、教学内容：直线与平面垂直的判定和性质 【基础知识精讲】1.直线与平面垂直的判定定义  直线a与平面内的任意一条直线都垂直，叫做a垂直于，记为a.注意把直线和平面的位置关系转化为直线和直线的关系.判定  如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.m，n，MNA,lm,lnl如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这一个平面.ab，ab2.直线与平面垂直的性质定理性质  如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.a，bab.是证明线线平行的又一种方法.3.点、直线和平面的距

2、离点到平面的距离：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离.直线和平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离.注意：一条直线上有两点到平面的距离相等时，这条直线可以和平面相交，利用直线和平面的距离可间接求两异面直线间的距离.4.平面的垂线、斜线、射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，这个点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.一条直线和平面相交但不垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到该平面的斜线段.过斜足以外的点引平面的垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，垂足和斜足

3、间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影.从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短.5.直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，若直线垂直于平面，则成直角，若直线在平面内或平行于平面，我们规定为0°角，从而任意一条直线与平面成角的取值范围为0°，90°特别指出的是：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.6.三垂线定理及逆定理三垂线定理在

4、平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.必须弄清定理中一面四线：基础平面、平面的垂线、斜线及斜线在平面上的射影.它们有三种垂直关系：即垂线PA和平面的垂直关系；射影AB和直线a的垂直关系；斜线PB和直线a的垂直关系.a在平面内，但定理与a在的位置无关，因此要掌握a在的不同位置的情况.熟练掌握三垂线定理及其逆定理，善于在各种空间复杂的图形中找出符合三垂线定理的面以及该面的垂线，从而应用于证明线线垂直，计算点线距离、线面交角以及二面角的平面角等，并理解cos的由来

5、也能酌情加以应用. 【重点难点解析】本课的重点是：线面垂直定义，判定定理及性质定理，应牢固掌握并熟练应用：直线与平面所成角及线面间距离，射影定理，三垂线定理及逆定理应能应用与掌握.线面垂直的定义及判定定理和性质定理的证明是本课的难点.学习本节注意体会反证法的证明思路.例1  已知矩形ABCD，过A作SA平面AC，再过A作AESB交SB于E，过E作EFSC交SC于F(1)求证：AFSC(2)若平面AEF交SD于G，求证：AGSD分析  如图，欲证AFSC，只需证SC垂直于AF所在平面，即SC平面AEF，由已知，欲证SC平面AEF，只需证AE垂直于

6、SC所在平面，即AE平面ABC，再由已知只需证AEBC，而要证AEBC，只需证BC平面SAB，而这可由已知得证证明  (1)SA平面AC，BC平面AC，SABC矩形ABCD，ABBCBC平面SABBCAE又SBAE  AE平面SBCSC平面AEFAFSC(2)SA平面AC  SADC，又ADDCDC平面SAD  DCAG又由(1)有SC平面AEF，AG平面AEFSCAG  AG平面SDC  AGSD 例2  已知四面体ABCD，AO1平面BCD，

7、且O1为BCD的垂心.BO2平面ACD，求证：O2是ACD的垂心.证明  如图所示，连结BO1，AO2，AO1平面BCD，O1为BCD的垂心，BO1CD，由三垂线定理得ABCD.又BO2平面ACD，由三垂线逆定理得AO2CD.同理连结DO1，CO2可证BCAD，即CO2AD.O2是ACD垂心. 例3  正三棱柱ABCA1B1C1的侧面三条对角线AB1、BC1、CA1中，AB1BC1.求证：AB1CA1.证  方法1  如图，延长B1C1到D，使C1DB1C1.连CD、A1D.因AB1BC1，故AB1CD；

8、又B1C1A1C1C1D，故B1A1D90°，于是DA1平面AA1B1B.故AB1平面A1CD，因此AB1A1C.方法2  如图，取A1B1、AB的中点D1、P.连CP、C1D1、A1P、D1B，易证C1D1平面AA1B1B.由三垂线定理可得AB1BD1，从而AB1A1D.再由三垂线定理的逆定理即得AB1A1C.说明  证明本题的关键是作辅助面和辅助线，证明线面垂直常采用下列方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)证明直线垂直于平面内的两条相交直线；(3)证明直线平行于平面的垂线；(4)证明直线垂直于与这平面平行的另一平面.例4 

9、60;已知：正三棱柱ABCABC中，ABBC，BC2，求：线段AB在侧面上的射影长.解  如图，取BC的中点D.ADBC，侧面底面ABC，AD侧面是斜线AB在侧面的射影.又ABBC，BC.设BBx，在Rt中，BEBD，.E是BBC的重心.BEBCx·，解得：x.线段AB在侧面的射影长为. 例5  平面外一点A在平面内的射影是A，BC在平面内，ABA，ABC，求证:coscos·cos.证明  过A作BC于C，连AC.AA平面，BC垂直AC在平面内的射线. BCAC，cos.又cos,cos，co

10、scos·cos.例6  ABC在平面内的射影是ABC，它们的面积分别是S、S，若ABC所在平面与平面所成二面角的大小为(090°，则SS·cos.证法一 如图(1)，当BC在平面内，过A作ADBC，垂足为D.AA平面，AD在平面内的射影AD垂直BC.ADBC.ADA.又SAD·BC，SAD·BC，cos,SS·cos.证法二  如图(2)，当B、C两点均不在平面内或只有一点(如C)在平面内，可运用(1)的结论证明SS·cos. 【难题巧解点拨】例1  求

11、证：端点分别在两条异面直线a和b上的动线段AB的中点共面.证明  如图，设异面直线a、b的公垂线段是PQ，PQ的中点是M，过M作平面，使PQ平面，且和AB交于R，连结AQ，交平面于N.连结MN、NR.PQ平面，MN，PQMN.在平面APQ内，PQa,PQMN,MNa,a，又PMMQ，ANNQ，同理可证NRb,RARB.即动线段的中点在经过中垂线段中点且和中垂线垂直的平面内. 例2  如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90°，BAC30°，BC1，AA1，M是CC1的中点，求证：AB1A1M.分析：不难看出B1C1

12、平面AA1C1C，AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影.欲证A1MAB1，只要能证A1MAC1就可以了.证：连AC1，在直角ABC中，BC1，BAC30°，  ACA1C1.设AC1A1，MA1C1  tan,tg.cot(+)0,+90°  即AC1A1M.B1C1C1A1，CC1B1C1，B1C1平面AA1CC1，AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影.AC1A1M，由三垂线定理得A1MAB1.评注：本题在证AC1A1M时，主要是利用三角函数，证+90°，与常见的其他题目不太相同. 例

13、3  矩形ABCD，AB2，AD3，沿BD把BCD折起，使C点在平面ABD上的射影恰好落在AD上.(1)求证：CDAB；(2)求CD与平面ABD所成角的余弦值.(1)证明  如图所示，CM面ABD，ADAB，CDAB(2)解：CM面ABDCDM为CD与平面ABD所成的角，cosCDM作CNBD于N，连接MN，则MNBD.在折叠前的矩形ABCD图上可得DMCDCDCAABAD23.CD与平面ABD所成角的余弦值为 例4  空间四边形PABC中，PA、PB、PC两两相互垂直，PBA45°，PBC60°，M为A

14、B的中点.(1)求BC与平面PAB所成的角；(2)求证：AB平面PMC.分析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路.解    PAAB，APB90°在RtAPB中，ABP45°，设PAa，则PBa,ABa,PBPC，在RtPBC中，PBC60°,PBa.BC2a,PCa.APPC  在RtAPC中，AC2a(1)PCPA,PCPB,PC平面PAB，BC在平面PBC上的射影是BP.CBP是CB与平面PAB所成的角PBC60°，BC与平面PBA的角为60°.(2)由上知，PAP

15、Ba,ACBC2a.M为AB的中点，则ABPM，ABCM.AB平面PCM.说明  要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径. 例5  在空间四边形ABCP中，PAPC，PBBC，ACBC.PA、PB与平面ABC所成角分别为30°和45°。(1)直线PC与AB能否垂直?证明你的结论；(2)若点P到平面ABC的距离为h，求点P到直线AB的距离.分析：主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系的综合应用及线面角，点面间距离等概念应用，空间想象力及推理能力.解  (1)AB与PC不能垂直，证明

16、如下：假设PCAB，作PH平面ABC于H，则HC是PC在平面ABC的射影，HCAB，PA、PB在平面ABC的射影分别为HB、HA，PBBC，PAPC.BHBC，AHACACBC，平行四边形ACBH为矩形.HCAB，ACBH为正方形.HBHAPH平面ACBH.PHBPHA.PBHPAH，且PB，PA与平面ABC所成角分别为PBH，PAH.由已知PBH45°，PAH30°，与PBHPAH矛盾.PC不垂直于AB.(2)由已知有PHh,PBH45°BHPHh.PAH30°，HAh.矩形ACBH中，AB2h.作HEAB于E，HEh.PH平面ACBH，HEAB，由三

17、垂线定理有PEAB，PE是点P到AB的距离.在RtPHE中，PEh.即点P到AB距离为h.评析：此题属开放型命题，处理此类问题的方法是先假设结论成立，然后“执果索因”，作推理分析，导出矛盾的就否定结论(反证法)，导不出矛盾的，就说明与条件相容，可采用演绎法进行推理，此题(1)属于反证法. 例6  平面内有一个半圆，直径为AB，过A作SA平面，在半圆上任取一点M，连SM、SB，且N、H分别是A在SM、SB上的射影.(1)求证：NHSB.(2)这个图形中有多少个线面垂直关系?(3)这个图形中有多少个直角三角形?(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线?分析：此题主要考查

18、直线与直线，直线与平面的垂直关系及论证，空间想象力.解  (1)连AM，BM.AB为已知圆的直径，如图所示.AMBM，SA平面，MB，SAMB.AMSAA，BM平面SAM.AN平面SAM，BMAN.ANSM于N，BMSMM，AN平面SMB.AHSB于H，且NH是AH在平面SMB的射影NHSB.(2)由(1)知，SA平面AMB，BM平面SAM.AN平面SMB.SBAH且SBHN.SB平面ANH.图中共有4个线面垂直关系(3)SA平面AMB，SAB、SAM均为直角三角形.BM平面SAM，BMA，BMS均为直角三角形.AN平面SMB.ANS、ANM、ANH均为直角三角形.SB平面

19、AHN.  SHA、BHA、SHN均为直角三角形综上所述，图中共有10个直角三角形.(4)由SA平面AMB知：SAAM，SAAB，SABM；由BM平面SAM知：BMAM，BMSM，BMAN；由AN平面SMB知：ANSM，ANSB，ANNH；SB平面AHN知：SBAH，SBHN；综上所述，图中有11对互相垂直的直线. 例7  如图，在棱长为a的正方体AC1中，M是CC1的中点，点E在AD上，且AEAD，F在AB上，且AFAB，求点B到平面MEF的距离.解法一：设AC与BD交于O点，EF与AC交于R点，由于EFBD所以将B点到面MEF的距离转化为O

20、点到面MEF的距离，面MRC面MEF，而MR是交线，所以作OHMR，即OH面MEF，OH即为所求.OH·MROR·MC，OH.解法二：考察三棱锥BMEF，由VB-MEFVM-BEF可得h.点评  求点面的距离一般有三种方法：利用垂直面；转化为线面距离再用垂直面；当垂足位置不易确定时，可考虑利用体积法求距离. 例8  正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，求A1C1和平面AB1C间的距离.解法1  如图所示，A1C1平面AB1C，又平面BB1DD1平面AB1C.故若过O1作O1EOB1于E，则OE1平面

21、AB1C，O1E为所求的距离由O1E·OB1O1B1·OO1，可得：O1E解法2：转化为求C1到平面AB1C的距离，也就是求三棱锥C1AB1C的高h.由  VV，可得ha.解法3  因平面AB1C平面C1DA1，它们间的距离即为所求，连BD1，分别交B1O、DO1与F、G(图中未画出)。易证BD1垂直于上述两个平面，故FG长即为所求，易求得FG.点评  (1)求线面距离的先决条件是线面平行，而求线面距离的常用方法是把它们转化为求点面之间的距离，有时也可转化为求面面距离，从本题的解法也可悟出求异面直线之间的距离的思路

22、. 【课本难题解答】1.已知：CD，EA，EB，求证：CDAB.2.求证：两条平行线和同一条平面所成的角相等.已知：ab，aA1,bB1，1、2分别是a、b与所成的角.如图，求证：12.证：在a、b上分别取点A、B.如图，且AA1BB1，连结AB和A1B1.AA1BB1四边形AA1B1B是平行四边形.ABA1B1又A1B1  AB.设AA2于A2，BB2于B2，则AA2BB2在RtAA1A2与中  AA2BB2，AA1BB1RtAA1A2RtBB1B2AA1A2BB1B2即  12.3.经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线

23、，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线.已知：ABC,P,PBAPBC,PQ，Q，如图.求证：QBAQBC证：PRAB于R，PSBC于S.则：PRBPSB90°.PBPB.PBRPBSRtPRBRtPSBPRPS点Q是点P在平面上的射影.QRQS又QRAB，QSBCABQCBQ 【命题趋势分析】本节需要掌握直线和平面垂直的概念、判定定理、性质定理、斜线在平面的射影的概念，直线和平面所成角的概念，能用上述概念、定理进行论证和解决问题.三垂线定理及逆定理在老教材中很受重视，在新教材中降了要求.此节知识是高考考查的重点之一，在大题，小题

24、中反复出现，与前后知识交叉考查，具有灵活多变的特点，应予以高度重视. 【典型热点考题】例1  如图，E、F分别是正方体的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是        (要求：把可能的图的序号都填上)解  四边形BFD1E在正方体的一对平行面上的投影图形相同，在上、下底面上，E、F的射影在棱的中点，四边形的投影图形为，在左右侧面上，E、F的连线垂直侧面，从而四边形的投影图形为，在前后侧面上四边形投影图形也为.故应填

25、. 例2  如图，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA90°，点D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，若BCCACC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是(    )A.         B.            C.       &#

26、160;     D.解  连D1F1，则D1F1A1C1，又BCCA，所以BD1在平面ACC1A1内的射影为CF1，设AC2a，则BCCC12a.取BC的中点E，连EF1，则EFBD1.cos1cosEF1C，cos2cosAF1C，  coscos1·cos2·，应选A. 例3  (1)如果三棱锥SABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的角都相等，且顶点S在底面的射影O在ABC内，那么O是ABC的(    )

27、A.垂心       B.重心       C.外心       D.内心(2)设P是ABC所在平面外一点，若PA，PB，PC与平面所成的角都相等，那么P在平面内的射影是ABC的(    )A.内心       B.外心       C.垂心       D.重心解  (1)利用三垂线定理和三角形全等可证明O到ABC的三边的距离相等，因而O是A