常见辅助线作法

1、辅助线的作法正确熟练地掌握辅助线的作法和规律， 也是迅速解题的关键， 如何准确地作 出需要的辅助线，简单介绍几种方法： 方法一：从已知出发作出辅助线：E 是 AD的中点，例 1已知：在 ABC中， AD是 BC边的中线，AC的交点，求证： AF=1 FC2分析：题设中含有 D 是 BC 中点，E 是 AD中点，由此可以联想到三角形中与边中点有密切联系的中位线，所以，可有如下 2 种辅助线作法：1）过 D 点作 DN CA ，交 BF 于 N，可得 N 为 BF 中点，由中位线定理得11DN= 12FC ，再证 AEFDEN，则有 AF=DN，进而有 AF= 21FC12）过 D 点作 DMBF

2、，交 AC 于 M，可得 FM=CM ，FM=AF ，则有 AF= FC方法二：分析结论，作出辅助线例 2：如图， AD是 ABC的高， AE是ABC的外接圆直径，求证： AB·AC=AE·ADAB AE 分析：要证 AB ·AC=AE ·AD ，需证AD AC AB AD（或），需证 ABEADC（或 ABD AEC ），AE AC这就需要连结 BE （或 CE ），形成所需要的三角形，同时得 ABE= ADC=90 0（或 ADB= ACE=90 0）又E=C（或B=E）因而得证。方法三：“两头凑”（即同时分析已知和结论） 作出辅助线AD 分别交于点

3、例 3：过ABC的顶点 C任作一直线， 与边 AB及中线FF 和 E；M求证： AEED=2AFFB分析：已知 D 是 BC 中点，那么在三角形中可过中点作平行线得中位线； 若要出现结论中的 AE ED ，则应有一条与 EF 平行的直线。所以，过 D 点作AE AF 2AF方法四：找出辅助线的一般规律， 将对证题时能准出所需辅助线有很大帮·ODMEF 交AB 于 M，可得 EADE FAMF 22FAMF ，再证 BF=2FM 即可 助。例如：在“圆”部分就有许多规律性辅助线A： C E D1）有弦，作“垂直于弦的直径”AE=BE，CE=D，E 即可证得 AC=BD例 4：已知，如图

4、，在以 O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 ABA 小圆于 C、D 两点，求证： AC=BD 分析：过 O点作 OEAB于 E，则2）有直径，构成直径上的圆周角（直角）例 5 ：已知：如图，以 ABC的 AC边为直径，作O交 BC、BA于 D、E两点，且 CD DE ， 求证： B= C有 1=BO的切1A分析：连结 AD，由于 AC为直径，则有 AD BC，又CD DE ， D 2，由内角和定理得 B= C（3）见切线，连半径，证垂直 例6：如图， AB为O的直径， C为 O上一点， AD和过 C点线互相垂直，垂足为 D，求证： AC平分 DAB 分析：连结 OC，由于 CD为切线，可知 OC

5、CD，易证： 1=2，又因为 2=3， 所以 1=3，则可得 AC平分 DAB （4）证切线时，“连半径，证垂直”或“作垂直，证半径” 例 7：已知，直线 AB经过 O 上的一点，并且 OA=O，B CA=CB；求证：直线 AB是 O的切线分析：连结 OC，要证 AB是 O的切线，需证 OCAB，由已知可证 OAC OBC，可得 OCA=OCB=900，结论得证。C D例 8：已知，梯形 ABCD中，ABCD，A=900，BC是 O的直O·E 径，BC=CD+A，BB A求证： AD是O的切线分析：过 O点作 OEAD，垂足为 E，要证 AD是 O的切线，只要证 OE是O的半径即可，

6、也就是说需要证 OE=1 BC ，由于 A=900，ABCD，可得 ABCDOE，再由平行 2线等分线段定理得 DE=EA，进而由梯形中位线定理得 OE=1 ( AB CD) 1BC ， 22 所以 E点在 O上， AD是 O的切线。二)练习27.3.12 所示，在梯形 ABC2、已知：ADBC，1、已知： 如图，在 ABC中， ADDB， AEEC求证：1DEBC，DE 1BC2AEE，DFCF求证B EFBC，CEF 1 （ADBC）23、已知：如图 27.3.13所示 ,在 ABC 中.AD=DB,BE=EC,AF=FC.求证：AE、DF 互相平分4、如图：已知： AB 为O的直径，弦

7、CDAB，M 为 AC上一点， AM的延长 线交 DC的延长线于 F，本图形与基 适当的辅助 A C B 助 大 家 现就圆中辅助线的常规作法分类总结如求证： AMD= FMC 与圆有关的辅助线常规作法解析 与圆有关 的几何问题，几乎涵盖了初中几何的各种基 本性质，题型的复杂程度可想而知。为此，常常需 线将复杂的图形转化为基本图形， 从而方便求解。 正确理解并掌握圆中有关计算或证明题的一般解法，下，供同学们学习时参考一、圆中有弦，常作弦心距 （或者作垂直于弦的半径或直径， 有时还要连结过弦端点的 半径）例 1. 如图，以 Rt ABC的直角顶点 A 为圆心，直角边 AB为半径的 A 分别交 B

8、C、AC于点 D、 E, 若 BD=10cm，DC=6cm，求 A的半径。1解：过 A作 AHBD于 H，则 BH 21BD 5cm 。 BAAC， CAB=AHB=90°。又 ABH=CBA， ABH AB CB 2CBA， AB 2 BCBH (BD DC) BH 16 5 80cm ，BH AB r AB 80 4 5cm 。例 2. 如图， AB是 O的直径 ,POAB交 O于点 P，弦 PN与 AB相交于点 M，求证：PM PN 2PO2 。 1证明： 过 O 作 OC NP于点 C，则 PC PN 。2OCNP，POAB， POM=PCO=90°。又 OPM=

9、CPO， OPM CPO， PO PM， PO2 PM PC PM1 ( P，N )即 PC PO 2PM PN 2P2O。评析： 求解圆中与弦有关的问题，常需作弦心距（即垂直于弦的直径或半径） ，其目的 是构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形，并利用垂径定理来沟通弦、弧、弦心距之间 的联系。二、圆中有直径，常作直径所对的圆周角 （在半圆中，同样可作直径所对的圆周角） 例 3. 如图， AB为半圆的直径， OHAC于 H， BH与 OC交于 E，若 BH=12，求 BE的长。解： 连结 BC。1 AB 为直径， AC BC。又 OHAC，AO=BO， OH BC，OHE=CBE， HOE=

10、BCE， OHE CBE，HEBEOH 1BC 222BE BH 12 8 。33例 4. 如图 ,AB 是半圆的直径 , C 为圆上的一点 , CD AB于 D, 求 证: CD2 AD BD 。证明： 连结 AC 、BC。 AB 为直径， ACB=90°， 1+2=90°。又CDAB， ADC=CDB=90°， 1+3=90°， 3=2， BCD CAD， AD CD 2，即 CD2 AD BD 。CD BD评析： 由于直径所对的圆周角为直角， 所以在有关圆的证明或计算问题中， 利用该性质极易构造出直角三角形，从而可以很方便地将问题转化到直角三角形中

11、进行解决。三、圆中有切线，常作过切点的半径若无切点，则过圆心作切线的垂线）2例 5. 如图， 已知 MN为 O的直径， 若 PA=PM，求 A 的度数 。解：连结 OP，设 A的度数为 x。AP是 O的切线， P为切点， 点 A在 MN的延长线上，OPM= M， POA= OPM+ M=2 PA=PM， M=A，同理可得M=2A=2x。又 AP切 O于点 P， AP OP， A+ POA=90°，即 x+2x=90°，解之得 x=30°， A=30°。例 6. 如图 ,AB 为 O的直径 ,C 为 O上的一点 ,AD 和过 C 点的切线垂直 , 垂足为

12、D，求证 1=2。证明： 连结 OC。 DC切 O于点 C， OCDC。又 AD DC， OC AD， 1= 3。 OA=OC, 2= 3， 1=2。则也需作直径例 7. 如图, 点 A、B、C在 O上（AC不过 O点），若 ACB=60° ,AB=6， 解： 作直径 AD，连结 BD。 ACB 与 D 都是 AB 所对的圆周角， D= ACB=60°。又 AD 是直径， ABD=90°， AD AB 6 4 3 ， r AD 2 3 。sinD sin60 2求 O 半径的长。求证：R，例 8. 如图，在锐角 ABC 中， ab sinA sinB sinC证明

13、： 作直径 CD，若 BC=a， CA=b， AB=c，ABC的外接圆半径为c 2R 。连结 BD。CD 为直径，CBD=90°， sinD BC aDC 2Rasin A sinD2Ra 2R sinA，同理可得 b 2RsinBcsinC 2R ，又 A= D，asinAbcsinB sinC2R 。评析： 当欲求解的问题中含有圆的切线时， 常常需要作出过切点的半 径，利用该半径与切线的垂直关系来沟通题设与结论之间的联系。 四、圆 中有特殊角， 常作直径构造直角三角形 （若题中有三角函数但无直角三角形， 构造直角三角形）评析： 当题设中未告诉有直角三角形但却含有30 °

14、、 45 °、 60 °、 90 °等特殊角或某个角的三角函数值时，通常需要作直径构造直角三角形来帮助求解。五、两圆相切，常作公切线 （或者作两圆的连心线） 例 9.如图， O1和 O2外切于点 A，BC是 O1和 O2外公切线， B、C为切点，求证： AB AC。证明：过点 A作O1与O2的公切线 AM交BC于点 M。 MA和 MB分别切 O1于点 A、B， MA=M，B 同理可得 MA=M，C MA=MB=M，C即点 A、B、 C 同在以 M为圆心， BC为直径的圆周上， AB AC。例 10. 如图， A和B外切于点 P，CD为 A、 B的外公切线， 与 B

15、的半径分别为 r 和 3r, 求： CD的长； B的度数。解：连结 AB，连结 AC、BD，过点 A作 AEBD于 E。 、 CD是 A和 B的外公切线， C、D为切点， ACCD，BD CD。又 AE BD，四边形 ACDE为矩形， CD=AE， DE=AC=r， BE=BD-DE=3r-r=2r 。 AB=r+3r=4r ， CD AE AB2 BE2 2 3r 。BE2r1、在 Rt AEB中，cosBBE2r1 ， B=60°。AB4r2评析： 在解决有关两圆相切的问题时， 常常需作出两圆的公切线或连心线， 利用公切线 垂直于经过切点的半径、 切线长相等、连心线长等于两圆半径

16、之和 （或差） 等性质来沟通两 圆间的联系。六、两圆相交，常作公共弦 （或者作两圆的连心线）例 11. 如图， O1和 O2相交于 A、B 两点， AD是 O1的直径，且圆心 O1在O2上，连 结 DB并延长交 O2于点 C，求证： CO1 AD。证明： 连结 AB。 AD 为 O1 的直径， ABD=90°， D+ BAD=90°。又和 BAO1都是 O2中 BO1所对的圆周角， C=BAO1，即C=BAD， D+ C=90°， CO1AD。例 12. 如图， O1和 O2相交于 A、 B两点，两圆半径分别为 6 2和 4 3，公共弦 AB的 长为 12，求 O

17、1AO2 的度数。解： 连结 AB、O1O2，使之交于 H点。 AB 为 O1 与 O2 的公共弦，连心线O1O2 垂直平分 AB，1 AH 6 2 AH 6 3AH AB 6， cos O1AH， cos O2AH2 1AO1 6 2 2 2AO2 4 3 2 O1AH=45°， O2AH=30°， O1AO2= O1AH+O2AH=75°。评析： 在解决有关两圆相交的问题时，最常见的辅助线是两圆的公共弦或连心线，公 共弦可以联通两圆中的弦、角关系，而连心线则垂直平分公共弦。全等三角形作辅助线的常用方法一、 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来

18、，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例1、 已知如图 1-1 ：D、 E为 ABC内两点 ,证明：（法一）将 DE 两边延长分别交 AB、于 M、 N，法二：图 1-2 ）AC求证 :AB+AC>BD+DE+CE.延长 BD交 AC于 F，廷长 CE交 BF于 G，在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时， 可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图 2-1 ：已知 D为 ABC内的任一点，求证： BDC&

19、gt; BAC。F 图2 1图3 1分析：因为 BDC与 BAC不在同个三角形中， 没有直接的联系， 可适当添加辅助线构造 新的三角形，使 BDC处于在外角的位置， BAC处于在内角的位置；证法一 ：延长 BD交 AC于点 E证法二 ：连接 AD，并廷长交 BC于 F 注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三 角 形的内角位置上，再利用不等式性质证明。三、 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造 全等三角形，如：例如：如图 3-1 ：已知 AD为 ABC的中线，且 1=2, 3= 4,求证： BE+CF>E。F分析：要证 BE+

20、CF>EF， 可利用三角形三边关系定理证明， 须把 BE，CF， EF移到同一个三角形中，而由已知1=2，3=4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等 对应边相等，把 EN，FN， EF移到同个三角形中。证明： 在 DN上截取 DN=DB，连接 NE， NF，则 DN=DC， 注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等 的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得 到相等元素。四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造 全等三角形。例如：如图 4-1 ： AD为 ABC的中线，且 1= 2， 3=4， 求证： BE+CF>EF证明 ：廷长 ED至

21、 M，使 DM=D，E 连接CM， MF。可通过延长加倍此线段，注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时， 使题中分散的条件集中。五、在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。 例如：如图 5-1 ：AD为 ABC的中线，求证： AB+AC>2A。D 分析：要证 AB+AC>2AD，由图想到： AB+BD>AD,AC+CD>A，D 所以有 AB+AC+B D+CD> AD +AD=2AD，左边比要证结论多 BD+CD， 故不能直接证出此题， 而由 2AD想到要构造 2AD，即加倍中线， 把所要证的线段转移到同一个三角形中去 证明： 延长 AD至 E，使 DE

22、=AD，连接 BE， CE图4 1构造全等三角形，图5 2（常延长中线加倍，构造全等三角形）练习：已知 ABC，AD是 BC边上的中线，分别以 AB边、 AC边为直角边各向外作等腰直角三角 形，如图 5-2 ， 求证 EF=2AD。六、截长补短法作辅助线。例如：已知如图 6-1 ：在 ABC中， AB>AC， 1=2，P 为 AD上任一点 求证： AB-AC>PB-PC。分析： 要证：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三边关系， 定理证之， 因为欲证的线段之差， 故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC，故可在 AB上截取 AN等于 AC，得 AB-AC=BN

23、， 再连接 PN，则 PC=PN，又在 PNB 中， PB-PN<BN，即： AB-AC>PB-PC。证明：（截长法）在 AB 上截取 AN=AC连接 PN 证明：（补短法）延长 AC至 M，使 AM=AB，连接 PM，七、延长已知边构造三角形：例如：如图 7-1 ：已知 AC=BD，ADAC于 A ，BCBD于 B，求证： AD=BC分析：欲证 AD=BC，先证分别含有 AD，BC的三角形全等，有几种方案： ADC与 BCD， AOD与 BOC， ABD与 BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为 两个三角形的公共角。证明 ：分别延长

24、DA，CB，它们的延长交于 E点， 当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。 ）八 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图 8-1：ABCD，ADBC 求证： AB=CD。分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必 须把它转化为三角形来解决。证明 ：连接 AC（或 BD）九、 有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图 9-1 ：在 Rt ABC中， AB=AC， BAC=90°， 1=2，CEBD的延长于 E 。求证： BD=2CE要将分析： 要证 BD=2CE，想到要构造线段 2CE， 同时 CE与 ABC的平

25、分线垂直，想到 其延长。图9 1证明：分别延长 BA， CE交于 F。十、 连接已知点，构造全等三角形。 例如：已知：如图 10-1 ；AC、 BD相交于 O点，且 AB=DC， AC=BD，求证： A=D。 分析：要证 A=D，可证它们所在的三角形 ABD和 DCO全等，而只有 AB=DC和对 顶角两个条件， 差一个条件，难以证其全等， 只有另寻其它的三角形全等， 由 AB=DC，AC=BD，如连接 BC，则 ABD和 DCO全等，所以，证得 A= D。 证明：连接 BC 在 ABC和 DCB中十一、 取线段中点构造全等三有形。例如：如图 11-1 ：AB=DC， A= D 求证： ABC=

26、DCB。 分析： 由 AB=DC，A=D，想到如取 AD的中点 N，连接 NB，NC， 再由 SAS公理有 ABN DCN，故 BN=CN， ABN=DCN。下面 只需证 NBC= NCB，再取 BC 的中点 M，连接 MN， 则由 SSS公理有 NBM NCM，所以 NBC=NCB。问题得证。 证明：取 AD，BC的中点 N、M，连接 NB， NM， NC。梯形问题中的辅助线1、连结对角线例 1 如图 1，梯形 ABCD 中， AB CD ， AD BC ，延长 AB 使 BE CD ，试说明 AC CE.解：如图 1，连结 BD ，由BDCE 可证得 BD CE，由等腰梯形 性质得 AC

27、BD ，所以 ACCE.A图11 1到 E ，ABCD2、平移一腰，即从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个平行四 边形和一个三角形例 2 如图 2，梯形 ADCB 中，ABCD，AB 2cm， CD8cm，AD4cm，求 BC 的取值范围 .解析：过点 B作BE AD，交 CD 于点 E，则四边形 ADEB 是平行四边形，可知 BEAD 4cm，DEAB2cm.于是 ECCD DE82 6cm.在 ABC 中， ECBE<BC<ECBE，所以 2cm< BC < 10cm.3、平移两腰，将两腰转化到同一个三角形中例 3 如图 3，在梯形 ABCD 中， AD

28、 BC， BC90°， E、 F分别为 AD、BC 的中点， BC8，AD 4，试求 EF.解：过点 E分别作 EMAB，ENCD，交 BC 于 M、N，则 EMF B ， ENF C，所以 MEN 90°，AEBM ，DE CN ，所以 MFNF，111所以 EF MN （BCAD） （84）2.2224、作梯形的高，即从同一底的两端作另一底的垂线，把梯形转化为一个矩形和两个直角三角形例 4 已知，如图 4，梯形 ABCD 中， AD BC， BC45°，梯形 ABCD 是等腰梯形吗？解：过点 A 作 AEBC 于点 E，过点 D作 DFBC 于点 F，则 AE

29、B DFC 90°， AE DF，又 BC45°.于是 ABE 与 DCF 能够完全重合，即 AB CD.5、延长两腰，即延长两腰交于一点，得到两个三角形例 5 如图 5，梯形 ABCD 中，AD BC，AD 5，BC9，B80 求 AB 的长 .解：延长 BA、CD 交于点 E，因为 ADBC，所以 ADE C 50°.因为 E 180° B C50°，所以 E ADE C.所以 AE AD 5，BEBC 9.所以 AB BE AE95 4.6、平移对角线，即过底的一个端点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中例 6 如图 6 所示，在梯形 ABCD 中，上底 AD 1cm，下底 BC 4cm，对角线 BDAC，且 BD 3cm，AC 4cm.求梯形 ABCD 的面积解：过点 D 作 DEAC 交 BC 的延长线于点 E，因为在梯形 CD 中， AD BC，所以四边形 ACED 是平行四边形 .则 ACDE ，AD CE.又因为 AC BD ，所以 BD DE ，即 BDE 是直角三角形 .因为 BDE 与梯形 ABCD 同高，且梯 形 ABCD