2021版高中数学第二章数列2.1.2数列的递推公式(选学)学案新人教B版必修5

1、2.1.2数列的递推公式选学n 项.3.【学习目标丨1.理解递推公式是数列的一种表示方法.2.能根据递推公式写出数列的前掌握由一些简单的递推公式求通项公式的方法.问题导学知识点一递推公式思考 下列图形象地用小正方形个数给出数列an的前4项:6叫旳町那么aa=ai+, a3=a2+,a4=a3 +.由此猜测an=an-1+ai = 1,梳理 思考中的数列an可由完全确定.an= an-1+ n, n?2一般地，如果数列的 或前几项，且从第2项或某一项开始的任一项它的或前几项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.知识点二递推公式与通项公式的比拟a1 = 2,思考 1求

2、a4；an+1 = ai + 2, n N+,an= 2n,求a4.梳理通项公式和递推公式都是给出数列的方法.数列的通项公式，可以直接求出任意一项；递推公式，要求某一项，那么必须依次求出该项前面所有的项.题型探究类型一由数列前假设干项归纳递推公式例1数列an的前4项依次是：13,31,49,67，试猜测a+1与an的关系.反思与感悟 递推公式是反映数列相邻两项 或几项间的关系的，所以寻找数列的递推关系, 也常从数列相邻项有何变化着手，常考虑的变化有：数列是递增不是递减，假设递增，增幅有 什么规律.跟踪训练1 数列an中，a1= 1, a2= 3, a3= 7, a4= 15,试猜测an的递推公

3、式.类型二数列的递推公式的应用命题角度1由递推公式求前假设干项例2设数列an满足an= 1 +an 11n >1, n N+写出这个数列的前 5项.引申探究数列a满足a1= 2,1 + an十an+1= 1 an '求 a2 016.反思与感悟 递推公式反映的是相邻两项 (或n项)之间的关系对于通项公式，n的值即可得到相应的项；而递推公式那么要首项(或前几项)，才可依次求得其他的项假设项数很大，那么应考虑数列是否有规律性.跟踪训练2 在数列an中，ai = 2, a2 = 3, an+ 2= 3a“ 1 2a( n?1)，写出此数列的前 6 项.命题角度2由递推公式求通项例 3(

4、1)对于任意数列an,等式：ai+ (a2 ai) + (a3 a?) + + (an an-1) = a(n>2, n N+)都成立.试根据这一结论，完成问题：数列 an满足：a1= 1, an+1 an= 2，求通项an；a2 a3an 假设数列an中各项均不为零，那么有 a1 - 3 =an( n?2, n N+)成立.试根据 a1 a2an1an n1这一结论，完成问题：数列 a满足：a1= 1,- =(n?2, n N+)，求通项an.an 1n反思与感悟 形如an+1 an= f( n)的递推公式，可以利用 a1 + (a2 a" + (a3 a2)+ (anan

5、+ 1an 1) = an(n?2, n N + )求通项公式；形如=f(n)的递推公式，可以利用ana2 a3ana1 =an( n?2, n N+)求通项公式.a1 a2an1跟踪训练 3数列an中，ai= 1,a2= 2,an+2= &+1 an,试写出as,a4,a5,st,a?,a8,你发现数列an具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 016项？当堂训练1. 数列1,3,6,10,15，的递推公式是A. an+1 = an+ n, n N+B. an = an1 + n, n N+, n?2C. an+1 = an + (n + 1) , n N+D. an = an-1

6、 + (n 1) , n N+, n?22. 数列an满足a1= 2, an+1 &+ 1 = 0( n N+)，那么此数列的通项 an等于()2A. n +1 B . n+ 1C. 1 n D . 3 n3 .用火柴棒按下列图的方法搭三角形:按图示的规律搭下去，那么所用火柴棒数an与所搭三角形的个数 n之间的关系式可以是I一规律与方法 .1 an与an是不同的两种表示， an表示数列a1 , a2,，an,，是数列的一种简记形式.而an只表示数列an的第n项，an与an是“个体与“整体的附属关系.2 .数列的表示方法：1图象法；2列表法；3通项公式法；4递推公式法.3 .通项公式和递

7、推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的 n值，就可以求出该项的值 an；而递推公式那么是间接反映数列的式子，它是数列任意两个或多个相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.合案精析问题导学知识点一思考 23 4 n梳理第1项前一项an 1知识点二思考(1) a2= ai + 2 = 4, a3 = a2 + 2= 6,a4= a3+ 2= 8.(2) a4=2x 4= 8.题型探究类型一例 1 解 由 a2-ai= 31 -13= 18,a3 a2= 49 31 = 18,a4 a3= 67 49 = 18,猜测 ai+1 ai= 18,即 a

8、n+1= an+18.跟踪训练1 解由a2 a1= 3 1=2 = 21,a3 a2= 7 3= 4= 22,3a4 a3= 15 7 = 8 = 2 ,猜测+1 a= 2n, n N+.或 a2= 2x a1+ 1,a3= 2 x a2 + 1,a4= 2x a3 + 1.猜测 an+1 = 2an+ 1, n N+.类型二命题角度1例2解由题意可知a1= 1,1c ,13,15,1,38a2= 1 +一= 2,a3=1 + =二，a4= 1 + =二，a5 =1 + =1 +： = ：.a1a2 2a33a455引申探究a2=1 + a1 = 1 + 2=1 a1= 1 2=1 + a2

9、_ 1 3_11 - a2= 2，1 + a311-213,11 + a4 1 + 3故an是周期为4的数列.1 a2 016 a4X 503+ 4&4 二.跟踪训练2 解a1= 2, a2 = 3,a3= 3a2 2a1 = 3x 32 x 2= 5,a4= 3a3 2a2= 3x 52 x 3= 9,a5= 3a4 2a3= 3x 92x 5= 17,a6= 3a5 2a4= 3x 17 2 x 9= 33.命题角度2例3解(1) n?2时，an= a*1+ (a2 aj + (a3 az) + + (an an 1) = 1 + 2+ 2+ n ? 个2 = 2(n 1) + 1=2n 1.a1= 1也适合上式，所以数列an的通项公式是an = 2n 1.anan -1n 11v=n.(2) n>2 时,an= a1a2a3a2a1= 1也适合上式，1所以数列an的通项公式是an = -.n跟踪训练 3 解 a1 = 1, a2 = 2, a3= 1,a4= 1, a5 = 2,a6= 1, a7 = 1, as = 2,.发现：an+ 6= an,数列an具有周期性，周期 T= 6. 证明如下：T an