图论最优化算法

1、非诚勿扰男女最优组合摘要：本文主要内容为寻求最大权匹配问题，即利用图论的最大权匹配知识，为非诚勿扰节目中的男女嘉宾进行最优组合。本文将其转化为二部图寻找最大权匹配的问题。关键词：非诚勿扰，最大权匹配1、 问题描述 非诚勿扰是中国江苏卫视制作的一档大型生活服务类节目。每期节目大部分都是5位男嘉宾，24位女嘉宾，女生有“爆灯”权利。首先男嘉宾选择心动女生，女嘉宾在“爱之初体验”根据第一印象选择是否留灯；然后在“爱之再判断”了解男嘉宾的一些基本情况，比如爱好、情感经历等；接下来在“爱之终决选”通过男嘉宾亲人或朋友的情况了解男嘉宾，做出最后的决定，如果有女生留灯的话就进入“男生权利”，男生做出最后选择

2、，如果没有女生留灯则只能遗憾离场。 2、 模型建立 通过观看20150124期节目，这期节目只有4位男嘉宾，然后在整个节目男女嘉宾交流过程中4号、19号、22号、23号女嘉宾都没有发过言，没有了解到这四位女嘉宾的基本情况以及对男嘉宾的要求，所以在本次模型建立过程中没有考虑这四位女嘉宾。经过上述分析，本期产生了4位男嘉宾和20位女嘉宾的可能匹配，我们将这4位男嘉宾和20位女嘉宾划分为X部和Y部，男生为X1，X2，X3，X4，女生为Y1，Y2，Y3，.Y20。Xi与Yj之间连线，当且仅当它们所代表的男女双方满足彼此寻找另一半的某些要求，或者女生是男嘉宾选择的心动女生。由以上分析得到如图2.1所示的

3、二部图。如何定义该二部图的权值：首先，每位男嘉宾的心动女生基本权值为1，其余女嘉宾的基本权值为0，然后根据男女嘉宾双方对对方的要求，在外貌、工作、性格、爱好、家庭五个方面基本相符就加1，差别很大就不加。得到如图2.2所示的加权图。 显然，为这些男女嘉宾找最优组合就转化为二部图（X，Y）寻找最大权匹配 图 2.1 图 2.2 图 2.23、 模型求解本模型用匈牙利算法来进行求解。其中S表示交错树中属于X的顶点集；T表示交错树中属于Y的顶点集；F（Y）表示Y的父亲；N（S）表示S的邻域；A(Xi)表示Xi的邻接点集；Wij表示XiYj边上的权。求解步骤如下：1) 给出初始标号： L(X1)=max

4、1,2,0,0,0,2,0,0,0,0,2,2,0,0,1,0,0,0,0,0=2 L(X2)=max0,0,3,0,3,0,0,0,0,0,0,3,0,1,0,1,0,2,0,0=3 L(X1)=max1,2,0,0,0,2,0,0,0,0,2,2,0,0,1,0,0,0,0,0=2 L(X2)=max0,0,3,0,3,0,0,0,0,0,0,3,0,1,0,1,0,2,0,0=3 L(X3)=max0,4,0,0,0,5,2,2,3,0,4,0,1,0,0,0,5,0,1,0=5 L(X4)=max0,0,0,2,0,0,0,0,0,4,0,0,0,0,3,0,0,0,0,4=4 L(Y

5、1)=L(Y2)=L(Y3)=L(Y5)=L(Y6)=L(Y7)=L(Y8)=L(Y9)=L(Y10)=L(Y11)=L(Y12)=L(Y13)=L(Y14)=L(Y15)=L(Y16)=L(Y17)=L(Y18)=L(Y20)=L(Y21)=L(Y24)=02) 求出AGl(Xi)及匹配M： AGl(X1) = Y2 ,Y7 ,Y12 ,Y13 AGl(X2) = Y3 ,Y6 ,Y13 AGl(X3) = Y7 ,Y18 AGl(X4) = Y11 ,Y24 对应等子图Gl如图3.1所示，求得匹配M，M=X1Y13，X3Y7，X4Y24。如图3.1黑线所示 。x1 。X2 。X3 。X4

6、。 。 。 。 。 。 。 。 。 Y2 Y3 Y6 Y7 Y11 Y12 Y13 Y18 Y24 图 3.13） X2是非渗透点，u=X2 ,用匈牙利算法求出以u为根的M交错树得：S=X1，X2 ，X3, T=Y7，Y13，N(S)=Y2，Y3，Y6，Y7，Y12，Y13，Y18。 因NGl(S) T，找一点Y3 A(X2)-T, F(Y3)X2。因Y3 是M非渗透点，故得一条M可增长路径P = X2Y3 E（P）= X2Y3因而得到新匹配 M = ME（P）= X1Y13，X3Y7，X4Y24, X2Y3 4）至此已渗透X中所有顶点，M即为最大权匹配。此时得到的男女最优组合为：1号男嘉宾吴

7、楷与13号女嘉宾肖俊，吴楷是一个帅气、认真、努力、爱好中国古文化但不是很擅长交际的专一型外国男生，对另一半的要求是活波、喜欢冒险、运动的女生，与13号女嘉宾要求男方要做到诚实相待、善良不撒谎、会照顾人相符，相处之后女生活波的一面也会带动男生；2号男嘉宾张涛与3号女嘉宾张馨予，双方都属于自己创业，也都有一定的成就，在生活中有很多话题、很多共鸣，而且女生属于胆大心细、温柔不强势类型，是男嘉宾心中的理想型，女生希望无论恋爱还是结了婚，对方都不要有欺骗，更不要轻易放弃，发生任何事情都要坚持，婚后不介意和对方家人住一起，与男嘉宾工作能力强、不善交际、踏实肯干十分相符；3号男嘉宾张凡帆与7号女嘉宾魏鸾莹，

8、男嘉宾成熟、热爱生活，有梦想、有追求，与女嘉宾希望对方尊重家庭，有责任感、可以分享周遭的许多事情十分相符，而且两人在节目中互动也挺多，更幸运的是两人还在同一城市。4号男嘉宾丁腾与24号女嘉宾顾欣伟，男嘉宾年少有为，但有点大男子主义，女嘉宾属于温婉、居家类型，而且为男嘉宾一路留灯到最后，需要很大勇气，很有缘分的是两人穿的是情侣装。但最后得到的最大权匹配也只是建立在本模型中理论上的，与节目最终的结果还是有区别的，最后只有最大权匹配中的两对牵手成功。附加题：校园导游任意两景点求最短路径方案：校园导游为用户提供平面图中任意两点间的问路查询，即查询任意两个景点间的最短路径，旨在为用户的旅游大大提高效率。

9、用无向网表示学校的平面图，设计了该平面图的存储结构，并应用Dijkstra算法实现了查询图中任意两个景点间的最短路径的功能，为用户熟悉校园环境提供了方便。算法描述：s为源，wu,v为点u和v之间的边的长度，结果保存在dist。 初始化：源的距离dists设为0，其他的点距离设为无穷大(实际程序里设成-1了)，同时把所有的点的状态设为没有扩展过。 循环n-1次： 1) 在没有扩展过的点中取一距离最小的点u，并将其状态设为已扩展。 2) 对于每个与u相邻的点v，如果distu+G.edgesuv<distv，那么把disv更新成更短的距离distu+wu,v。此时到点v的最短路径上，前一个节

10、点即为u。 3) 结束。此时对于任意的u，distu就是s到u的距离。 景点1到各点最短路径 邻接矩阵如图1所示 0 340 320 360 0 150 600 0 300 150 0 250 430 0 180 W = 0 100 290 0 150 0 430 0 150 0 450 0 380 0 图 1 Dijkstra各次迭代各变量值的变化情况如下表1所示迭代 L(ui)父亲uuiu2u3u4u5u6u7u8u9ui0ui1ui210U120340320360U1U330340320620360U1U240340320940620360U1U1250340320940620360U3

11、U760340320940720620740360U7U670340320940900720620910740360U9U11803403209409007206209101290740360U6U5903403209409007206209101060740360U6U910034032094090072062013409101060740360U2U411034032094090072062013409101060740360U9U1012034032094090072062013409101060740360U4U8利用算法的父点追踪便可得到从U1到其余各点的最短路径。部分代码：void

12、 Dijkstra(int v, int w)int distMAXV, pathMAXV; /dist记录顶点到其他各点的权值，path记录源点到其余各点是否有路径int sMAXV; /s记录经过的顶点int mindis, i, j, u; for(i = 0; i < G.vexnum; i +)disti = G.edgesvi; /距离初始化si = 0; /s置空if(G.edgesvi < INF) /路径初始化pathi = v;elsepathi = -1;sv = 1; pathv = 0; /源点编号v放到s中/循环直到所有顶点的最短路径都求出for(i = 0; i < G.vexnum; i +)mindis = INF; /mindis置最小长度初值for(j = 0; j < G.vexnum; j +)if(sj = 0 && distj < mindis)u