圆锥曲线的定点、定值

1、9.11：圆锥曲线的定点、定值问题一、高考目标 掌握圆锥曲线中的定点、定值问题的解题思路二、重点难点：圆锥曲线的定点、定值问题 第一课时三、知识梳理（一）定点问题1.特取法：取特殊数值或特殊位置探求出定点，适合做小题；2.分离参数法求出含参数的曲线方程；消去多余的参数，保留一个（或两个）参数；分离参数后令参数的系数为0，解方程组求出定点。（二）定值问题1.求解方法（1）特取法：取特殊数值或特殊位置探求出定值，适合做小题；（2）方程思想：利用动点的坐标满足的曲线方程、已知条件列出若干方程，再消去相关量，得到待求量的关系或值。2.常用结论（1）过椭圆 (a0, b0) 双曲线上任一点任意作两条倾斜

2、角互补的直线交椭圆双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且;（2）已知椭圆（ab0）双曲线,O为坐标原点，P、Q为椭圆双曲线上两动点，且.;|OP|2+|OQ|2的最大值为; 的最小值是.（3）AB是椭圆双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，四、题型讲解 1.定点问题（1）分离参数法：将动曲线用含参的方程表示，再分离参数且令其系数为零，得到方程组，解出定点的坐标。例1.在双曲线的一支上有不同的三点,它们与焦点的距离成等差数列求证: (1)是定值;(2)线段的垂直平分线过定点.证明: (1)设三点在双曲线的右支上,离心率,由得:为定值;(2)在双曲线上, ,(1)-(2)得:,即,的垂直

3、平分线的方程为,故的垂直平分线过定点.例2.A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，满足OAOB(O为坐标原点)求证：(1)A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；(2)直线AB经过一个定点(3)作OMAB于M，求点M的轨迹方程2.解：(1)设A(x1,y1), B(x2,y2), 则y12=2px1, y22=2px2, y12y22=4p2x1x2, OAOB, x1x2+y1y2=0,由此即可解得：x1x2=4p2, y1y2=4p2 (定值)(2)直线AB的斜率k=, 直线AB的方程为yy1=(x),即y(y1+y2)y1y2=2px, 由(1)可得 y=(x2p),直线

4、AB过定点C(2p,0)(3)解法1:设M(x,y), 由(2)知y=(x2p) (i),又ABOM, 故两直线的斜率之积为1, 即·= 1 (ii)由(i),(ii)得x22px+y2=0 (x¹0)解法2: 由OMAB知点M的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点) 立即可求出。变式训练一：1.已知动直线，求证：点P(-2,2)到该动直线的距离。1.证明：把直线方程化为：，令，解得：x=2,y=-2，即动直线过定点M（2，-2），连PM，则点P(-2,2)到该动直线的距离。2已知抛物线，焦点为，定点，动点是抛物线上的三个点，且满足试问所在的直线是否过定点，若是

5、，求出该定点的坐标；否则说明理由解：设，则,因为，所以，因为，所以的方程：，由化简即得：，令则，所以直线AB过定点（1，-4）。 第二课时（2）观察特取法：利用条件，经过观察分析，只要满足条件的x,y的值，就是定点的坐标例3.已知椭圆方程，过点的动直线l交该椭圆于A、B两点，试问：在坐标平面内是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T，若存在求出T的坐标；若不存在，请说明理由。解：假设满足条件的T存在。当直线l与X轴平行时，以AB为直径的圆方程为；当直线l与Y轴重合时，以AB为直径的圆方程为，以上两圆方程联立解得即是满足条件的必要条件。下面证明其充分性：若存在，对过S点不与坐标轴平行的

6、直线设为，把它代入椭圆方程：，得到：，设，则有，因为,=，所以,即以AB为直径的圆恒过定点T。其定点T的坐标为（0，1）。变式训练二：已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为，。（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C交于P、Q两点，直线与交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。解法一：（1）设椭圆的方程为。，。椭圆的方程为。（2）取得，直线的方程是直线的方程是交点为若，由对称性可知交点为若点在同一条直线上，则直线只能为。以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得即，记，则。设与交于点由得设与交于点由

7、得，即与重合，这说明，当变化时，点恒在定直线上。13分解法二：（2）取得，直线的方程是直线的方程是交点为取得，直线的方程是直线的方程是交点为若交点在同一条直线上，则直线只能为。8分以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。事实上，由得即，记，则。的方程是的方程是消去得以下用分析法证明时，式恒成立。要证明式恒成立，只需证明即证即证式恒成立。这说明，当变化时，点恒在定直线上。（3）巧用定义法：结合圆锥曲线的定义，在运动变化中寻求符合定义的不变量。例4.已知P是双曲线上不同于顶点的右支上任意一点，是双曲线的左右两个焦点，试问：三角形的内心I是否在一定直线上，若存在，求出直线方程；若不存在，请说明

8、理由。解：设三角形的内切圆与X轴的切点为M，则由双曲线的定义及切线长定理可知：，所以M也在双曲线上，即M为双曲线右顶点，又X轴，所以三角形的内心I在一定直线上。变式训练三：以抛物线上任意一点P为圆心，作与Y轴相切的圆，则这些动圆必经过定点的坐标为 解：不难求得Y轴是抛物线的准线，由抛物线的定义可知，这些圆必经过抛物线的焦点F，可以求得F(4,-1)，所以这些动圆必经过定点的坐标为(4,-1)。 第三课时2.定值问题（1）巧“特”结论：利用特殊值探求结论，再验证其充分性；例5.已知椭圆，过左焦点作不垂直与X轴的弦交于椭圆于A、B两点，AB的垂直平分线交X轴于M点，则 的值为 A B. C. D.

9、 解：本题为选择题，即知此比值为定值，故可用特殊值法。设AB与X轴重合时，M就是原点，所以AB长为6，MF的长2，故=，答案为B。变式训练四：已知椭圆上任意一点M,是椭圆短轴的两个端点，作直线分别交X轴于P,Q两点，求证：为定值，并求出定值。分析：当动点M在长轴的端点时，则P，Q重合于长轴的端点，因此=。再作一般证明即可得为定值为。（2）方程思想：利用动点在曲线上及已知条件，列出方程组，然后消参得到所求的定值。例6.椭圆的一条过焦点的弦被分成两条线段的长为,求证：为定值.证明:不妨设为右焦点,则分的比是,由定比分点公式得:由焦半径公式,(2)(3)代入(1)得.变式训练五：已知A（1，1）是椭

10、圆上的一点，是椭圆的两个焦点，且满足.(1)求椭圆的方程（2）设点B、C是椭圆上的两个动点，且直线AB、AC的倾斜角互补，试判断直线BC的斜率是否为定值？并说明理由。解：（1）因为a=2,把A点坐标代入椭圆方程得：，所以椭圆方程为：。（2）由条件可以得到直线AB、AC的斜率存在且不为0，故设直线AB的方程为，代入椭圆方程得：，因为，所以，又设直线BC的方程为，同理得到： ,， 因此得到：，把代入得，所以直线BC的斜率为定值。（3）数形结合：有些求定值问题往往可以与平面几何的一些性质相结合，可以达到事半功倍的效果例7已知AB是双曲线过焦点的任意一条弦，以AB为直径的圆被与相应的准线截得圆弧,求证

11、：的度数为定值。解：设AB的中点为P，P、A、B到相应的准线距离分别为，则，（r为以AB为直径的圆的半径），所以即的度数为定值。变式训练六：已知圆，过原点O的动直线交圆于P、Q两点，则的值为 解：设OB切于圆于点B,则=.9.11：圆锥曲线的定点、定值问题一、高考目标 掌握圆锥曲线中的定点、定值问题的解题思路二、重点难点：圆锥曲线的定点、定值问题 第一课时三、知识要点（一）定点问题1.特取法：取特殊数值或特殊位置探求出定点，适合做小题；2.分离参数法求出含参数的曲线方程；消去多余的参数，保留一个（或两个）参数；分离参数后令参数的系数为0，解方程组求出定点。（二）定值问题1.求解方法（1）特取法

12、：取特殊数值或特殊位置探求出定值，适合做小题；（2）方程思想：利用动点的坐标满足的曲线方程、已知条件列出若干方程，再消去相关量，得到待求量的关系或值。2.常用结论（1）过椭圆 (a0, b0) 双曲线上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且;（2）已知椭圆（ab0）双曲线,O为坐标原点，P、Q为椭圆双曲线上两动点，且.;|OP|2+|OQ|2的最大值为; 的最小值是.（3）AB是椭圆双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，四、题型讲解 1.定点问题（1）分离参数法：将动曲线用含参的方程表示，再分离参数且令其系数为零，得到方程组，解出定点的坐标。例1

13、.在双曲线的一支上有不同的三点,它们与焦点的距离成等差数列。求证: (1)是定值;(2)线段的垂直平分线过定点.例2.A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，满足OAOB(O为坐标原点)求证：(1)A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；(2)直线AB经过一个定点(3)作OMAB于M，求点M的轨迹方程变式训练一：1.已知动直线，求证：点P(-2,2)到该动直线的距离。2已知抛物线，焦点为，定点，动点是抛物线上的三个点，且满足试问所在的直线是否过定点，若是，求出该定点的坐标；否则说明理由 第二课时（2）观察特取法：利用条件，经过观察分析，只要满足条件的x,y的值，就是定点的坐标例3

14、.已知椭圆方程，过点的动直线l交该椭圆于A、B两点，试问：在坐标平面内是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T，若存在求出T的坐标；若不存在，请说明理由。变式训练二：已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为，。（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C交于P、Q两点，直线与交于点S。试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。（3）巧用定义法：结合圆锥曲线的定义，在运动变化中寻求符合定义的不变量。例4.已知P是双曲线上不同于顶点的右支上任意一点，是双曲线的左右两个焦点，试问：三角形的内心I是否在一定直线上，若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由。变式训练三：以抛物线上任意一点P为圆心，作与Y轴相切的圆，则这些动圆必经过定点的坐标为 第三课时2.定值问题（1）巧“特”结论：利用特殊值探求结论，再验证其充分性；例5.已知椭圆，过左焦点作不垂直与X轴的弦交于椭圆于A、B两点，AB的垂直平分线交X轴于M点，则 的值为（） A B. C. D. 变式训练四：已知椭圆上任意一点M,是椭圆短轴的两个端点，作直线分别交X轴于P,Q两点，求证：为定值，并求出定值。（2）方程思想：利用动点在曲线上及已知条件，列出方程组，然后消参得到所求的定值。例6.椭圆的一条过焦点的弦被分成两条线段的长