导数问题命题特点及破解技巧

1、导数问题命题特点及破解技巧关键词：导数特点方法规律破解文摘要：导数是函数的局部性质，一个函数在 某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化 率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在 某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的 切线斜率，导数的本质是通过极限的概念对函数进行 局部的线性逼近。中图分类号：g633.6文献标识码：a 章编号：1003-9082 (2015) 11-0138-02导数是微积分中的重要基础概念，有是高中数学 的新增内容之一，在高中阶段的引入意义深远，利用 导数既可从更深的角度来研究函数性质，又可更广泛 地联系其他学科，体现数学学科的基础性。从近几年高考来看，

2、该部分高考命题有以下特点: 从内容上看，考查导数主要有三个层次：导数的概 念、求导公式与法则、导数的几何意义;导数的简单 应用，包括求函数极值、求函数的单调区间、证明函 数的单调性等;导数的综合考查，包括导数的应用题 以及导数与函数、不等式等的综合题.从特点上看，高 考对导数的考查有时单独考查，有时在知识交汇处考 查，常常将导数与函数、不等式、方程、数列、解析 几何等结合在一起考查.从形式上看，考查导数的试题 有选择题、填空题、解答题，有时三种题型会同时出 现.考点一导数的运算及几何意义 例1、直线是曲线y=的一条切线，则实数b=破解设切点坐标为(x 0，y 0)，则=，所以 x0=2，yo=

3、 ，又切点也在直线y= x+b上，则b=-1.方法规律求曲线y=的切线方程的类型及方法.(1) 已知切点p (xo, yo)，求切线方程；(2) 已知切线的斜率k，求切线方程；(3) 己知切线上一点(非切点)，求切线方程. 考点二利用导数研究函数的单调性例2、设函数=+，其中a为常数.(1)若，求曲线尸在点(1，)处的切线方程；（2）讨论函数 破解（1）由题意知的单调性.可得时，此时 ，又(1) =0,所以曲线y=方程为x-2y-l=0.（2）函数当a>0时，在（0，十）上单调递增. 当 a<0 时，令 g （x在（1，f （1）处的切线的定义域为（0，+ ，函数oo，由于

4、当a二-时，a 二0，在（0，+°°）上单调递减当 a&lt;-时，a&lt;0，g (x)&lt;0，上单调递减. 当-是函数 xl）时，函数0时，a的两个零点，&lt;0，单调递减;xe （xl，x2）时，在（0，+°°设所以xe (0, &lt;0,函数&gt;o，&gt;0，函数单调递增;xg （x2，+oo）时&lt;o，函数单调递减.综上可得：当a彡0时，函数f (x)在(0,十)上单调递增；当a<- 时，函数f (x)在(0，+°°)上单调 递减；当时

5、，在，上单调递减，在 上单调递增.方法规律利用导数研宄函数单调性的一般步骤(1) 确定函数的定义域.(2) 求导数(3) 若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数的定义域内解(或证明)不等式&gt;0或&lt;0即可;若已知的单调性，则转化为不等式>0或0在单调区间上恒成立问题求解.考点三利用导数研究函数的极值与最值 例3、已知函数的导函数为偶函数，且曲线在点（0，（0）处的切线的斜率为4-c.（1）确定a，b的值；（2）若c=3，判断的单调性;(3)若有极值，求c的取值范围.破解 （1）对求导得，由为偶函数，知= ，所以a=b.又f'(0) =2 +2b-c=4

6、-c故 a=l，b=l.(2)当 c=3 时，f (x) =e2x-e-2x-3x,那么=2e2x+2e-2x-3 2-3=l&gt;0，故(3)由(1)知在r上为增函数.=2e2x+2e-2x-c，而 2e2x+2e-2x2=4,当x=0时等号成立下面分三种情况进行讨论.当c&lt;4时，对任意xer，=2e2x+2e-2x-c&gt;0，此时无极值；当c=4时，对任意xto=2e2x+2e-2x-4&gt;0,此时无极值；当c&gt;4时，令e2x=t,注意到方程2t+ -c=0有两根tl，2= 即lnt2.当又当在&gt;o，=0有两个根x

7、l= lntl或x2=时，&lt;0;处取得极小值. 综上，若+°°).有极值，则c的取值范围为(4,方法规律(1)求函数y=在某个区间上的极值的时，&gt;0，从而求导数求方程检查=0的根x0;在左、右的步骤：第一步第二步第三步 符号(2)导数值为0的点不一定是函数的极值点，它 是函数在该点取得极值的必要而不充分条件.(3)求函数在区间，b上的最大值与最小值的步骤：第一步：求函数在区间(，b)内的极值(极 大值或极小值)；第二步：将的各极值与，进行比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.考点四定积分及应用(理)例4直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的 封闭图形的面积为a.2b.4c.2d.4破解首先求出两曲线的交点，画出图形，确定出 被积函数，再用积分求出面积.令 4x=x3，解得 x=0 或 x=±2，s=错误！ (4x-x3)=8-4=4， 故选 d.方法规律(1)求函数在某个区间上的定积分，关键是求 出满足的原函数，要正确应用定积分的性质，正确运用求导运算与求原函数的运算互为逆运算的