空间向量的数量积运算(6)课件

1、空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算一一 复习引入复习引入 已知两个非零向量已知两个非零向量 , 作作 , 则则 叫做向量叫做向量 的夹角的夹角.OAa ,a b OBb (0180 )AOB ab与与 已知两个非零向量已知两个非零向量 ,它们的夹角它们的夹角为为 ,我们把我们把 叫做向量叫做向量 的数量积的数量积,记做记做 ,即即 = ., a b |a |b |cos a b a b |a|b|cos , a b1 向量的夹角向量的夹角:abO OA AB Bab2 平面向量数量积平面向量数量积:(1)a ee a|a|cos (2)aba b0 a b(4)cosab 3 平面向量数

2、量积的性质平面向量数量积的性质22(3)|a|a aa 4 平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律(1)a bb a (2)( a) b(a b)a ( b) (3)(ab) ca cb c （交换律）(数乘结合律）（分配律）二二 、新、新课课 因为向量可以自由平移，所以空间中任因为向量可以自由平移，所以空间中任意两个向量可以平移到同一平面内，即意两个向量可以平移到同一平面内，即空空间任意两个向量共面间任意两个向量共面. . 因此，因此，平面平面中两个中两个向量的夹角及数量积等相关概念、性质可向量的夹角及数量积等相关概念、性质可以推广到以推广到空间空间. .1)1)两个向量的夹角的定义两

3、个向量的夹角的定义: :O OA AB Ba a b b 知知 新新类似地，可以定义空间向量的类似地，可以定义空间向量的数量积数量积两个向量的夹角是惟一确定的！两个向量的夹角是惟一确定的！2 2）两个向量的数量积）两个向量的数量积注注: :两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量; ; 规定规定: :零向量与任意向量的数量积等于零零向量与任意向量的数量积等于零.abA1 1B1 1BAabA1 1B1 1BA数量积数量积 等于等于 的长度的长度 与与 在在 的方向上的投影的方向上的投影 的乘积的乘积.baaabacosb3)3)空间两个向量的数量积性质空间两个向量的

4、数量积性质注：注：性质性质是证明两向量垂直的依据；是证明两向量垂直的依据；性质性质是求向量的长度（模）的依据是求向量的长度（模）的依据. .4)4)空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量积满足的运算律注：注： 向量的数量积运算类似于多项式运算向量的数量积运算类似于多项式运算, ,平方平方差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立。差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立。如如果不能，请举出反例果不能，请举出反例能能得到得到吗？吗？由由, ,对于三个均不为对于三个均不为0 0 的的数数a, ,b, ,c, ,若若ab = =ac, ,则则b= =c. .对于向量对于向量, , , ,abcbaca

5、cb. .不能，例如向量不能，例如向量 与向量与向量 都垂都垂直时，有直时，有 而未必有而未必有acb, caba. cb对于三个均不为对于三个均不为0的数的数 若若 则则 对于向量对于向量 若若 能否能否写成写成 也就是说也就是说向量有除法吗？向量有除法吗？,cba, cab).(acbbca或,bakba?)(akbbka或对于三个均不为对于三个均不为0的数的数 对于向量对于向量 成立吗？也就成立吗？也就是说，向量的数量积满足结是说，向量的数量积满足结合律吗？合律吗？,cba).()(bcacab若, cba)()(cbacba222222)()()( )3)()( )4)( )a bca

6、b cpqp qpqpqpq 135 ADFCBE1(2)(3)(4) 图间边条边对线长点别点计（）3 3. . 如如：已已知知空空四四形形的的每每和和角角都都等等于于1 1，、 分分是是、的的中中。算算：ABCDEFABADEF BAEF BDEF DCEF AC3.DCBDABCA解：解：ACABADAA 22222222|()|2()4352(0107.5)85.ACABADAAABADAAAB ADAB AAAD AA |85.AC ABCDA B C D 4AB 3 ,5 ,90 ,60ADAABADBAADAA AC P92.2. .已知线段已知线段 、在平面、在平面 内，线段内，

7、线段 如果，求、之间的距离如果，求、之间的距离. .ABBD BDAB AC ,ABaBDbACc CDcab CABD解：解：22222222|()|CDCAABBDCAABBDabc 222CDabcP92.3练习练习：1、已知棱长为1的正三棱锥O-ABC，E，F分别是AB，OC的中点，试求 所成角的余弦值.BFOE,OABCEFP92.1.如图，在三棱柱 中，若 则 所成角的大小 为多少？111CBAABC ,21BBAB BCAB11与ABC1A1B1CD 小小 结：结： 通过学习通过学习, ,体会到我们可以利用向量数量积解决立体体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：几

8、何中的以下问题： 1 1、证明两直线垂直、证明两直线垂直; ; 2 2、求两点之间的距离或线段长度、求两点之间的距离或线段长度; ; 3 3、证明线面垂直、证明线面垂直; ; 4 4、求两直线所成角的余弦值等等、求两直线所成角的余弦值等等. . 空间向量的数量积运算 第二课时下列三个重要性质：a b a b , a b 证明：证明：如图如图,已知已知:,POAOllOA 射射影影且且求证：求证：lPA 在直线在直线l上取向量上取向量 ,只要证只要证a 0a PA ()0.a PAaPOOAa POa OA ,aPAlPA 即即. .为为 P O A la 0,0,a POa OA 逆命题成立吗

9、? P O A la 分析分析:同样可用向量同样可用向量,证明思路几乎一样证明思路几乎一样,只只不过其中的加法运算不过其中的加法运算用减法运算来分析用减法运算来分析.分析：要证明一条直线与一个平面分析：要证明一条直线与一个平面垂直垂直, ,由直线与平面垂直的定义可由直线与平面垂直的定义可知知, ,就是要证明这条直线与平面内就是要证明这条直线与平面内的的任意一条直线任意一条直线都垂直都垂直. .例例3(试用试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线已知直线m ,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m, n,求证求证: . ll

10、l lmngm g m l 取已知平面内的任一条直线取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方拿相关直线的方向向量来分析向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件看条件可以转化为向量的什么条件?要要证的目标可以转化为向量的什么目标证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量怎样建立向量的条件与向量的目标的联系的条件与向量的目标的联系? 共面向量定理共面向量定理, ,有了有了! !lmngn g m l ,gxmyn ,l gxl myl n 0,0 ,l ml m 0,.l glg 即即,lgll 即即 垂垂直直于于平平面面 内内任任一一直直线线. . .证证: 在在 内作不与内作不与

11、m ,n重合的任一直线重合的任一直线g,在在 , ,l m n g 上取非零向量上取非零向量 因因m与与n相交相交,故向量故向量m ,n, ,l m n g 不平行不平行,由共面向量定理由共面向量定理,存在唯一实数存在唯一实数 ,使使 ( , )x yOACB()| |cos| |cos| |cos证证明明：因因为为OA BCOA OCOBOA OCOA OBOAOCOAOBOAOB | |cos0OAOB OABCOABCOBOCAOBAOCOABC 7 7、已已知知空空间间四四边边形形，求求证证：练习练习NMABDC证明：因为证明：因为MNMAADDN 所以所以222()1110244AB MNAB MAADDNAB MA