17.2.1复数的加、减运算及其几何意义

1、7. 2复数的四则运算7. 2.1复数的加、减运算及其几何意义考点学习目标核心素养复数加法、减法的运算掌握复数代数形式的加法、减法运算法则数学运算复数加法的几何意义理解复数代数形式的加法、减法运算的几何意义直观想象自:E学研iS *导学無试预习教材P75 P77的内容，思考以下问题：1 复数的加、减法运算法则是什么？运算律有哪些？2 复数的加、减法的几何意义是什么？新矩初探1. 复数加、减法的运算法则及加法运算律(1) 加、减法的运算法则设 Z1 = a + bi, z2= c+ di(a, b, c, d R)是任意两个复数，则Z1 + Z2= (a+ c)+ (b+ d)i,Z1 Z2=

2、(a c)+ (b d)i.(2) 加法运算律对任意Z1 , Z2, Z3 C,有 交换律：Z1+ Z2= Z2 + Z1 . 结合律：(Z1 + Z2)+ Z3= Z1 + (Z2 + Z3).名师点拨两个复数相加就是这两个复数的实部与实部相加,虚部与虚部相加.对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形.2. 复数加、减法的几何意义如图所示，设复数 Z1 = a + bi, Z2= c+ di(a, b, c, d R)对应的向量 分别为OZ1, OZ2,四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与Z1 + Z2对应的向量 是0Z ,与Z1 Z2对应的向量是Z2Z1.百我检测0判断(正确的打“V”，

3、错误的打“X”)(1)两个虚数的和或差可能是实数.()若复数 Z1, Z2 满足 Z1 Z2> 0，贝y Z1> Z2.()(3) 在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部.()(4) 复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形.()复数的减法不满足结合律，即(Z1 Z2) Z3= Z1 (Z2 + Z3)可能不成立.()答案：(1)2(2) X (3) V X (5) X (6 2i) (3i + 1)=()A . 3 3iB. 5 5iC. 7 + iD. 5+ 5i答案：B©若复数z满足z+ (3 4i) = 1,则z的虚部是()A . 2B.

4、4C. 3D. 4答案：B0已知i为虚数单位，设复数 z满足z+ i = 3，则|z|=()A. 3B. 4C. . 10D. 10答案：C应 il (1)计算：(5 6i) + ( 2 i) (3 + 4i);(2)设 Z1 = x + 2i, Z2 = 3 yi(x, y R)，且 Z1 + Z2= 5 6i，求 Z1 Z2.【解】(1)原式=(5 2 3)+ ( 6 1 4)i = 11i.(2)因为 Z1 = x+ 2i, Z2= 3 yi, Z1 + Z2= 5 6i,所以(3 + x) + (2 y)i = 5 6i,3 + x= 5,x= 2,所以所以所以 Z1 Z2= (2 +

5、 2i) (3 8i) = (2 3) + 2 ( 8)i =2 y= 6,y= 8,1+ 10i.解决复数加、减运算的思路两个复数相加(减),就是把两个复数的实部相加(减),虚部相加(减)复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数当多个复数相加(减)时,可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)复数(1 + 2i) + (3 -4i) - (- 5-3i)对应的点在()A 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选 A.复数(1 + 2i) + (3 4i) (- 5-3i) = (1 + 3+ 5) + (2-4+ 3)i = 9+ i,其

6、对应的 点为(9, 1)，在第一象限.探究点画复数加、减法的几何意义仪二 已知平行四边形 OABC的三个顶点O, A, C对应的复数分别为 0, 3 + 2i, - 2 + 4i.(1)求AO表示的复数；求CA表示的复数.【解】因为AO=- OA,所以AO表示的复数为一(3 + 2i)，即一3-2i.(2)因为 CA = OA- OC,所以CA表示的复数为(3 + 2i) (-2+ 4i) = 5 2i.|- -|1. 变问法若本例条件不变，试求点B所对应的复数.解：因为OB= OA+ Oc，所以OB表示的复数为(3 + 2i) + (- 2+ 4i) = 1+ 6i.所以点B所对 应的复数为

7、1 + 6i.2. 变问法若本例条件不变，求对角线 AC, BO的交点M对应的复数.解：由题意知，点M为OB的中点，则OM = 2OB，由互动探究1中知点B的坐标为(1 , 6)，得点M的坐标为1, 3，所以1点M对应的复数为2+ 3i.复数加、减法几何意义的应用技巧(1)复数的加减运算可以转化为点的坐标或向量运算.(2)复数的加减运算转化为向量运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则.1在复平面内，AB, AC对应的复数分别为1+ 2i, - 2-3i,则BC对应的复数为()A . - 1-5iB.- 1 + 5iC. 3-4iD. 3+ 4i解析：选A.因为EBC= AC-AB，所以BC

8、对应的复数为一2- 3i - (- 1 + 2i) = - 1 - 5i.2.在复平面内，A, B, C,三点分别对应复数 1, 2 + i, - 1 + 2i.(1) 求AB, AC, BC对应的复数；(2) 判断 ABC的形状.解：(1)A, B, C三点分别对应复数 1, 2 + i, - 1 + 2i.所以OA, OB, 6C对应的复数分别为1, 2+ i, - 1 + 2i(O为坐标原点), 所以 OA= (1 , 0) , 0B= (2 , 1) , OC= (- 1 , 2).所以 AB= OB - OA = (1 , 1),AC =OC - Oa = (-2 ,2),BC= O

9、C - Ob1).A . 5 -3iB. 3 + 5i即AB对应的复数为1 + i, AC对应的复数为一2 + 2i, BC对应的复数为一3 + i.因为 |AB|= , 1 + 1 = .'2 , |AC= (- 2) 2+ 22= ；'8 ,|BC=' (-3) 2+ 1 = 10 ,因为 |AB|2 + |AC|2 = 10= |BC|2.且 |AB|M|AC|,所以 ABC是以角A为直角的直角三角形.卜测评案C. 7 8iD. 7 2i解析：选 C.(6 3i) (3i + 1) + (2 2i) = (6 1 + 2) + ( 3 3 2)i = 7 8i.2

10、. 已知复数zi = (a2 2) 3ai, Z2= a+ (a2 + 2)i，若zi+ z2是纯虚数，则实数 a的值为a2 2 + a= 0,解析：由 Z1 + Z2= a2 2+ a + (a2 3a+ 2)i 是纯虚数，得？a = 2.a? 3a+ 2 工 0答案：23. 已知复数 zi= 2 + i, Z2= 1 + 2i.(1)求 zi Z2；在复平面内作出复数 Z1 Z2所对应的向量.解：(1)由复数减法的运算法则得Z1 Z2= ( 2+ i) ( 1+ 2i) = 1 i.在复平面内作复数 Z1 Z2所对应的向量，如图中 0Z.A 基础达标1. 已知复数Z1= 1 + 3i, Z

11、2 = 3+ i(i为虚数单位)，在复平面内，Z1 Z2对应的点在()B.第二象限D.第四象限A.第一象限C.第三象限解析：选 B.因为 Z1= 1 + 3i, Z2= 3+ i，所以 Z1 Z2= 2+ 2i,故Z1 Z2在复平面内对应的点(一2, 2)在第二象限.2. 若Z1= 2+ i, Z2= 3+ ai(a R)，且在复平面内 Z1 + Z2所对应的点在实轴上，则a的值 为()A. 3B. 2C. 1D. 1解析：选 D.Z1 + Z2 = 2 + i + 3+ ai = (2 + 3) + (1 + a)i = 5+ (1 + a)i.因为在复平面内Z1 + Z2所对应的点在实轴上

12、，所以1 + a = 0,所以a = 1.3. 在平行四边形 ABCD中，若A, C对应的复数分别为一1 + i和一4 3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为()A. .5B. 5C. 2.5D. 10解析：选B.依题意，AC对应的复数为(4 3i) - (- 1 + i) = - 3-4i，因此AC的长度为3-4i|= 5.4. 复数zi = a+ 4i, Z2= 3+ bi(a, b R),若它们的和zi + z2为实数，差zi-z2为纯虚 数，则a, b的值为()A . a=- 3, b =- 4B. a =- 3, b = 4C. a = 3, b=- 4D. a= 3, b = 4

13、解析：选A.因为zi + z2= (a 3) + (4 + b)i为实数，所以 4+ b= 0, b =- 4因为 zi -z2= (a + 4i) - (- 3+ bi) = (a + 3) + (4- b)i 为纯虚数，所以 a= 3 且 b丰 4.故 a= 3, b= 4.5. 设 f(z)= |z|, zi = 3 + 4i, Z2= 2 i，贝U f(zi z2)=()A. iOB. 5 .5C. 2D. 5 2解析：选D.因为zi-Z2= 5 + 5i,所以 f(zi -Z2)= f(5 + 5i) = |5+ 5i|= 5 .2.6. 已知复数 z满足z+ (i + 2i) =

14、5-i，贝U z=.解析：z= (5 - i) - (i + 2i) = 4 -3i.答案：4 3i7. 已知复数zi= 2+ ai, z2= a+ i(a R),且复数zi - z2在复平面内对应的点位于第二象限，贝U a的取值范围是 .解析：因为复数zi-z2= 2+ ai - a-i = (2- a) + (a - i)i在复平面内对应的点位于第二象2 a v 0,限，所以a i > 0,解得a>2.答案：(2,+ )& 若复数 zi = i + 3i, Z2= 2 + ai，且 zi + Z2= b + 8i, z2 zi = 3+ ci，则实数 a =, b =,

15、 c=.解析：Zi+ Z2= (i -2)+ (3 + a)i = - i+ (3 + a)i = b + 8i, Z2-zi = (-2- i) + (a- 3)i = - 3b=- 1,b =- 1,+ (a 3)i = 3 + ci，所以 3 + a= 8,解得 a = 5,a 3 c,2.答案：5 129计算：(1) (2 + i) (6 + 5i) (4 + 3i) + ( 1 + i)；(2) (1 2i) + ( 2+ 3i) + (3 4i) + ( 4 + 5i) + + ( 2 016 + 2 017i) + (2 017 2 018i). 解：(1)法一：原式=(2 +

16、i) (6 4)+ (5 3)i + ( 1 + i)=(2 + i) (2 + 2i) + ( 1 + i) = i + ( 1 + i) = 1.法二：原式=(2 + i) (6 + 5i) + (4 + 3i) + ( 1 + i) = (2 6+ 4 1)+ (1 5+ 3 + 1)i = 1.(2)法一：原式=(1 2) + (3 4) + + (2 015 2 016) + 2 017 + ( 2 + 3) + ( 4+ 5)+ + ( 2 016+ 2 017) 2 018i=(1 008 + 2 017) + (1 008 2 018)i = 1 009 1 010i.法二：因

17、为(1 2i) + ( 2 + 3i) = 1 + i, (3 4i) + ( 4 + 5i) = 1+ i，(2 015 2 016i)+ ( 2 016 + 2 017i)=1+ i，所以原式=(1 + i) X 1 008 + 2 017 2 018i = 1 009 1 010i.10. 已知复数 Z1 = 1 + ai, z2= 2a 3i, z3= a2 + i(a R).(1) 当a为何值时，复数Z1 Z2+ Z3是实数？(2) 当a为何值时，复数Z1 Z2+ Z3是纯虚数？解：由题意，知 Z1 Z2+ Z3= (1 + ai) (2a 3i) + (a2 + i) = 1 2a

18、 + a2 + (a+ 4)i.(1) 若复数Z1 Z2+ Z3是实数，则a+ 4 = 0，即a = 4.1 2a + a? = 0(2) 若复数Z1 Z2+ Z3是纯虚数，则，即a = 1.a + 4工 0B 能力提升11. 已知复数 Z1 = cos 9 + i, Z2= sin 0 i,则 |Z1 Z2|的最大值为()A. 3B. . 5C. 6D. .6解析： 选 D.由题意，得 |Z1 Z2| = |(cos 9 sin 9) + 2i| = (cos 9 sin 9) 2+ 4 =5 2sin 9cos 9= " 5 sin 2 9<,6,故 |Z1 Z2|的最大值

19、为 '6.12. 若复数z满足条件|z(2 2i)| = 1,则在复平面内z对应的点所在的图形的形状为解析：设 z= x + yi(x, y R)，则 |z (2 2i)| = |x+ yi 2+ 2i| = |(x 2) + (y+ 2)i| = 1,所以(x 2)2+ (y+ 2)2= 1所以在复平面内z对应的点在一个圆上.答案： 圆13. 已知复数Z1= 1 + 2i, Z2= 1 i, Z3= 3 4i,它们在复平面上所对应的点分别为A,B, C,若OC = OA + 入 口 R)，则入 + 的值是.解析：由题意得 6C= (3, 4), 6A= ( 1, 2), oB = (1 , 1).由 OC = DA+ QB,得一 Z+ 3 ,(3 , 4)=?( 1, 2) +口(1, 1)=(一入+仏 2 入一“,所以2 X尸一 4 ,入=1 ,解得所以+尸1.尸2 ,答案： 114. 已知复平面内的平行四边形ABCD中，点A对应的复数为2 + i,向量bA对应的复数为1+ 2i ,向量BC对应的复数为3 i,求：(1) 点 C D 对应的复数；(2) 平行四边形 ABCD 的面积.解：(1)因为向量BA对应的复数为1+ 2i,向量bC对应的复数为3 i