高中数学第一章三角函数1.6余弦函数的图像与性质课件2北师大版必修

1、1.61.6余弦函数的图像与性质余弦函数的图像与性质1.1.余弦函数图像的画法余弦函数图像的画法(1)(1)平移法：平移法：左左2(2)(2)五点法：五点法：五个关键点：五个关键点：x x0 022coscos x x_2321 10 0-1-10 01 1函数函数y=y=coscos x x，xx0,20,2的简图：的简图：y=cosx(x0,2)y=cosx(x0,2)的图像向左、向右平行移动的图像向左、向右平行移动( (每次平移每次平移_个单个单位位) )得到余弦函数得到余弦函数y=y=cosx(xrcosx(xr) )的图像的图像, ,此图像叫作余弦曲线此图像叫作余弦曲线. .222.

2、2.余弦函数的性质余弦函数的性质函数函数性质性质 余弦函数余弦函数y=y=coscos x x 图像图像 定义域定义域 r r 值域值域 -1,1-1,1 函数函数性质性质 余弦函数余弦函数y=y=coscos x x 最值最值 当当x=2k(kz)x=2k(kz)时，时，y ymaxmax=1=1当当x=(2k+1)(kz)x=(2k+1)(kz)时，时，y yminmin=-1 =-1 周期性周期性 是周期函数，最小正周期为是周期函数，最小正周期为_ _ 奇偶性奇偶性 是偶函数，图像关于是偶函数，图像关于y y轴对称轴对称 单调性单调性 在在(2k-1),2k(2k-1),2k( (kzk

3、z) )上是上是_的的在在2k,(2k+1)2k,(2k+1)( (kzkz) )上是上是_的的22增加增加减少减少【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题(1)(1)由由y=y=sinx,xrsinx,xr的图像得到的图像得到y=y=cosx,xrcosx,xr的图像的图像, ,平移的方法唯一吗平移的方法唯一吗? ?提示提示: :可向左平移也可向右平移可向左平移也可向右平移, ,方法不唯一方法不唯一. .(2)(2)形如形如y=y=acos(x+acos(x+)(a)(a0,xr)0,xr)的值域还是的值域还是-1,1-1,1吗吗? ?提示提示: :不一定是不一定是. .值域是值

4、域是-a,a.-a,a.(3)(3)余弦函数是偶函数余弦函数是偶函数, ,图像关于图像关于y y轴对称轴对称, ,那么余弦函数的对称轴只有那么余弦函数的对称轴只有一条吗一条吗? ?提示提示: :余弦函数的对称轴有无数条余弦函数的对称轴有无数条. .2.2.函数函数y=cosx-2y=cosx-2的最小值是的最小值是( () )a.-2a.-2b.-3b.-3c.0c.0d.-1d.-1【解析解析】选选b.cosxb.cosx-1,1,-1,1,故故y=cosx-2y=cosx-2的最小值为的最小值为-3.-3.3.3.已知函数已知函数y=3cos(+x),y=3cos(+x),则当则当x=_x

5、=_时时, ,函数取得最大值函数取得最大值. .【解析解析】y=3cos(y=3cos(+x)=-3cosx,+x)=-3cosx,所以当所以当x=2kx=2k+ +(k(kz)z)时函数取得时函数取得最大值最大值. .答案答案: :2k2k+ +(k(kz)z)4.4.设设 则则m m与与n n的大小关系为的大小关系为_._.【解析解析】 y=cosxy=cosx在在0,0,上为减少的且上为减少的且 所以所以 所以所以nm.nm.答案答案: :nmnm213mcos,ncos,53()2213mcoscosncoscos.5533 ()，20,35 2132coscos,coscos.353

6、5即()5.5.求求 的定义域的定义域. .【解析解析】根据函数解析式可得根据函数解析式可得所以所以借助数轴借助数轴, ,得原函数的定义域为得原函数的定义域为 2ycos x25x2cos x0,25x0,2kx2k,kz,225x5, 33 5,5.22 22 【知识探究知识探究】知识点知识点 余弦函数的图像和性质余弦函数的图像和性质观察如图所示内容观察如图所示内容, ,回答下列问题回答下列问题: :问题问题: :你能类比正弦函数的性质总结出余弦函数的性质吗你能类比正弦函数的性质总结出余弦函数的性质吗? ?【总结提升总结提升】1.1.对余弦函数单调性的三点说明对余弦函数单调性的三点说明(1)

7、(1)余弦函数在定义域余弦函数在定义域r r上不是单调函数上不是单调函数, ,但存在单调区间但存在单调区间. .(2)(2)求解或判断余弦函数的单调区间求解或判断余弦函数的单调区间( (或单调性或单调性),),是求与之相关的值域是求与之相关的值域( (或最值或最值) )的关键的关键, ,通常借助其求值域通常借助其求值域( (或最值或最值).).(3)(3)确定较复杂函数的单调性确定较复杂函数的单调性, ,要注意使用复合函数单调性的判断方法要注意使用复合函数单调性的判断方法. .2.2.对余弦函数最值的两点说明对余弦函数最值的两点说明(1)(1)明确余弦函数的有界性明确余弦函数的有界性:|cos

8、x|1.:|cosx|1.(2)(2)形如形如y=y=acos(x+acos(x+)(a)(a0,0)0,0)的函数求最值的函数求最值, ,通常用通常用“整体代换整体代换”令令z=z=x+x+, ,将函数转化为将函数转化为y=y=acoszacosz的形式的形式. .【题型探究题型探究】类型一类型一 余弦函数的图像余弦函数的图像【典例典例】试用试用“五点法五点法”作出函数作出函数y=2cosx+1y=2cosx+1的图像的图像. .【解题探究解题探究】要作函数的图像要作函数的图像, ,要求的要求的“五点五点”是什么是什么? ?提示提示: :“五点五点”分别是分别是(0,3), ,(0,3),

9、,(,-1), ,(2,-1), ,(2,3).,3).,12()3,12()【解析解析】列表列表: :描点连线描点连线: :【方法技巧方法技巧】“五点法五点法”画函数图像的三个步骤画函数图像的三个步骤【变式训练变式训练】(2015(2015汉中高一检测汉中高一检测) )函数函数y=cosx-2,x-,y=cosx-2,x-,的图的图像是像是( () )【解析解析】选选a.ya.y= =cosx,xcosx,x-, , 的图像为的图像为 , ,向下平移向下平移2 2个单位得个单位得y=cosx-2,y=cosx-2,其图像为其图像为 , ,故选故选a.a.类型二类型二 余弦函数的性质余弦函数的

10、性质【典例典例】不等式不等式sinxsinx cosxcosx (x (x(0,20,2)的解集为的解集为_._.【解题探究解题探究】当当sinxsinx cosxcosx (x (x(0,20,2) ) 时时,y=,y=sinxsinx与与y=y=cosxcosx的图的图像之间的关系是怎样的像之间的关系是怎样的? ?提示提示: :y=y=sinxsinx的图像在的图像在y=y=cosxcosx的下方的下方. .【解析解析】在同一个坐标系中作出在同一个坐标系中作出y=y=sinx,ysinx,y= =cosxcosx在在0,20,2 上的图像如上的图像如图图: :因为因为sinxsinx co

11、sxcosx, ,故故 所以不等式的解集为所以不等式的解集为 答案答案: : 50 xx2 ,44 或 50,2 .44()()50,244()()【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件变换条件) )若本例中若本例中xrxr, ,试求不等式的解集试求不等式的解集. .【解析解析】因为正余弦函数的周期都是因为正余弦函数的周期都是2 2, ,由本例的解法可知当由本例的解法可知当x xr r时时, ,不等式的解集为不等式的解集为 , ,k kz z. .592k,2k44()2.(2.(变换条件变换条件) )设设f(xf(x)= )= 给出下列四个命题给出下列四个命题: :该函数是以该函数是以为最

12、小正周期的周期函数为最小正周期的周期函数; ;当且仅当当且仅当x=x=+k(kz+k(kz) )时时, ,该函数取得最小值该函数取得最小值-1;-1;该函数的图像关于该函数的图像关于x= +2k(kz)x= +2k(kz)对称对称; ;当且仅当当且仅当2kx +2k(kz)2kx +2k(kz)时时,0,0f(xf(x) .) .其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是_(_(请将所有正确命题的序号都填上请将所有正确命题的序号都填上) )sin x,(sin xcos x)cos x, sin xcos x，54222【解析解析】由题意函数由题意函数f(xf(x)=)=画出画出f(xf(x)

13、)在在x0,2x0,2上的图像上的图像. .由图像知由图像知, ,函数函数f(xf(x) )的最小正周期为的最小正周期为2,2,在在x=+2k(kz)x=+2k(kz)和和x= +2k(kz)x= +2k(kz)时时, ,该函数都取得最小值该函数都取得最小值-1,-1,故错误故错误, ,由图像知由图像知, ,函数图像关于直线函数图像关于直线x= +2k(kz)x= +2k(kz)对称对称, ,在在2kx +2k(kz)2kx +2k(kz)时时,0,0f(xf(x) ,) ,故正确故正确. .答案答案: :sin x,(sin xcos x)cos x, sin xcos x，3254222【

14、方法技巧方法技巧】关于余弦函数性质的应用关于余弦函数性质的应用应用余弦函数的性质时一般要结合余弦函数的图像应用余弦函数的性质时一般要结合余弦函数的图像, ,特别注意余弦函特别注意余弦函数单调区间、最值、对称性等性质在图像中的体现数单调区间、最值、对称性等性质在图像中的体现, ,解题中要善于利解题中要善于利用图像发现函数的性质用于解题用图像发现函数的性质用于解题. .【补偿训练补偿训练】函数函数f f（x x）= = 有意义有意义, ,则则x x的取值范围的取值范围是是_._.【解析解析】要使函数有意义要使函数有意义, ,则则1-2cosx1-2cosx0,0,即即cosxcosx ,x,x(0

15、,2)(0,2) , ,解得解得 即不等式的解集为即不等式的解集为 答案答案: :12cos x(x(0,2 )125x33，5,.335,33规范解答规范解答 余弦函数性质的应用余弦函数性质的应用【典例典例】(12(12分分) )求函数求函数 的最大值及的最大值及最小值最小值, ,并写出并写出x x取何值时取何值时, ,函数有最大值和最小值函数有最大值和最小值. .21ysin x3cos xx,43，【审题指导审题指导】要求函数的最值要求函数的最值, ,需要把需要把cosxcosx看作整体看作整体, ,换元后配方求最换元后配方求最值值, ,再根据取最值时的再根据取最值时的cosxcosx值值, ,求求x x的值的值. .【规范解答规范解答】 【题后悟道