北师大版初中数学九年级下册《圆的对称性》教案设计

1、课题： 第三章第 2 节圆的对称性（1）课型：新授课教学目标：1.理解圆的对称性（轴对称）及有关性质.（重点）2理解垂径定理及推论，并会运用其解决有关问题(难点 )教法与学法指导：这节课主要通过“找圆心”等问题情境激发学生探究的兴趣和热情，经历“操作实践大胆猜测 - 综合证明 - 灵活应用”的课堂模式，在探究垂径定理过程中，让学生领会数学的严谨性，并培养学生的数学应用意识，勇于探索的精神.课前准备： 制作课件，学生预习学案.教学过程：一、情景导入明确目标组织教学 ：准备，给每一位同学发放圆形纸片（用化学滤纸）；并提出问题，上节课 车轮为什么是圆形的学习， 认识了圆的基本概念, 这是一张圆形纸片

2、法找出它的圆心呢？学生活动：学生凭借经验很容易想到用两次折叠的方法，找到圆心.(问题 1) 通过 , 你有什么办 师 ：同学们上一节课,我们学习了圆的基本概念，知道，半径定圆的大小，圆心定圆的位置.下面，请一位同学到前面演示自己找圆心的过程.学生演示： 师 ：（问题 2） 在折叠的过程中，你从中还知道圆具有什么性质? 生 1 ：老师，圆是对称图形，既是轴对称图形，又是中心对称图形. 师 ：很好，同学们观察的很认真，这节课，我们重点研究圆的轴对称性，那么，圆的对称轴是怎样的直线，有多少条对称轴？ 生 2 ：老师，圆的对称轴是直径，它有无数条对称轴. 师 ：同学们，这位同学回答的对吗？ 生 3 ：

3、不正确，对称轴应该是直线，而直径是线段，应该说，对称轴是直径所在的直线，或者是过圆心的直线.教师活动 ：进行鼓励表扬并板书，3.2圆的对称性（ 1）圆的对称性：圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线.设计意图： 问题可以激发学生学习数学的兴趣，而兴趣又是最好的老师 . 通过设计一连串的问题情境容易引发学生学习和探究的兴趣，在动手操作中既复习圆的意义，又探索到圆的对称性.二、自主学习合作探究：探究活动一 ：圆的基本概念（让学生注意观察动画课件）BACOMDOOFE学案(问题 3)：（ 1）什么是弦？什么是弧？如何区别？怎么表示？（ 2）弧与弦分别可以分成几类？它们如何区分？学情预设： 可能

4、出现的情形一：学生看书后能理解弦、弧、优弧、劣弧及半圆的意义，但是难以区别异同，如：弦是线段，弧是曲线段；直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧情形二：学生写出的弧可能重复或遗漏，不能掌握“优弧与劣弧成对出现”的规律.情形三：优弧的表示方法.以上若学生不能讨论总结得出，则需要老师引导得出结论.学生活动：学生在预习的前提下边观察图形演示边独立思考，再在四人小组间交流讨论.教师活动：参与学生的讨论，注意收集信息，以便及时补充，然后提问.生1：(1) 连接圆上任意两点的线段叫做弦经过圆心的弦叫直径.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧 ; 直径的两个端点把

5、圆分成两个部分，每一部分叫做半圆 . 大于半圆弧叫优弧，小于半圆的弧称为劣弧. 生 2 ：弦是线段，弧是曲线段. 弧的表示方法是在两个端点上面添加“符号. 生 3 ：弦分为过圆心的和不过圆心的弦；弧分为劣弧、半圆、优弧. 师 同学们总结的很好，下面，结合图形加深认识，并思考，你还可以得出什么性质.MABCO劣弧 ABABDOOFE半圆 CD优弧 ABAMB教师活动 ：引导学生，能不能从它们之间的相互关系来比较说明. 生 4 ：直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧 . 生 5 ：直径是圆中最大的弦.学生活动 : 整理好笔记 .设计意图： 让学生带着问

6、题探究，加强自主探究的针对性，激发思考与交流，从而真正掌握它们的本质与异同，学会辨证统一、 分类讨论地解决问题， 提高课堂效率 .探究活动二 ：垂径定理（问题 4）（ 1）刚才折出的两条直径是怎样的位置关系？图中能得出哪些等量关系？（ 2）若把 AB向上平移到任意位置， 成了不是直径的弦， 折叠后猜想： 还有与刚才类似的结论吗？有哪些方法证明你的猜想正确与否？（3）思考：上述探索过程利用了圆的什么性质？还运用了哪些知识？若只证明AM=BM ，还有什么方法？（4）把上述发现归纳成文字语言和几何语言.学生活动： 拿出圆形纸片 , 将其对折，得到一条折痕CD,在 CD上取一点 M，作 CD的垂线AB

7、,然后再将圆沿 CD对折，观察，得出结论 . 生1 ：垂直关系；相等的量有， AM =BM, AC =BC, AD =BD因为圆沿直线CD 对折后，点 A 与 B 重合. 生 2 ： 若只证明 AM=BM，C还可以用等腰三角形“三线合一”.AMB证明：连接 OA, OB 则 OA=OBO又 CDAB AM=BM , CD 是线段 AB 的垂直平分线点 A 和点 B 关于直线 CD 对称DAC =BC,AD =BD教 师活动 : 引导学生总结并板书文字语言和几何语言：垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的（两条）弧C如图，在 O中，即AB CD 是直径 AM=BM ，M AD=B

8、DO CDAB 于 MDAC=BC设计意图： 用运动变化的观点体会从特殊到一般研究问题的方法，在折叠中领会定理的证明思路，突出重点、突破难点，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的概括、总结的语言表达能力.探究活动三 ：垂径定理的推论议一议：( 问题 5) 同学们，如果把“垂径定理”中的条件“垂直于弦”与结论“平分于弦”互换，即：，结论是否还成立？如果成立，请你说明理由；不成立，请举反例.学情预设：大多数学生会模仿定理画图、折叠、推理后认为是成立的，可能有个别学生会持反对意见，引起一番有意义的讨论，老师可以适时地引导. 当 AB 与 CD 是 O的直径时，互相平分，但不一定垂直！只有当弦AB 不是

9、直径时，结论才会成立.生1：成立.CABMOD OA=OB, AM=BM, CD AB( 三线合一 )CBAC =BC,AD=BDMO 生2 ：不一定成立，如图，当AB 是直A径时，DCD 平分 AB，但不垂直AB. 只有 AB 不是直径时，才成立 . 师 ： 同学们讨论的非常好，做数学就是要求我们思维要严谨，注意，条件与图形的统一及多样性，多画图，多分析，多总结. 那么这个推论我们应该怎么说？在学生的归纳中，板书.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.（问题 6）如果我们继续交换条件是否能够、？学生活动：采取折叠- 重合 - 得出结论成立 .师生共同归纳总

10、结：由“直径、垂直于弦、平分弦、平分优弧、平分劣弧”，其中两个作条件推出另三个结论.设计意图： 对教材知识进行适当的变式和拓展，让学生能举一反三，发散学生的思维，让不同层次的学生得到不同的发展，并体验数学的严谨性和探究的乐趣，感受合作交流的重要性 .（问题 7）例题分析例 1：如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧 ( 即图中弧 CD，点 O 是弧 CD 的圆心 ) ，其中 CD=600m， E 为弧 CD 上一点，且OECD ，垂足为 F ， EF=90 m求这段弯路的半径学生活动：观察示意图，分析题目的已知和要求的结果，寻求相互关系，然后尝试独立解答，在与小组其他同学交流，确定解题思路 .

11、:. 生 ：解：连接OC，设弯路的半径是R，则OF =( R-90)m OE CD CF =CD /2=300m（垂径定理）由勾股定理得OC2=CF 2+OF2即 R2=3002+( R-90) 2解得 R=545所以，弯路的半径是545m.设计意图 : 让学生在实践中理解垂径定理应用，在四个量半径R、弦 CD 的长、弦心距 OF 长、弓形高 EF 的长中，任已知两个量可以求出另两个量. 一题多变，多题归一，探寻规律，构造直角三角形后通过勾股定理求解，从题海中解脱出来，并培养学生的数学应用意识，体会数学与生活的联系.三、归纳总结，拓展提高 师 ：同学们，我们本节课学习了垂径定理及推论，理解了与

12、圆有关的应用，你有收获，或者是疑虑问题，交流一下.学生活动：有独立思考，落笔组织语言的，也有相互讨论，交流总结的观点的，气氛相当热烈，各抒己见 .CAM 生 ：老师，如图， OC AB，可不可以使用垂径定理 .B 师 ：可以，这条线（或线段）过圆心，就可以作为直径使用，O同时，过圆心作弦的垂线是今后解答圆的问题的常用辅助线，在以后的学习中，注意体会和总结 .设计意图 :用问题形式引导学生回顾总结学习过程，使知识系统化，学会提炼其中蕴含的数学思想方法， 且能够灵活应用； 学会自我反思， 养成良好的数学学习习惯 .课堂检测 :1.已知 O 的半径为5，弦 AB 的长为 6 ，则这条弦的中点到弦所对

13、劣弧中点的距离为_.考察知识点： 理解垂径定理的意义，会构造符合定理的基本图形，来解决问题.答案提示：解：过 O 点作 AB 的垂线，垂足是 D，且与弧 AB 交于点 C, 连接 OA, OC ABD 是 AB 的中点， C 是弧 AB 的中点，22C OD= 5-3=4DBDC =5-4=1A所以，这条弦的中点到弦所对劣弧中点的距离为1O2.两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C、D，若 AB=4 ， CD=2 ，圆心到 AB 的距离为 l ，则大圆的与小圆的半径之比为 _.考察知识点： 理解垂径定理的使用，加深认识辅助线“弦心距和半径”经常是成对构造的，以便构造直角三角形，解决问题 .

14、答案提示：解： OA22125ACEDBOOC12122则大圆的与小圆的半径之比为510223. 储油罐的截面如图所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm ，求油的最大深度考察知识点： 主要是检测垂径定理在生活中的应用 ，解决此类问题的关键是画出示意图 ， 转化为数学问题解答 .答案提示： 由垂径定理知， oc32523002125mmC油最大深度 =325-125=200 （ mm）ABD4已知：如图，O 中，AB 为 弦， C 为 AB 的中点， OC 交 AB 于OD ， AB = 6cm ，CD = 1cm. 求 O 的半径 OA.考察知识点： 数学方法的综合应用， 主要是方程知识

15、与图形解答的结合 .答案提示：解：设 O的半径为 r在直角三角形 AOD中，CABDOAD 2OD 2OA 2所以， 32(r 1) 2r 2 r =5cm OA=5cm学情预设： 部分同学可以当堂完成，教师，当堂批改，及时知道学生的解答情况；部分同学需要老师的引导，才能完成解答.教师活动： 通过检查， 关键看学生的图形构造，是否能够利用半径和弦心距构造出直角三角形，运用勾股定理解决问题.设计意图： 通过例题的分析学习，让学生体会数学学习要善于构造图形，解决问题 ; 进一步理解，为了应用条件和已有的性质定理， 需要添加辅助线来完善图形，从而培养学生良好的学习习惯 .板书设计：3.2 圆的对称性（ 1）一、圆的对称性二、垂径定理三、垂径定理的推论及应用圆是轴对称图形，垂直于弦的直径平分这条弦例题解答对称轴是任意一条过并且平分弦所对的（两条）弧圆心的直线，教学反思：圆的对称性是一节操作性较强的课，所以，我在教学中首先创设“找圆心”情境，让学生感到新颖、有趣同时又注重了垂径定理及推论的发生、发展和应用过程的教学；再以连贯的问题