勾股定理及其逆定理复习典型例题

1、学习必备欢迎下载勾股定理及其逆定理复习典型例题1.勾股定理： 直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a2+ b2= c2 ）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、 b、 c有关系a2+ b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。2. 勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。3. 如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形（ 1）首先确定最大边（如：C，但 不要认为最大边一定是C）（ 2）验证 c2 与 a2 +b2 是否具有相等关系， 若

2、c2 =a2+b2 ，则 ABC 是以 C 为直角的三角形。（若 c2> a2 +b2 则 ABC 是以 C 为钝角的三角形，若 c2< a2 + b2 则 ABC是以 C 为锐角三角形）二、例题分析例 1、若直角三角形两直角边的比是3： 4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。解：设此直角三角形两直角边分别是3x， 4x，根据题意得：（ 3x） 2 +（ 4x） 2 =202化简得x2=16 ；直角三角形的面积= 1 ×3x×4x=6x2=962注：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。例 2、等边三角形的边长为2，求它的面

3、积。A解：如图，等边ABC ，作 ADBC 于 D则： BD=1 BC （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）2BDC AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等） BD=1在直角三角形 ABD 中 AB 2 =AD 2+BD 2，即： AD 2=AB 2 BD 2 =4 1=3AD=3ABC =1BC·AD=S23学习必备欢迎下载注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为3a4例 3、直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。解：设此直角三角形两直角边分别是x， y，根据题意得：xy512(1)x 2y 252( 2)由（1）得： x+y=

4、7 ，（ x+ y） 2=49 ， x2 +2xy+y2=49(3)(3) (2)，得： xy=12直角三角形的面积是1 xy= 1 ×12=6 （ cm2）2 2例 4、在锐角 ABC 中，已知其两边 a=1， b=3 ，求第三边的变化范围。分析 ：显然第三边 b a< c<b+ a，但这只是能保证三条边能组成一个三角形，却不能保证它一定是一个锐角三角形，为此，先求ABC 为直角三角形时第三边的值。AA'解：设第三边为c，并设 ABC是直角三角形 当第三边是斜边时，c2= b2 +a2， c=1033 当 第 三 边 不 是 斜 边 时 ， 则 斜 边 一 定

5、是 b ，222， c=2（即）B1 Cb= a+c28 ABC 为锐角三角形所以点 A 应当绕着点B 旋转，使 ABC 成为锐角（如图） ，但当移动到点A 2 位置时 ACB成为直角。故点A 应当在 A1和A2 间移动，此时22<AC<10注：此题易忽视或中一种情况，因为假设中并没有明确第三边是否直角边，所以有两种情况要考虑。例 5、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、 8，15， 17B、4，5，6 C、5，8，10D、 8， 39， 40此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c2 =a2+ b2 的变形：b22a2=（ c a）（ c+ a）来

6、判断。例如：对于选择支D， 82（40+39）× 40= c（ 39），以 8， 39， 40 为边长不能组成直角三角形。答案： A例 6、四边形ABCD中， B=90°， AB=3 ，BC=4 ， CD=12 ，AD=13 ，求四边形ABCD学习必备欢迎下载的面积。解：连结AC B=90°， AB=3 ， BC=4AC2=AB2+BC 2 =25 （勾股定理）C AC=5BAC2+CD2=169 ， AD 2 =169AC2+CD2=AD 2AD ACD=90° （勾股定理逆定理） S 四边形 ABCD =S ABC +S ACD =1 AB·

7、;BC+ 1 AC·CD=3622本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题。例 7、若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3n，求 。分析：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为n+3 ，由勾股定理可得：（ n+1） 2+ （ n+2） 2=（ n+3 ） 2化简得： n2=4 n=±2，但当 n= 2 时， n+1= 1<0 ， n=2三、练习题1、等腰三角形的两边长为4 和 2，则底边上的高是_ ，面积是 _ 。2、一个直角三角形的三边长为连续偶数，则它的各边长为_ 。3、一个直角三角形一条直角边为16

8、cm，它所对的角为60 °，则斜边上的高为_ 。4、四个三角形的边长分别是3， 4， 5 4， 7， 8 1 7,24,25 3 1 ,4 1 ,5 1 其中是直角2222三角形的是（）A 、B 、C、D、5、如果线段a、 b、 c 能组成直角三角形，则它们的比可以是（）A、 1：2：4B、！： 3： 5C、 3： 4： 7D、 5： 12： 136、已知：如图，四边形ABCD 中， AB=20 ， BC=15 ， CD=7 ， AD=24 ， B=90°，求证： A+ C=180°。DCAB学习必备欢迎下载7、已知直角三角形中，两边的长为3、 4，求第三边长。8

9、、 ABC 中， C=90°， a=5， c b=1 ，求 b， c 的长。9、如图：ABC中， AD是角平分线，AD=BD， AB=2AC。求证：ACB是直角三角形。ACDB三、练习题解答1、15 ，152、6， 8， 103、 8cm4、 DD5、 DC6、本题类似于例6，需连结 AC 证出 ACD 也是直角三角形，从而 1+ 2=90°， 3+ 4=90°， DAB+ DCB=180°BA学习必备欢迎下载7、解：设第三边长为x, 当第三边是斜边时：x2=3 2 +42=25 ，即 x=5 当第三边不是斜边时，则斜边长为4： x2 =42 32，即 x=78、此题类似于例 3解：根据题意得：a2c 2b2(cb)(c b)25 cb25 c13cb1cb1b129、证明：作DE AB 于 E AD=BD,DE AB 2AE=AB （等腰三