初高中数学衔接教材第二讲因式分解

1、初高中数学衔接教材（ 2）第二讲因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。是一种重要的基本技能。因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法 ( 平方差公式和完全平方公式 ) 外，还有公式法 ( 立方和、立方差公式 ) 、十字相乘法和分组分解法等等。一、公式法 ( 立方和、立方差公式 )在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：a3b3( a b)(a 2ab b2 )【例 1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1)8 x3(2) 0.125 27b3分析： (1)中， 8

2、23 ，(2) 中 0.1250.53 ,27b3(3b) 3 。说明： (1) 在运用立方和 (差 )公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如8a3b3(2ab)3 ，这里逆用了法则 (ab)nanbn ；(2) 在运用立方和 (差 )公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号。二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式。而对于四项以上的多项式，如 ma mb na nb 既没有公式可用，也没有公因式可以提取。因此，可以先将多项式分组处理。这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法。分组分解法的关键在于如何分组。1分组后能提取公因式【例 3】把 2a

3、x10ay5bybx 分解因式。分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按 x 的降幂排列，然后从两组分别提出公因式2a 与b ，这时另一个因式正好都是x5 y ，这样可以继续提取公因式。说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法。本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试。【例 4】把 ab(c2d 2 )(a2b2 )cd 分解因式。分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式。说明：由例 3、例 4 可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公

4、因式，又运用了分配律。由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用。2分组后能直接运用公式【例 5】把 x2y2axay 分解因式。分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是xy ；把第三、四项作为另一组，在提出公因式 a 后，另一个因式也是xy 。【例6】把2x24xy2 y28z2 分解因式。分析：先将系数2 提出后，得到x22xyy24z2 ，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式。说明：从例 5、例 6 可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，

5、它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式。三、十字相乘法1 x2( pq)xpq 型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是 1；(2) 常数项是两个数之积； (3) 一次项系数是常数项的两个因数之和。x2( pq)xpqx2pxqxpqx( xp)q( xp)(xp)( xq)因此， x2( pq)xpq( xp)( xq)运用这个公式，可以把某些二次项系数为1 的二次三项式分解因式。【例 7】把下列各式因式分解：(1)x27x6(2)x213x36说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的

6、符号相同。【例 8】把下列各式因式分解：(1)x25x24(2)x22 x15说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同。2一般二次三项式 ax 2bxc 型的因式分解大家知道， (a1 xc1 )(a2 xc2 )a1a2 x2(a1c2a2 c1 )xc1c2 反过来，就得到： a1a2 x2(a1c2a2 c1 )xc1c2(a1 xc1 )(a2 xc2 )我们发现，二次项系数a 分解成 a1a2 ，常数项 c 分解成 c1c2 ，把 a1 , a2 , c1 ,c2 写成 a1c1 ，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c

7、2 a2c1 ，如果它正好等于a2c2ax 2bx c 的一次项系数 b ，那么 ax2bx c就可以分解成 ( a1 x c1 )(a2 x c2 ) ，其中 a1 , c1 位于上一行， a2 ,c2 位于下一行。这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法。必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。【例 10】把下列各式因式分解：(1)12x25x2(2)5x26 xy8 y2说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是1 时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解

8、，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号。四、其它因式分解的方法1配方法【例 11】分解因式 x26x16说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解。当然，本题还有其它方法，请大家试验。2拆、添项法【例 12】分解因式 x33x24分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为 0 了，可考虑通过添项或拆项解决。说明：本解法把原常数4 拆成 1 与 3

9、 的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件。本题还可以将3x2 拆成22x2 ) 和 4x2x4 x ，将多项式分成两组 ( x34 。一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：(1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法 ( 如十字相乘法 ) 来分解；(4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。本章节练习巩固1 、多项式 6x2 y2 xy24xyz中各项的公因式是。_2、 m xyn yxxy_。3、m

10、xy2n yx2xy2。_4、 m xyzn y zxxyz _。5、 m xyzxyzxyz_。6、 13ab 2 x639 a3b2 x5 分解因式得 _。7计算99299 =8 ， a 22abb2 ， a2b2 ， a3b3 的公因式是 _。9、用适当方法分解下列式子（ 1） a 2 b 5 a 5 b（ 2） x39 3x23x（ 3）416（ ）22a4 3x 2 yx y（ 5）256（ ）、22xx64 x 4 x 2（7） 2y24y6（ ）2a 1 x a8 x（ 9） 4m212m9（10） 57 x6 x 2（ 11） 12x2xy6 y2（12） x2a1 xa（ 1

11、3） x 2y 2a 2b22ax2by（14） a24ab4b26a12b9（ 15） b42b28（ 16） x 2xy3y3x（ 17） 2x2 xy y 2 4x 5y 6 。10、下列式子可用平方差公式计算的式子是（）A、 a b ba B 、x 1 x 1C、 a b a bD 、 x 1 x 111、下列四个多项式是完全平方式的是（）A、 x2xyy2B、 x22xyy 2C、 4m 22mn4n2D、 1 a2abb212、若 x 24mx10xaxb 其中 a 、 b 为整数，则 m的值为（）A、3或9B 、 3C、 9D、3或913、已知a14则 a21()aa 2A、12B、14C、 8 D、16）14、已知x2y2x y、则 xy的值为 （=2,=11B1C、 1D、21215、若 x 2ax b x2x 4 则 a， b。16、在多项式（ 1）x27x6（ ）x24x 3（ ）x26x 8（ 4）71023）x2x，（ ）x215x 44中，有相同因式的是（5A、只有（ 1）（2）B、只有（ 3）（4）C、只有（3）（5）D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）17、分解因式 a 28ab33b2 得（）A、 a11a3B、 a11b