第2章随机变量的分布数字特征

1、第二章第二章 随机变量的分布及其数字特征随机变量的分布及其数字特征2.1 随机变量及其分布随机变量及其分布一一. 随机变量的概念随机变量的概念 为了全面地研究随机试验的结果为了全面地研究随机试验的结果,揭示客观存揭示客观存在着的统计规律性在着的统计规律性,我们将随机试验的结果与实我们将随机试验的结果与实数对应起来数对应起来,将随机试验的结果数量化将随机试验的结果数量化,引入随引入随机变量的概念机变量的概念.引入随机变量后,就可以用随机变量x描述事件.一般对于任意的实数集合l,x l表示事件 |x( )l.通常,我们用大写字母x、y、z等表示随机变量. 二二. 离散型随机变量的概率分布离散型随机

2、变量的概率分布 分布律还可以简单地表示为： 分布律具有以下性质分布律具有以下性质:，21, 0. 1kpk1. 21kkp上表称为随机变量x的概率分布表。510)(344034355，kccckxpkkx01234pp(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4x01234p 0.50.250.1250.0625 0.0625例例:设一汽车在开往目的地的道路上需经过四个信号灯,每个信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以x表示汽车首次停下时,它已通过的信号灯数(设各信号灯的工作是相互独立的),求x的分布律.解解 以p表示每个信号灯禁止汽车通过的概率,易知x的分布律为或写成px=k=(

3、1-p)kp,k=0,1,2,3;px=4=(1-p)4.以p=1/2代入得5 , 4 , 3 , 2 , 1,)(kakkxp1265)(5151aakkxpkk151a.(2)2521( xp)21 ( xp从而)2() 1(xpxp5115215151152151)2() 1(xpxp从上面的例子可知，若已知离散型随机变量的概率分布p(xi)，则对任意区间i,ixiixpixp)()(三三. 分布函数分布函数),(x分布函数的性质分布函数的性质 )()(lim)0(0000 xfxfxfxx0 xx-123p1/41/21/43, 4/12/14/132, 2/14/121, 4/11,

4、 0)(xxxxxf3, 132, 4/321, 4/11, 0)(xxxxxf例:设随机变量x的分布律为求x的分布函数,并求px1/2,p3/2x 5/2,p2 x 3.解:由概率的有限可加性得即 px1/2=f(1/2)=1/4 p3/2x 5/2 =f(5/2)-f(3/2) =3/4 -1/4=1/2 p2 x 3 = f(3)-f(2)+px=2 =1-1/4+1/2=3/4-11230.250.51xf(x)f(x)的示意图四、离散型随机变量的分布函数四、离散型随机变量的分布函数 设离散型随机变量分布律为设离散型随机变量分布律为px=px=x xk k=p pk k, ,k k=1

5、,2,=1,2, 由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得x x的分布函数为的分布函数为f(f(x x)= px)= pxx x=px=px=x xk k=p pk k 这里和式是对于所有满足这里和式是对于所有满足x xk kx x的的k k求和求和. .解解 (1) 7 . 0)3()3(fxp)321( xp5 . 02 . 07 . 0)21()3(ff)2(1)2(xpxp)02()02()2(1fff8 . 05 . 07 . 01(2) , 2 . 002 . 0) 1(xpx-124pk0.20.50.3)2()2(1xpxp, 5 . 02 . 07 . 0)2(xp3 . 0

6、7 . 01)4(xp五、连续型随机变量及其概率密度五、连续型随机变量及其概率密度0)()(xxpxf)()(xxpxfabax)()(xxapaxp)(0 xxap1)()(xxpxf综上所述bxbxaabaxaxxf，10)(如果令 ，其他，01)()(bxaabdxxdfxf则有 dttfxfx)()( 连续型随机变量的定义连续型随机变量的定义 由微积分学知识可知,连续型随机变量的分布函数是一个连续函数.设x为连续型随机变量, 则对任意的实数ab)()()(afbfbxapababdttfdttfdttf)()()(即x落在区间的概率为密度函数y=f(t)与直线t=a,t=b及t轴所围面

7、积.因此, x取任意单点值a的概率0)( axp从而)()(bxapbxap)()(bxapbxapdttfafbfba)()()(密度函数的性质密度函数的性质连续型随机变量的密度函数有如下性质：连续型随机变量的密度函数有如下性质：0)(. 1xf1)(. 2dxxfbadxxfbxap)()(. 3注注：若某一函数满足以上性质1，2，则它可以作为某个连续型随机变量的分布函数。解解 f(x)的图形如图 20020)(xtdtdtxfx00)(xdtxf236)66(20)(2212100 xxdtttdtdtxfx10)66(20)(11212100 xdtdtttdtdtxf从而得11121

8、23621000)(22xxxxxxxxf，其他, 021 ,10,)(xxaxxxp1)2(2)()(12121022110axaxxdxxaxdxdxxp其他, 021 ,210,)(xxxxxp25 . 1125. 0)2(25 . 1dxxxp 例例:试确定常数a,使为某个随机变量x的概率密度,且计算事件1.5x 2的概率. 解解 因所以a =2.故从而作业p44, 4，5，6，9，112.2 随机变量的数字特征随机变量的数字特征我们知道,随机变量的分布列或概率密度,全面地描述了随机变量的统计规律.但在许多实际问题中,这样的描述并不使人感到方便. 设一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量,如

9、果要比较两个品种的母鸡的年产蛋量,通常只要比较这两个品种的母鸡的年产蛋量的平均值就可以了. 平均值大就意味着这个品种的母鸡的产蛋量高.如果不去比较它们的平均值,而只看它们的分布列,虽然全面,却使人不得要领,既难以掌握,又难以迅速地作出判断.1. 随机变量的数学期望随机变量的数学期望1.1 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 例：例：有a，b两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？0.30.50.20.60.10.3概率10981098击中环数ba射手名称5416212817103只数nk3210-1-2日走时误差xk22. 11005416321228117010

10、) 1(3) 2(nnxxkkkkkkkfxnnx平均值则抽查到的100只手表的平均日走时误差为即 例例:某手表厂在出厂产品中,抽查了n=100只手表的日走时误差,其数据如表: 如果另外再抽验100只手表,每作一次这样的检验,就得到一组不同的频率,也就有不同的日走时误差的平均值.由关于频率和概率关系的讨论知,理论上应该用概率去代替上述和式的频率,这时得到的平均值才是理论上(也是真正)的平均值. 这样我们就引出了随机变量的数学期望的概念.,.2 , 1kpxxpkkkkkpx |kkkpx 定义定义:设离散型随机变量x的概率分布为如若则称为随机变量x的数学期望数学期望,记为e(x).如果kkkp

11、x |则称随机变量x的数学期望不存在数学期望不存在.注：要求kkkpx |是因为离散型随机变量的取值可以按不同顺序排列，而改变顺序时，数学期望的取值不应改变。而 能保证不管离散型随机变量的顺序如何， 的值都一样。kkkpx |kkkpx所以a的射击技术较b的好.0.30.50.20.60.10.3概率10981098击中环数ba射手名称3 . 96 . 0101 . 093 . 081 . 93 . 0105 . 092 . 08 例例:有a，b两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？解解 a射击平均击中环数为b射击平均击中环数为 解解 分布律为： x0123p0.30.40.

12、20.1 平均废品数为： ()0 0.3 1 0.42 0.23 0.11.1(/e x 个 天）1.2 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望 我们已知离散型随机变量x的数学期望为e(x)=kkkpx自然要问连续型随机变量的数学期望是什么?设p(x) 是连续型随机变量x的密度函数,取分点x0 x1xn+1则随机变量x落在xi=(xi, xi+1)中的概率为)()(1iiixxxixypxxpdxxpxxpiii相当小时与x近似的随机变量y的数学期望为niiiixxpx0)(由微积分知识自然想到x的数学期望为dxxxp)(为连续型随机变量为连续型随机变量x的的数学期望,记为记为e(x

13、).dxxpx)(|dxxxp)( 定义定义:设连续型随机变量x的密度函数为p(x),若 则称 如果dxxpx)(|则称连续型随机变量x的数学期望不存在数学期望不存在.其他, 010,2)(xxxpdxxxpxe)()( 例例:设随机变量x的概率密度函数为试求x的数学期望解解32322103102xdxx102xdxxxxxp,111)(2dxxxdxxxdxxpx02212111|)(|011)(2dxxxdxxxp 例例:若随机变量x的概率密度函数为问随机变量x的数学期望e(x)是否存在.解解所以e(x)不存在.但02202| )1ln(1)1 (111xxdx1.3 随机变量函数的数学期

14、望随机变量函数的数学期望 定理定理:设y是随机变量x的函数:y=f(x)(f是连续函数).1| )(|kkkpxf1)()()(kkkpxfxfeyedxxpxf)(| )(|dxxpxfxfeye)()()()( (1)设离散型随机变量x的概率分布为px=xk=pk, k=1,2,. (2)设连续型随机变量x的密度函数为p(x),若 若则则有证明证明：这里仅对离散型随机变量的情形予以证明。,),(为离散型随机变量则令yxfy 于是设其可能值为,.2 , 1,jyj) ( ( )()()(:)(:iyxfiyxfiiijijxxpxxpyxfpyypjiji由数学期望定义有: (): ()(

15、)()() () ( ) () ( ) ()ijijjjjjiji f xyiiji f xyiiie yef xy p yyypxxf x pxxf x pxx.3)(33122333babaababxabba2.( , ),().xu a byg xx例已知求的期望dxabxexeyba1:22解.:x例已知随机变量 的概率分布为x-1 0 1 2p0.1 0.3 0.4 0.2.,)(32)(221ezeyxxgzxxgy与求与对于; 6 . 12 . 0)322(4 . 0)312(3 . 0)302(1 . 03) 1(2)32(:解xeey3 . 12 . 024 . 013 .

16、001 . 0) 1(22222exez:322的概率分布与也可以先求出xzxyy=2x-3 -5 -3 -1 1p0.1 0.3 0.4 0.2; 6 . 1 ey2xz 0 1 4p0.3 0.5 0.23 . 1 ez1.4 数学期望的性质数学期望的性质1.若axb,则e(x)存在,且有ae(x)b.特别,若c是常数,则e(c)=c. )()()()( ,)(),(,)(),(, . 222112211212121xegxegxgxgexegxegxgxg则均存在如果实函数为任意为任意实数设.)(, . 3aexaxeaex则对任意实数存在如果证明证明(1)设离散型随机向量x分布列为x=

17、xi=pi, i=1,2,则bpbbpxepxappaaiiiiiiiiiii11111)(2)设连续型随机变量x的概率密度为p(x),则 bdxxpbdxxbpxedxxxpdxxapdxxpaa)()()()()()(3)因为px=c=1,故e(c)=e(x)=c1=c下面给出第一条性质的证明。其他请同学们完成。例例:若若ex,ex2都存在，试证明都存在，试证明证明证明 e(x-ex)2=ex-e(x)2 =ex2 -2xe(x)+ e(x)2 = e(x2)-2e(x)e(x)+ e(x)2 = e(x2)- e(x)2222)()(exexexxe1.5 随机变量的随机变量的方差方差

18、例：例：a，b两种手表的日走时误差分别具有如下的分布律：易知e(xa)=e(xb)=0.由数学期望无法判别两种手表的优劣.但直觉告诉我们a优于b,怎么样用数学的方法把这种直觉表达出来呢?分析原因：分析原因： a手表之所以优于b手表,是因为a手表的日走时较b手表稳定.其日走时与其日平均误差的偏离程度小. 研究随机变量与其均值的偏离程度是有必要的. 怎么样去度量这个偏离程度呢? (1)xk-e(x)表示xk与e(x)之间的偏差; (2)ex-e(x)不能反映x与e(x)之间的整体偏差; (3)e|x-e(x)|可以度量x与e(x)之间的整体偏差,但运算不方便; (4)ex-e(x)2可以度量x与e

19、(x)之间的整体偏差,且运算也较方便.)()(xdx 定义：定义：设x是一个随机变量,若ex-e(x)2存在,则称ex-e(x)2为x的方差方差.记为d(x)或var(x),即d(x)= var(x)= ex-e(x)2称为x的标准差标准差 定理定理:22()() ()d xe xe x12)()(kkkpxexxddxxpxexxd)()()(2 方差实际上是随机变量x的函数f(x)=x-e(x)2的数学期望.于是 (1)对于离散型随机变量x,若px=xk=pk,k=1,2,则 (2)对于连续型随机变量x,若其概率密度为p(x),则xa-101xb-2-1012p0 .10 .80 .10

20、.10 .200 .20 .12 . 11 . 0 022 . 0 01 4 . 0 00 2 . 0 0) 1(1 . 0 0) 2()(2 . 01 . 0 01 8 . 0 00 1 . 0 0) 1()(22222222baxdxd 例：例：a，b两种手表的日走时误差分别具有如下表的分布律.问哪种手表质量好些?解解 易知e(xa)=e(xb)=0.所以由于d(xa)d(xb),因此a手表较b手表的质量好.其他, 010,101,10)(xxxxxp 例例:设随机变量x概率密度为p(x),求d(x). 解解01100)1 ()1 ()(dxxxdxxxxe于是,d(x)=e(x2)-e(

21、x)2=1/6011022261)1 ()1 ()(dxxxdxxxxe例例：x为一随机变量，方差存在，令2)()(cxecl证明：当且仅当c=ex时，l(c)达到最小值，最小值为dx.证明证明：22)()()()(cexexxecxecl)()(2)(22cexcexexxexxe22)()( cexexxedx)(2exxe显然，当且仅当c=ex时，l(c)达到最小值，最小值为dx.这个例子表明，若用常数c来预测x，x的实际取值与c存在偏差x-c,平均意义下的偏差程度用均方误差e(x-c)2来衡量,则最好的误差应使得e(x-c)2最小，c=ex做到这一点。:方差的性质:,则有的方差存在设随

22、机变量rbax;:; 0) 1 (aeada而;)(:;)()2(2aexaxedxaaxd而;)(:;)()3(bexbxedxbxd而.)(;)(2baexbaxedxabaxd而 1.6 随机变量的矩与切比雪夫不等式随机变量的矩与切比雪夫不等式定义定义:若若exk(k=1,2,)存在存在(e|x|k小于正无穷小于正无穷),则称则称它为它为x的的k阶原点矩阶原点矩,简称简称k阶矩，阶矩， e|x|k为为x的的k阶绝对矩阶绝对矩. 定理定理2.2 随机变量x的t阶矩存在，则其s(0st)阶矩存在。证明证明 设x为连续型随机变量，其密度函数为f(x).| |1| |1|( )|( )sssss

23、xxe xxf x dxxf x dxt| |1| |1( )|( )ssxxf x dxxf x dx|1|stpxe x 推论推论：设k为正整数，c为常数，如果 存在则 也存在，特别地 也存在kexkxe)c(kexxe)-(定义定义 若若 exk(k=1,2,)存在存在,则称则称 为为x的的k阶中阶中心矩心矩. 为为x的的k阶绝对中心矩。阶绝对中心矩。kexxe)-(kexxe|-|注注：数学期望是x的一阶原点矩，方差是x的二阶中心矩。由以上定理，若ex2存在，则数学期望和方差都存在。定理定理2.3 设h(x)是非负函数，x是一个随机变量，且eh(x)存在，则对任意 ，有0)()(xeh

24、xhp证明证明：设x的密度函数为f(x),则dxxfxhxeh)()()()()()()()()(xhxhdxxfxhdxxfxh( )( )( ) ( )( ) ()h xh xh x f x dxf x dxp h x推论推论1（马尔可夫不等式） 设x的k阶矩存在，则对任意 ，有0.|kkxexp推论推论2 （切比雪夫不等式） 设x的方差存在，则对任意有, 02|dxexxp推论推论3 随机变量的方差为0当且仅当存在一个常数a,使得px=a=1.证明 充分性显然，下证必然性。首先注意到1|0|1nnexxexx)1|()1|(0|11nexxpnexxpexxpnn从而有由切比雪夫不等式，

25、有0)1 (1|2ndxnexxp从而得. 00| exxp因此. 10| exxp都有对任意给定的常数则的期望与方差都存在设随机变量, 0,x.)(2dxexxp:意义切比雪夫不等式的几何.)(:2dxexxexxp或上式即exex-ex+x).72006800(:.2100,7000,.11xpdxexx估计试利用切比雪夫不等式且已知是随机变量设例)72006800(: xp解.9475. 020021001)200(2exxp作业 p55，2，52.3 常用的离散型分布常用的离散型分布1. 退化分布退化分布一个随机变量x以概率1取某一常数，即px=a=1,则称x服从a处的退化分布退化分布

26、。2. 两点分布两点分布(0-1分布分布)x01pk1-pp显然，ex=a,dx=0.此时，称x服从参数为p的两点分布(0-1分布)，或称x是参数为p的伯努利随机变量。显然，ex=p,dx=p(1-p)注：在实际中，服从两点分布的随机变量通常根据实验中某一事件a的发生与否构造出来。例如，设p(a)=p, p( )=1-p, 则随机变量a)( , 0)( , 1)(未发生发生aaaax参数为p的两点分布。这个随机变量也相当于表示a发生的次数的随机变量。当取到正品时当取到次品时, 1, 0)(xx 例例:在100件产品中,有95件正品,5件次品.现从中随机地取一件,假如取到每件产品的机会都相等.若

27、定义随机变量x为则有 px=0=0.05,px=1=0.95x服从(0-1)分布3、n个点上的均匀分布个点上的均匀分布特殊的随机变量取特殊的随机变量取n个值个值,等可能等可能,即即:称称x服从服从n个点上的均匀分布个点上的均匀分布.其期望与方差分别其期望与方差分别为为:11.niiexxxn1,1,2, .ip xxinn211() .niidxxxn4. 二项分布二项分布在n重伯努利试验中，每次试验中事件a发生的概率为p,(0p0为例):xy021)(xy有的密度函数记作此时记作服从标准正态分布称时当特别地),(:,).1, 0(:,1, 0,02xxnxx.,21)(202rxexx:)(

28、0轴对称的图形关于yxxy021)(0 xy根据积分dxex2，容易验证., 1)(2dxexdxx. 1, 0),1, 0(:dxexnx则若函数可以证明利用dxexexx2221:证明dxexdxexxx2020222121.22,2,221212dttdxtxxt令)(2100dtedteextt)(2100dtedtett. 0)1 () 1 (21dxexexx222221)2(2222022xtdxexx令dttett21022222dtett0212, 1)21(212)23(2. 101)(22exexde证毕:. 1正态分布的分布函数:),(2则其分布函数为若nx;21)()

29、(222)(dtedttxtxx:),1, 0(则其分布函数为若nx.21)()(2002dtedttxtxx)0( :)(0时的几何意义xxx)(0 x)(0 xy2.标准正态分布函数表附表2的使用方法:).1, 0(分三种情况设nx; 5 . 0)0()0() 1 (0xp:2)()(,0)2(0求出由附表的值可直接时当xxxpx;8413. 0) 1 (:0例如;975. 0)96. 1 ()96. 1(0xp)58. 2(1)58. 2(xpxp.00494. 099506. 01)58. 2(10).(1)(:,)(,0) 3(000 xxxx有的对称性利用密度函数时当0 x-x;1

30、587. 08413. 01) 1 (1) 1(:00例如).96. 1(),65. 1(),47. 256. 0(),5 . 15 . 3(),32(:),1, 0(. 1xpxpxpxpxpnx求下列概率设例) 3(1)3(1)3(0xpxp.99865. 0)3()3(1 100;9759. 01)2()3()2()3()32(:0000xp解;06658. 0)5 . 1 ()5 . 3()5 . 3()5 . 1()5 . 15 . 3(0000xp;28094. 07123. 099324. 0)56. 0()47. 2()47. 256. 0(00 xp;9106. 01)65.

31、 1 (2)65. 1()65. 1 ()65. 1(000xp.05. 0)96. 1 (22)96. 1(1)96. 1(0xpxp态分布的关系一般正态分布与标准正. 3).,().0,(,),(6 . 2222abanyarbabaxynx则且令设定理):(服从正态分布正态分布的线性函数仍即).12, 7(14),3, 2(:22则例如nxynx).(),();(),(:xfxfyxxxyy密度函数为的分布函数为密度函数为的分布函数为记证明.)21)(:),(:,(2222)(22abaxyeaxfabanyrx即来证明对任意).()()(,xbaxpxypxfrxy对任意),()()(

32、,0) 1 (abxabxxpxfay 时当);(1)()()(abxaabxxfxfyy),(1)(1)()(,0)2(abxabxxpabxxpxfay时当);(1)(1 )()(abxaabxxfxfyy).(1)(,0);(1)(,0:abxaxfaabxaxfayy时时即).(1)(abxaxfy)21)(:(222)(xex注意到)(1)(abxaxfy从而222211abxea.212222)(abaxea.).,(:22证毕即abanbaxy).1 , 0(),(. 12nxynx则若推论6 . 2,1:故由定理由于证明xxy).1, 0()1( ,1(:22得到nny:1(*

33、),:知则由推论令证明xy.),1, 0(),(. 22yxnynx使存在推论; 1, 0) 1, 0(dyeyny:,:,(*)方差的性质可推出故由期望和有式又由 yx;)(eyyeex.)(22dyyddx.证毕).(1)(),()(:),(. 3002xxxxnx则有设推论由推论令证明) 1, 0(, 1,:nyxy)()()(xypxxpx);()(0 xxyp).(1)()()(00 xxxx算一般正态分布的概率计. 4);1, 0(),(:16 . 22的推论利用定理nxynx).()(:30 xx和推论2.(682.24)(8, 0.5 )pxn例 教材例已知）?,3002000

34、).100,400(. 32取生要的多少分才能被录试估计考名考生中按分数择优录取名若计划在近似服从总分设某校考生入学考试的例nx.15. 02000300)(:,:000 xxpxx满足则表示最低录取分数设解),1, 0(100400:近似服从又由条件知nx )(1)(:00 xxpxxp则有)100400100400(10 xxp15. 0)100400(100 x:, 2,85. 0)100400(00得到由附表x).(50404. 110040000分xx作业 p69, 5,92.5 随机变量函数的分布随机变量函数的分布1. 如果已知随机变量x的分布,另一随机变量y=g(x)是x的函数,如何求y的分布(2.90). 2. 离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布x-1012p0.20.30.10.4y014p0 .10 .70 .2例例: :设随机变量x的分布律如下表,试求y=(x-1)2的分布律.解解 y所有可能取的值为0,1,4.由py=0=p(x-1)2 =0=px=1=0.1py=1=p(x-1)2 =1=px=0+x=2=px=0+px=2=0.7py=4=p(x-1)2 =4=px=-1=0.2即得y的分布律为3. 连续型随机变量函数的分布连续型随