概率论与数理统计第一节课件

1、第三章第三章随机向量随机向量本章开始学习本章开始学习多维随机变量多维随机变量一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量困难，我们重点讨论二维随机变量 .它是第二章内容的推广它是第二章内容的推广第一节二维随机向量第一节二维随机向量第二节二维随机向量函数的分布第二节二维随机向量函数的分布第三节二维随机向量的数字特征第三节二维随机向量的数字特征*第五节第五节n维随机向量维随机向量第四节二维正态分布第四节二维正态分布第六节中心极限定理第六节中心极限定理*第七节大数定

2、理第七节大数定理(本章共七节）本章共七节） 第第1 1周周 第第2 2周周第第3 3周周习题课习题课 第第4 4周周 1 二二 维维 随随 机机 向向 量量定义定义,XYX Y 如如果果样样本本空空间间 中中的的样样本本点点同同时时对对应应着着两两个个随随机机变变量量 和和以以这这两两个个随随机机变变量量为为分分量量的的向向量量( () )称称为为二二维维随随机机向向量量，或或二二维维随随机机变变量量。例子例子 考考察察某某地地区区成成年年男男子子的的身身体体状状况况，令令X：该该地地区区成成年年男男子子的的身身高高；(,)X Y则则就就是是一一个个二二维维随随机机变变量量Y：该地区成年男子的

3、体重；：该地区成年男子的体重； 对对一一目目标标进进行行射射击击，令令：X：弹弹着着点点与与目目标标的的水水平平距距离离；Y：弹弹着着点点与与目目标标的的垂垂直直距距离离；(,)X Y则则就就是是一一个个二二维维随随机机变变量量 考考察察某某地地区区的的气气候候状状况况，令令：X：该该地地区区的的温温度度；(,)X Y则则就就是是一一个个二二维维随随机机变变量量Y：该该地地区区的的湿湿度度注意注意二二维维随随机机向向量量也也称称为为二二维维随随机机变变量量； 我我们们应应把把二二维维随随机机变变量量XY（ ， ）XY看看作作一一个个整整体体，因因为为与与之之间间是是有有联联系系的的；(,)X

4、Y在在几几何何上上，二二维维随随机机变变量量可可看看作作平平面面上上的的随随机机点点二维随机向量的联合分布函数和边缘分布函数二维随机向量的联合分布函数和边缘分布函数 , XYxyXYXY定定义义3 3. .2 2 设设，是是一一个个二二维维随随机机向向量量，则则对对于于任任意意实实数数 ，二二元元函函数数称称为为二二维维随随机机向向量量，的的, , 或或称称为为 和和的的分分布布函函数数联联合合分分布布函函数数. . 2 , ( ,)Fx yPXxYyx yR ，称称(),XFxP XxxR XY分分别别为为关关于于和和的的边边缘缘分分布布函函数数。(),YFyP YyyR (, ) (, )

5、X YXYX YXYXY注注意意：如如果果是是一一个个二二维维随随机机变变量量，则则它它的的分分量量和和 都都是是一一维维随随机机变变量量，关关于于 或或 的的边边缘缘分分布布也也就就是是一一维维随随机机变变量量 或或 的的分分布布。联合分布函数的概率意义联合分布函数的概率意义yo(x, y)(X, Y )( , ),F x yP Xx Yy x ( , )( , )F x yx y表表示示平平面面上上的的 随随机机点点落落在在以以 为为右右上上顶顶点点的的无无穷穷矩矩 形形中中的的概概率率一个重要的公式一个重要的公式 ( )P aXbF bF a （ ）yxo P aXbcYd ，cdab(

6、b , d)(b , c)(a , d)(a , c),F b d （）( , )F b c ( , )F a d ( , )F a c 联合分布函数的性质：联合分布函数的性质：2.2.F (x , y )是变量是变量 x , y 的不减函数，即的不减函数，即对于任意固定的对于任意固定的x , 当当 y1 y2时，时，( , ),F x yP Xx Yy 对于任意固定的对于任意固定的y, 当当 x1 x2时，时，21. 0( , )1, ( , )F x yx yR12(, )(, );F xyF xy 12( ,)( ,).F x yF x y 1122(, ),(, ),F xyP Xx

7、YyF xyP Xx Yy 4 4. .F (x , y )关于关于 x 右连续，关于右连续，关于 y 也右连续也右连续.（固定（固定y）3. (, )lim( , )0 xFyF x y （固定（固定x）( ,)lim( , )0yF xF x y (,)lim( , )0 xyFF x y (,),Fx yP Xx Yy (, )( ,)FyF x (,)lim( , )1xyFF x y 联合分布函数与边缘分布函数的关系联合分布函数与边缘分布函数的关系: :( ) ( ) , ( , )XYFxFyF x y， ( )XFxP Xx , P XxY ( ,)F x ( ), ()YFyP

8、 YyP XYyFy ， ( )( ,) ( )(, ) XYFxF xFyFy离散型二维随机变量离散型二维随机变量(,)(,)X YX Y 若若二二维维随随机机变变量量的的取取值值是是有有限限个个或或可可列列无无穷穷个个，则则称称为为二二维维离离散散型型随随机机变变量量联合概率函数和边缘概率函数联合概率函数和边缘概率函数,(,) , 1,2,1,2, (,)(,) ,ijijijijijX YxypijijPX YxypP XxYypX YXY 定定义义 如如果果离离散散型型二二维维随随机机变变量量( () )的的可可能能值值为为, ,其其概概率率记记为为 即即 或或概概率率函函数数， ，称

9、称之之为为( () )的的或或 与与 联联合合概概率率函函数数。相应地，记相应地，记(1)(2 ) , 1,2, 1,2,iijjP XxpiP Yypj 分别称为关于分别称为关于X、关于关于Y的的边缘概率函数边缘概率函数。联合概率函数可以用表格来表示：联合概率函数可以用表格来表示：(X,Y) P 11122122(,) ( , ) (, ) (, ) ( , ) ijx yx yxyxyx y11122122 ijppppp2P Xx (1)2p (2)33P Yyp 如如称之为一维表称之为一维表XY12 jyyy 12 ixxx111212122212 jjiiijppppppppp(,)

10、X Y 的的联联合合分分布布律律也也可可以以由由下下表表表表示示称之为二维表称之为二维表联合概率函数的性质联合概率函数的性质1.01, ( ,1,2,)ijpi j,2.1iji jp（正定性）（正定性）（归一性）（归一性）XY12 jyyyXP 12 ixxx111212122212 jjiiijpppppppppYP1jjp2jjp2 jjp1()P Xx2()P Xx () iP Xx联合概率与边缘概率的关系：联合概率与边缘概率的关系：1 iip2iip ijipXY12 jyyyXP 12 ixxx111212122212 jjiiijpppppppppYP1jjp2jjp2 jjp1

11、()PYy2()PYy()jPYy1()P Xx2()P Xx () iP Xx 1 1()PYy2()PYy()jPYy1()P Xx2()P Xx () iP XxXY12 jyyyXP 12 ixxx111212122212 jjiiijpppppppppYP1jjp ijjp1 iip2iip ijip2jjp若离散型随机变量若离散型随机变量( X,Y )的联合概率函数为的联合概率函数为则关于则关于X的边缘概率函数为的边缘概率函数为()iijjPXxp ()jijiP Yyp 关于关于Y 的边缘概率函数为的边缘概率函数为(,)ijijPXxYyp 联合概率与边缘概率的关系：联合概率与边

12、缘概率的关系：即在二维联合概率分布表中即在二维联合概率分布表中将各行联合概率分别累加将各行联合概率分别累加即在二维联合概率分布表中即在二维联合概率分布表中将各列联合概率分别累加将各列联合概率分别累加例例1 5件产品中有件产品中有2件次品件次品3件正品，每次从中任取一件，件正品，每次从中任取一件，不放回地连续取两次。用不放回地连续取两次。用X、Y分别表示第一、二次取分别表示第一、二次取到的次品数，写出到的次品数，写出(X,Y)的联合分布和边缘分布。的联合分布和边缘分布。解：解：随机向量随机向量(X,Y)的所有可能值为的所有可能值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)。0,0P XYX的

13、可能取值为的可能取值为0,1，Y的可能取值也是的可能取值也是0,13 235 410 0,1P XY3 235 410 1,0P XY2 335 410 1,1P XY2 115 410 XY3100101310310110XY3100101310310110XP35250P X1P XXY3100101310310110XPYP35250P X1P XXY3100101310310110XPYP352510P X1P X0P Y 1P Y 3525与第一章学与第一章学过的全概率过的全概率公式吻合公式吻合例例 2 (,)(0,0)(1,1)(1,1), (0,0)1, (,)X YppX Y

14、二二维维两两点点分分布布：只只取取和和两两个个点点, ,且且取取的的概概率率为为则则取取的的概概率率为为的的分分布布如如下下表表所所示示 (X,Y) (0, 0) (1, 1) P 1- -p pXY1 P010100PXPYP1 PP11 PP显然一维随机变量显然一维随机变量X、Y均服从一维均服从一维01分布分布也可列成二维联合概率表也可列成二维联合概率表 (,)1 1,6(0,1)3X YXYF设设二二维维随随机机变变量量仅仅取取( (0 0, ,0 0) ), ,( (- -1 1, ,1 1) ), ,( (1 1, ,- -1 1) ), ,( (1 1, ,1 1) )四四个个值值

15、，且且取取前前三三值值的的概概率率依依次次2 2为为， ， 求求与与 的的联联合合分分布布及及边边缘缘分分布布，并并3 39 9求求例例。 21111,11-()36918P XY 解解 由由联联合合概概率率函函数数的的性性质质可可得得X与与Y的联合概率分布和边缘概率分布列表如下的联合概率分布和边缘概率分布列表如下(0,1)F0,1P XY215366 定义定义 对于二维随机变量对于二维随机变量 ( X,Y )，如果存在非负如果存在非负可积函数可积函数 f (x , y )，使得对于平面上的任意可度使得对于平面上的任意可度量的区域量的区域D，都，都有：有：则称则称 ( X,Y ) 为连续型二维

16、随机变量，函数为连续型二维随机变量，函数 f (x , y )称称为二维随机变量为二维随机变量 ( X,Y )的的密度函数密度函数，或称为，或称为 X 和和 Y 的的联合密度函数联合密度函数，记为，记为 二维连续型随机变量二维连续型随机变量2(,)( , ) , ( , )X Yf x yx yR 联合密度函数联合密度函数： (,)( , )DPX YDf x y dxdy 联合密度函数的联合密度函数的性质：性质：21. ( , )0 , ( , )f x yx yR 2.( , )1f x y dxdy （正定性）（正定性）（归一性）（归一性）2( , )(,)f x y dxdyPX YR

17、 ( 事实上，事实上，,PXY ()1)P ( , )( , )DPx yDf x y dxdy 联合密度函数的联合密度函数的性质：性质：21. ( , )0 , ( , )f x yx yR 2.( , )1f x y dxdy （正定性）（正定性）（归一性）（归一性）( ,)f x y满满足足以以上上两两条条基基本本性性质质的的任任何何一一个个二二元元函函数数都都可可作作为为某某二二维维随随机机向向量量的的联联合合密密注注意意：度度函函数数。联合密度函数与联合分布函数的关系联合密度函数与联合分布函数的关系：-( , )( , )xyF x yf s t dsdt 2( , )( , )F

18、x yf x yx y ,( , )bdacP aXb cYdf x y dydx ,( , )( , ) ( , )( , )P aXb cYdF b dF b cF a dF a c 计算概率的公式计算概率的公式：( , )( , )DPx yDf x y dxdy 22( , )(1)(1)Cf x yxy 01,01.PXY 例例(P131) (P131) 设二维随机变量设二维随机变量(X，Y)的密度函数为的密度函数为(1).(1).求常数求常数C； (2).(2).求分布函数求分布函数F( (x , y) )； (3).(3).求概率求概率 1fxy dxdy ，22(1)(1)Cd

19、xdyxy arctan|arctan|Cxy 21C 2211(1)(1)Cdxdyxy 解解(1) (1) 由密度函数的性质得由密度函数的性质得 2C 分离变量分离变量 (2) ( , )( , )xyF x yf s t dtds 2221( , )(1)(1)f x yxy 2221(1)(1)xydtdsst 21arctanarctanxyst 21(arctan)(arctan)22xy 222111(1)(1)xydsdtst (3) 01,01PXY 或或01,01PXY 221()()()424224222 2 1100( ,)f x y dxdy 11222001(1)(

20、1)dxdyxy 1100211arctanarctan16xy (1,1)(1,0)(0,1)(0,0)FFFF 21 ( , )(arctan)(arctan) 22F x yxy 116 例例 的密度函数为，设二维随机变量YXC求常数 ；200( ,)0 xyCexyfx y，其 它(, )( , )X YF x y 求的联合分布函数；(, )22PX YDDxyxy求,其中区域 是由 轴、 轴和直线围成。解：由密度函数的性质，得 dxdyyxf，1200 xyCedxdy 200yxCedyedx2C2C2001()()2yxCee200( ,)0 xyCexyfx y，其 它00 x

21、y当且时，(2 )00( , )2yxstF x yedtds 211xyee2(1)(1)000 xyeexyF xy，其它(2)( , )F x y；，0yxF00 xy当或时，( , )yxf s t dsdt 200() ()xystee 2200(,)0 xyexyfx y ，其其 它它220()xeedx21 3e (, )( , )DPX YDf x y dxdy20 d x(, )22PX YDDxyxy求,其中区域 是由 轴、 轴和直线围成。120 xd y212200(2)xxyeedy dx212200()xxyeedx220(1)xxeedx (2)2xyexy12O2

22、2xy1 2xy x二维均匀分布二维均匀分布的密度函数为，如果二维随机变量YX上的均匀分布服从区域，则称二维随机变量DYX 10DxyDSfxyxyD ，设D是平面上的有界区域，其面积记为 DS二维均匀分布几何意义二维均匀分布几何意义中的位置无关在的形状以及而与面积成正比，内的概率与该子区域的域内任一个子区内；并且落在落在区域只，为随机点均匀分布，我们可以认上的服从区域，如果二维随机变量DDDDDDYXDYX111边缘密度函数边缘密度函数Dxyo(,)X Yabdc(,)( ,)X Yf x y XY( )XXfx ( )YYfy 和和 分别称为分别称为(X,Y)关于关于X和和Y的边缘密度函数

23、的边缘密度函数( )Xfx( )Yfy联合密度函数联合密度函数若若 (X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为则则( X,Y )关于关于X的边缘密度函数为的边缘密度函数为( , )f x y( )( , )Xfxf x y dy P aXb ,P aXbY ( )Xfx (,) bafx y dy dx 若若 (X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为则则( X,Y )关于关于X的边缘密度函数为的边缘密度函数为关于关于Y的边缘密度函数为的边缘密度函数为( , )f x y( )( , )Xfxf x y dy ( )( , )Yfyf x y dx 例（例（P135） (,)( , )|, ,

24、 , ,X YDDx yaxb cyda b c dXY 设设服服从从区区域域 上上的的均均匀匀分分布布，其其中中为为常常数数求求 与与 的的联联合合密密度度函函数数和和边边缘缘密密度度函函数数。()(),DSba dc 解解：由由于于联联合合密密度度函函数数为为 , ( ,)( ,)0 , x yDf x y 其其他他1( - )( - )b a d cxaxb 当当或或时时，()(,)Xfxfx y dy 关于关于X的边缘密度函数为的边缘密度函数为axb当当时时，() cdXcdfxdydydy 1ba ()00Xfxdy + +( ,)0f x y 1()()b a d c 001, ,

25、 ()()( , )0 , ax b cy db a d cf x y 其其他他 , Xa b即即一一维维随随机机变变量量服服从从区区间间上上的的均均匀匀分分布布。1 ()-0Xaxbfxba 所所以以 其其他他1 ( )0 , YcydfydcYU c d 同同理理可可得得其其他他即即。若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)服从矩形区域服从矩形区域D上的均上的均匀分布，则其分量匀分布，则其分量X和和Y均服从一维均匀分布均服从一维均匀分布 例（例（P135） 设设(X，Y)服从区域服从区域D上的均匀分布，上的均匀分布，其中其中D是由直线是由直线 y = x与抛物线与抛物线 围成，求围成，求X与

26、与Y的联合密度及边缘密度。的联合密度及边缘密度。解解 如图，首先求区域如图，首先求区域D的面积，易得的面积，易得则则X与与Y的联合密度为的联合密度为2yx 1201()6DSxxdx 6( , )( , )0( , )x yDf x yx yD xyo11y=x2yxxyo11y=x2yxD下面求边缘密度下面求边缘密度6( , )( , )0( , )x yDf x yx yD ( )( , )Xfxf x y dy 当当 或或 时，时，( )00Xfxdy 0 1xx 当当 时，时，01x 22( )060 xxXxxfxdydydy 26()xx xyo11y=x2yx用类似的方法求出用类

27、似的方法求出区域区域D上的二维均匀分布，其分量不一上的二维均匀分布，其分量不一定是一维均匀分布，除非定是一维均匀分布，除非D是矩形区域是矩形区域( )( , )Yfyf x y dx 26()01( )0Xxxxfx 其其它它6()010yyy 其其它它随机变量的独立性随机变量的独立性两事件两事件A,B独立的定义：独立的定义：P(AB)=P(A)P(B) 设设X,Y是两个随机变量，若对任意的是两个随机变量，若对任意的x,y，都有，都有则称则称X,Y相互相互独立独立 .)()(),(yYPxXPyYxXP用随机变量的语言表达，即：用随机变量的语言表达，即：有关独立性的几个充分必要条件：有关独立性

28、的几个充分必要条件：,ijijP Xx YyP XxP Yy 1.随机变量随机变量X,Y相互相互独立的充分必要条件是独立的充分必要条件是( , )( )( )XYF x yFx Fy .离散型随机变量离散型随机变量X,Y相互相互独立的充分必要条件是独立的充分必要条件是3.连续型随机变量连续型随机变量X,Y相互相互独立的充分必要条件是独立的充分必要条件是( , )( )( )XYf x yfx fy )()(),(yYPxXPyYxXP定理定理3.2定理定理3.1另外，还有如下结论：另外，还有如下结论： 若随机变量若随机变量 X 与与 Y 相互独立，则它们的连续相互独立，则它们的连续函数函数g

29、(X)与与 h (Y) 也相互独立。也相互独立。例如：例如： 若随机变量若随机变量 X 与与 Y 相互独立，则随机相互独立，则随机变量变量 2X + 3 与与 也相互独立。也相互独立。2Y例例1 1(,X Y设设二二维维离离散散型型随随机机变变量量) )的的联联合合分分布布律律为为, ,XY 试试确确定定常常数数使使得得随随机机变变量量与与相相互互独独立立 XY解解 由由表表可可得得随随机机变变量量与与 的的边边缘缘分分布布律律为为 Y X1 2 31111 69181 2 3 1212P XYP XP Y ，若若X,Y相互独立，则有相互独立，则有29 11 1()93 9 Y X1 2 3

30、Xp11111 6918311 2 33 111 12918Yp 19 111()18318 1313P XYP XP Y ，又有又有 Y X1 2 3 ip11111 6918311 2 33 111 12918jp Y X1 2 3 ip11111 691831212 2 3993111 1236jp可可以以验验证证，此此时时有有2199XY 因因此此当当，时时，与与相相互互独独立立(1,2; 1,2,3)ij ijijP XxYyP XxP Yy，例（例（P140）设设X与与Y的分布由下表给出的分布由下表给出XP0 1 YP- -1 0 1 已知已知01P XY , 求求X和和Y的联合分

31、布并的联合分布并判断判断X与与Y的独立性。的独立性。解解 二维随机变量二维随机变量(X,Y)的所有可能取值为的所有可能取值为(0,- -1) (0,0) (0,1) (1,- -1) (1,0) (1,1)接下来先列出接下来先列出 (X,Y)的二维联合概率分布表的二维联合概率分布表XP0 1 YP- -1 0 1 XY0XPYP011 1 01P XY 11P21P00P XY 2123 0PP 12P13P22P23P0011P 13P 22P 120P 进一步可得进一步可得 0XY0XPYP011 1 00 00,00P XY 0 0P XP Y 而而 0000P XP YP XY 即即，故故X与与Y不独立。不独立。例（例（P141）(, )(1) ( , )|, , , ,X YDDx yaxb cyda b c d 设设服服从从区区域域 上上的的均均匀匀分分布布，其其中中为为常常数数；222(2) ( , )0Dx y xyRR 判断判断X与与Y的独立性。的独立性。解解 (1)1 ( )-0XaxbXfxb a 其其他他1 ( )0 YcydYfydc 其其他他( , )( )( )XYf x yfxfy 所以所以X与与Y独立。独立。1, ,()()( , )0 , axb cydba