极限存在准则两个重要极限(4)课件

1、1极限存在准则极限存在准则两个重要极限两个重要极限第五节第五节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限21. 1. 夹逼准则夹逼准则证证,ayn, 0 准则准则满足下列条件满足下列条件: :),3 , 2 , 1()1( nzxynnn,lim)2(aynn ,limaznn nx.limaxnn ,azn, 01 N, 02 N使得使得一、极限存在准则一、极限存在准则如果数列如果数列那末数列那末数列的极限存在的极限存在, ,且且,nnnzyx及及3,1 ayNnn时时恒恒有有当当,max21NNN 取取恒恒有有时时当当,Nn , ayan即即,2 azNnn时时恒恒有有当当, a

2、zan上两式同时成立上两式同时成立,nnnzxy ,成立成立即即 axn.limaxnn 上述数列极限存在的准则可以推广到上述数列极限存在的准则可以推广到函数函数的极限的极限., a annnzxy )1(4称为称为准则准则 如果如果)()()(xhxfxg ,)(lim)2(0Axgxx ,)(lim0Axhxx 那末那末)(lim0 xfxx存在存在,且等于且等于A.夹逼准则夹逼准则. .)()1(0 xUx 当当),|(Mx 或或有有)( x)( x)( x准则准则准则准则和和.,的极限是容易求的的极限是容易求的与与并且并且与与键是构造出键是构造出利用夹逼准则求极限关利用夹逼准则求极限关

3、nnnnzyzy5例例).12111(lim222nnnnn 求求解解nnn 22111nnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由由夹逼定理夹逼定理得得. 1)12111(lim222 nnnnn,12 nn nnn26,321 , ）（的一切项的一切项对数列对数列,nyynn ，使得：，使得：常数常数若若M 有上界；有上界；称数列称数列nn yM，y 1 有有下下界界；称称数数列列nn yM，y 2 有有界界；，称称数数列列nnyMy 3 2. 2. 单调有界准则单调有界准则数列有界数列有界7x1x2x3xnx满足条件满足条件如果数列如果数列

4、nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列准准则则 几何解释几何解释:AM单调有界单调有界数列必有极限数列必有极限.1 nx即即单调减少且有下界的数列必有极限单调减少且有下界的数列必有极限.单调增加且有上界的数列必有极限单调增加且有上界的数列必有极限.8例例的的重重根根式式证证明明数数列列)(333nxn 证证,1nnxx nx31 x, 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 nxnnx lim极限存在极限存在.显然显然(1)是单调增加的是单调增加的;(2), 3 是有界的是有界的;存在存在.9,31nnxx ,321nnxx 21l

5、imnnx,32AA ,2131 A(舍去舍去).2131lim nnx(3)的的重根式重根式证明数列证明数列)(333nxn 极限存在极限存在.),3(limnnx Axnn lim设设2131 A解得解得1011,O设单位圆设单位圆,sinBDx 于于是是有有,作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形的的高高为为OAB 作为准则作为准则 的应用的应用的的面面积积圆圆扇扇形形AOB)20(, xxAOB圆心角圆心角.ACO 得得,ABx弧弧 ,tanACx 的面积的面积AOC 的的面面积积AOB,BD二、两个重要极限二、两个重要极限xOABDC(1)1sinlim0

6、 xxx12,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式对对于于 x, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又1sinlim 0 xxxxxxtan2121sin21 即即夹逼定理夹逼定理,20时时当当 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx1sinlim0 xxx131sinlim0 xxx该极限的特点该极限的特点:;00 )1(型型未未定定式式.sin )2(形形式式一一致致与与分分数数线线另另一一侧侧的的变变量量 一般有一般有)(x )(x 0)(x sinlim

7、10 xxxsinlim14xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 111 xxx53sinlim0 xxx33sinlim053531 例例例例5320cos1limxxx 2202sin2limxxx 211212 2022sinlim21 xxx例例1)()(sinlim0)( xxx xxxsinlim0 xxcos1lim0 1sinlim0 xxx15例例 求求.arcsinlim0 xxx解解: :,arcsinxt 则则,sintx 因此因此原式原式tttsinlim0 1lim0 tttsin111 令令nnn2sinlim nnn22sin2lim 2 例例1

8、6例例 求求.)sin(inlim0 xxsx解解: :原式原式 =xxxxxxsinsin)sin(sin)sin(sin 利用公式利用公式1)()(sinlim0)( xxx111sinlimsin)sin(sinlim0 x0 x xxxx1)()(sinlim0)( xxx 小结小结: :极限式中含三角函数或反正弦函数、反正切极限式中含三角函数或反正弦函数、反正切函数函数,且为且为 型未定式时型未定式时,常用到第一个重要极限常用到第一个重要极限.0017(2)exxx )11(lim,)11(nnnx 设设作为准则作为准则 的应用的应用取取值值计计算算，对对数数列列 nn11可以严格证

9、明数列可以严格证明数列xn单调增加单调增加且且有界有界.lim存在存在nnx ennn )11(lim 记记为为单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限3)11( nnnx可看出该数列是单调增加的可看出该数列是单调增加的, 并且有界并且有界:事实上事实上,图像图像1819exxx )11(lim. e当当x实数趋向实数趋向 或或 时时, xx)11( 因此因此xt1 令令xxx10)1(lim . e exxx 10)1(lim或或的极限都存在且等于的极限都存在且等于函数函数可证明可证明,ttt)11(lim 图像图像ennn )11(lim2021exxx )11(lim该极限的特点该极限的

10、特点:;1)1(型未定式型未定式 exxx 10)1(lim(2) 括号中括号中1后的变量后的变量(包括符号包括符号)与幂互为倒数与幂互为倒数. 注注若极限呈若极限呈,1 型型 但第二个特点不具备但第二个特点不具备,通常通常凑凑指数幂使指数幂使(2) 成立成立.则则一般有一般有1( )( )0lim (1( )f xf xf xe( ) ( )1lim( ) ( )( )( )lim(1( )lim (1( )f x g xf x g xg xf xf xf xe或或凑指数幂法凑指数幂法22xxx111lim 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限e .)1(型未定式型未定式非非

11、正确解法正确解法 ,111xxy 令令 则则,)11ln(lnxxy 由于当由于当,时时 x, 011ln x 故故 xxyxx11lnlimlnlim 从而原式从而原式. 10 e. 023例例 求求.)1(lim1xxx 解解: : 令令,xt 则则 xxx)1(lim1ttt )1(lim1 1lim ttt)1(1 e1 说明说明: : 若利用若利用,)1(lim)()(1)(exxx 则则 原式原式 111)1(lim exxxexxx )11(lim24nnn211lim 2 exxx 321lim xx321lim32e 例例2 例例n nn11limx2332 xxx20sin

12、1lim 2e 例例 xxxsin10sin1limxxsin2例例xxxx 21lim xlim3e )1( )1( )1( )1( 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限2332231 xxxx25nnnnn 121lim22 12221lim2nnnn2 e例例nnn22122 12)22(2 nnnn例例222)1(coslimxxx 解解 原式原式=222)1sin1(limxxx 21 e)1( )1( 21sinlim22xxx 211sinlim21 xxx21 26作业作业习题习题2.52.54.(2)(4)(6)(8)(10) 6.(2)(4)(6)(8)(10

13、) 其它做书上其它做书上271. 选择题选择题).(sin1sinlim)1(20的值为的值为xxxx. 0)(;)(;)(; 1)(DCBA不存在不存在 D).(1sinlim)2( xxx. 0)(; 1)(;)(;)(DCBA不存在不存在 C极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限28).(11lim)3(2 xxx.21)(; 0)(;)(;)(2DCBeA Axxxx2)23(lim. 2 求求解解222)211(lim xxxxx原原式式2e 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限29思考题思考题1. 求极限求极限xxxx1)93(lim 2. 求极限求极限x

14、xxx 1sin1coslim极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限30思考题解答思考题解答xxxx1)93(lim. 1 xxxxx11131)9(lim xxxxx 313311lim9990 e2. 原式原式=221sin1coslimxxxx 22sin1limxxx 122sinlim22sinlim xxxxxxe 原极限原极限极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限31BD320arctanlim)(212coslim)(2)1sin(1lim)( 232sin3tanlim)()( . 51210 xxDxxCxxBxxAxxxx 下列极限中不正确的是下列极限中不正确的是CxxDxxCxxBxxAx1cos)(1sin)(cos)(sin)()(, . 6是是下列函数中为无穷大的下列函数