极限存在准则与两个重要极限(6)课件

1、上页上页下页下页返回返回1.4 1.4 极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限一、极限存在准则一、极限存在准则二、两个重要极限二、两个重要极限1sinlim0 xxxnnen1lim(1) 上页上页下页下页返回返回一、一、极限存在准则极限存在准则1.1.夹逼准则夹逼准则准则准则 如果数列如果数列nnyx ,及及nz满足下列条件满足下列条件: :,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn L那么数列那么数列nx的极限存在的极限存在, , 且且axnn lim. .证证,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN 1.4 1.4 极限存在准

2、则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限上页上页下页下页返回返回,1 ayNnn时时恒恒有有当当,max21NNN 取取恒恒有有时时当当,Nn , ayan即即,2 azNnn时时恒恒有有当当, azan上两式同时成立上两式同时成立, azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限.1.4 1.4 极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限上页上页下页下页返回返回.,的极限是容易求的的极限是容易求的与与并且并且与与键是构造出键是构造出利用夹逼准则求极限关利用夹逼准则求极限关nnnnzyzy

3、准则准则 I和和准则准则I称为称为夹逼准则夹逼准则.准则准则 如果当如果当x ( (或或Mx ) )时时, ,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那么那么)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. .U x 00(,)注注1.4 1.4 极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限上页上页下页下页返回返回例例1 1nnnnnnnn222lim().12L 解解nnnnnnnnnn222222,11L nnnnnn221limlim11又又 , 1 nnnnn221limlim111 , 1 由夹逼准

4、则知由夹逼准则知nnnnnnnn222lim()1.12L 求极限求极限1.4 1.4 极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限上页上页下页下页返回返回x1x2x3x1 nxnx2.2.单调有界准则单调有界准则满满足足条条件件如如果果数数列列nx,121LL nnxxxx单调增加数列单调增加数列,121LL nnxxxx单调减少数列单调减少数列准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.直观解释直观解释:AM注注对单增数列要找它的一个上界，对单增数列要找它的一个上界，对单减数列要找它的一个下界对单减数列要找它的一个下界. .1.4 1.4 极限存在准则与两个重要极限极限存在

5、准则与两个重要极限上页上页下页下页返回返回二、二、两个重要极限两个重要极限1.1sinlim0 xxx证证因为当因为当 时，时， 是偶函数是偶函数,x0 xxsin不防设不防设x 0,2作单位圆如右上图所示，作单位圆如右上图所示，ACxoBxxx0sinlim1 故只须证明故只须证明圆心角为圆心角为x，由图可知，由图可知,tansinxxx , 1sincos xxx即即OABOACSSS,扇扇形形O O A AB B xx0limcos1, 由夹逼准则，由夹逼准则，xxx0sinlim1. 1.4 1.4 极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限上页上页下页下页返回返回例例2 求

6、求xxx0tanlim.解解xxxxxxx00tansin1limlimcosxxxxx00sin1limlimcos 1 11. 1.4 1.4 极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限上页上页下页下页返回返回例例3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原原式式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 1.4 1.4 极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限上页上页下页下页返回返回L 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn LLn

7、nnnnnn1!)1()1( L2.nnen1lim(1) nnan1(1)设设现证明数列现证明数列an单调增加单调增加且且有上界有上界.nnan1(1)1.4 1.4 极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限上页上页下页下页返回返回na111 )111()121)(111(!1 nnnnnL).11()121)(111()!1(1 nnnnnL)111(! 21 nnan11112! LL1212111 nL1213 n显然显然nnaa1, an是单调递增的，是单调递增的，3 an有上界有上界由单调有界准则，由单调有界准则， an存在极限存在极限.ennn )11(lim记为记为

8、e(2.718281828459045) LL1.4 1.4 极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限上页上页下页下页返回返回对函数极限也有类似结论对函数极限也有类似结论xxex1lim(1)ttxxtx)11(lim)1(lim10 ,1xt 令令. e xxxe10lim(1) 1.4 1.4 极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限上页上页下页下页返回返回例例4xxx2lim(1) .求求 解解xxx1lim 12 原式原式xxx221lim12 e2. 1.4 1.4 极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限上页上页下页下页返回返回例例5xxxx3lim() .2求求 解解xxx1lim(1)2 原式原式xxxx12211lim (1)(1)22 1.4 1.4 极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限ee111. 上页上页下页下页返回返回内容小结内容小结1.4 1.4 极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限1. .两个准则两个准则2. .两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .0sinlim1; e10lim(1).0,如果如果是自变量或函数，仍有是自变量或函数，仍有上页上页下页下