极限存在准则两个重要极限(11)课件

1、第六节第六节 极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限xAynznxn准则准则1:,满满足足下下列列条条件件若若数数列列nnnzyxnnnzxy )1(;limlim )2(Azynnnn .lim Axnn 则则);(0Nn ,1 AyNnn恒恒有有时时当当,max021NNNN 取取, AyAn,2 AzNnn恒恒有有时时当当, AzAn,成成立立即即 Axn.limAxnn 数列的极限存在准则数列的极限存在准则1可以推广到函数情形可以推广到函数情形:,恒有恒有时时则当则当Nn nnnzxy A, A证明证明,AzAynn, 0, 0, 021 NN :使得使得准则准则 1和和

2、准则准则1 称为称为夹逼准则夹逼准则.准则准则1:)(),(),(的附近满足下列条件的附近满足下列条件在在若若axhxgxf)()()( )1(xhxfxg ;)(lim)(lim )2(Axhxgaxax .)(lim Axfax 则则 0 x 0 x0 x)(xhy )(xgy )(xfy Ay Ay Ay);(的的附附近近在在a例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解, nxnnn 212 nnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼准则得：由夹逼准则得：原式原式=1.12111222nnnnxn 记记2. 单调有

3、界准则单调有界准则:nx对于数列对于数列,121 nnxxxx若若nx则称数列则称数列单调增加单调增加,121 nnxxxx若若nx则称数列则称数列单调减少单调减少x1x2x3x1 nxnx单调数列单调数列几何解释几何解释:M准则准则2 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.A（1）单调增加且有上界的数列必有极限；）单调增加且有上界的数列必有极限；（2）单调减少且有下界的数列必有极限）单调减少且有下界的数列必有极限.函数也有类似的单调有界准则函数也有类似的单调有界准则.例例2 2.,)(333并并求求出出此此极极限限的的极极限限存存在在重重根根式式证证明明数数列列nxn 解解,1nnxx

4、显然显然 ;是是单单调调增增加加的的即即数数列列nx, 331 x又又, 3 kx假假设设kkxx 31则则, 3 ,是是有有上上界界的的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,213121 AA解解得得(舍去舍去)，.2131lim nnx(1)1sinlim0 xxx,作一单位圆作一单位圆,OACOBA 得得、延延长长作作单单位位圆圆的的切切线线过过的面积的面积OAB 二、两个重要极限二、两个重要极限 xsin21 即即,tansin xxx oAxB)20(, xxAOB设设圆圆心心角角C;AB连结连结的面

5、积的面积扇形扇形OAB的的面面积积OAC x21,tan21x , 1sincos xxx.02也成立也成立此式对于此式对于 x ,20时时当当 xxcos10 2sin22x 2)2(2x 22x , 0, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx xsin21 即即,tansin xxx x21,tan21x 1sinlim0 xxx1sinlim 0,lim axax则则有有若若定定理理型型00 xxx3sinlim)1(0如：如：333sinlim0 xxx. 3 1)1sin(lim)2(1xxxuuusinlim0.

6、 1 练习练习 1)1sin(lim21xxx)1(1)1sin(lim221 xxxx. 2 例例3 3.21cos1lim20 xxx 求求解解0lim x原式原式22212sin2xx220)2(2sinlimxxx 20)22sin(limxxx . 1 ).0(3sin3lim,3sin2tanlim ,tanlim00 kkcxxbxxannnxx求求例例4 40lim xb132111 xxxaxcos1sinlim0 , 1 xx2sin2cos1 x2 x2x3x3sin x3.32 nclimnk3sin解解nk3k .1kk (2)e)11(lim xxxnnnx)11(

7、 knkknnC10 21! 2)1(1! 11nnnnn),11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( knkknnkP1!0 1nx).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 2111 nnnnnnnnnnn,1nnxx 显显然然 ;加加单单调调增增nx!1! 2111nxn )1(123112111 nnn13 , 3 ;有有上上界界数数列列nx,lim存存在在nnx ,)11(lim存存在在即即nnn e,)11(lim nnn记记.71828. 2e : 进进一一步步可可证证, e)11(lim xxx, e)11(lim xxxe.)11(lim xxxe)11 (lim xxx1型型e)11(lim ,lim axax则有则有若若定理定理e)1(lim , 0lim 1 axax则有则有若若定理定理e)1(lim10 xxx例例5 5.)11(lim3xxx 求求解解3)11(1limxxx 3)11(lim xxx原原式式.ee133 例例6 6.)23(lim2xxxx