理论力学选解3

1、理论力学习题选解(三)张志忠 张丽芳 翁国华 任俊士编著2001年9 月11-2小车以匀加速度a沿倾角为斜面向上运动，在小车的平顶上放一重P的物块，随车一同运动。问物块与小车间的摩擦系数f应为多少？PaPayFxN解：物块的受力如图所示，根据直角坐标形式的质点运动微分方程，可得11-13在曲柄滑道机构中，滑杆与活塞的质量为50kg，曲柄长30cm，绕O轴匀速转动，转速为n = 120 rpm。求当曲柄OA运动至水平向右及铅垂向上两位置时，作用在活塞上的气体压力。曲柄质量不计。AaaaearaeFOA解：一、加速度分析选取滑块A为动点，滑杆和活塞为动系，由加速度合成定理作出加速度矢量图。二、计算

2、气体压力当曲柄OA运动至水平向右位置时，= 00，根据直角坐标形式的质点运动微分方程， 当曲柄OA运动至铅垂向上两位置时，= 900，所以此时F = 0。11-6重为P的球用两根各长L的杆支承如图，球和杆一起以匀角速度绕铅垂轴AB转动。如AB = 2b，杆的两端均为铰接，不计杆重，求杆所受的力。PMSAMSBMayxAMB解：小球受力分析如图，对x、y轴写直角坐标形式的质点运动微分方程，11-9两物体各重P和G，用长为L的绳连接，此绳跨过一半径为r的滑轮，如开始时两物体的高差为h，且Q > P，不计滑轮与绳的质量；求由静止释放后，两物体达到相同高度时所需的时间。hrQOPaahrQOP解

3、：因为Q>P，所以重物Q将向下运动，而重物P则向上运动，由运动微分方程得11-12质量为m的质点受固定中心排斥力F = mr的作用，其中为常数，r为质点至固定中心的距离。在初瞬时，r0 = a，0 = 0。求质点经过路程s = a时的速度。解：根据质点的运动微分方程11-14重为P、初速为0的车厢沿平直轨道前进，受有与其速度的平方成正比的空气阻力，比例常数为k；假定摩擦阻力系数为f ，求车厢停止前所经过的路程。解：根据已知条件，阻力R = k2，摩擦力F = fP， 由质点的运动微分方程11-15在选矿机械中，两种不同矿物沿斜面滑下，在离开斜面B点时的速度分别为1= 1 m/s和2 =

4、2 m/s；已知h = 1 m，=300，求两种不同矿物落在CD所隔的距离s。yxDCABhs解：由质点的运动微分方程12-2质量1kg的物体以 4m/s的速度沿斜方向向固定面撞去，设物体弹回的速度仅改变了方向，未改变大小，且+= 900。求作用于物体上的总冲量的大小。1212解：根据冲量定理12-4一个重P的人手上拿着一个重p的物体，此人以与地平线成角的速度0向前跳去，当他到达最高点时将物体以相对速度u水平向后抛去。问由于物体的抛出，跳的距离增加了多少。解：一、由铅垂方向的动量定理，求出落地时间。二、再由水平方向的动量守恒，求人由于抛出物体而增加的水平速度。所以人由于抛出物体而增加的水平距离

5、为12-7胶带运输机沿水平方向运送原煤，其运煤量恒为20 kg / s，胶带速度为1.5 m / s，求在匀速传送时胶带作用于煤的总水平推力。解：煤运上胶带后的水平动量变化为所以传送时胶带作用于煤的总水平推力xyxOBAm2gm1gN12-8椭圆摆由一滑块A与小球B所构成。滑块的质量为m1，可沿光滑水平面滑动；小球的m2，用长为l的杆AB与滑块相连。在运动的初瞬时，杆与铅垂线的偏角为o，且无初速地释放。不计杆的质量，求滑块A的位移，用偏角表示。解：在运动的初瞬时，椭圆摆的质心坐标为当杆摆至角时，椭圆摆的质心坐标为因为椭圆摆最初是静止的，且x轴向无外力，由质心运动定理可得，所以滑块A的位移ABx

6、y（x,y）C（xc,y/2）NP12-9长为2l的均质杆AB，其一端B搁置在光滑水平面上，并与水平面成角。求当杆下落到水平面上时A点的轨迹方程。 解：杆在x方向无外力作用，且初始静止，由质心运动定理可得，所以A点的轨迹方程为12-10重为P的电机放在光滑的水平地基上，长为2l、重为p的均质杆的一端与电机的轴垂直地固结，另一端则焊上一重物Q。如电机转动的角速度为，求：（1）电机的水平运动；（2）如电机外壳用螺栓固定在基础上，则作用于螺栓的最大水平力为多少？t2lPQp解：（1）电机在x方向无外力作用，且初始静止，由质心运动定理可得，xc = 常量初始时， xc = 0在瞬时t，为保持质心的x坐

7、标不变，电机向左位移量为（2）当杆转到水平位置时，杆和球的加速度在水平方向的投影最大，则作用于螺栓的水平力亦最大，12-12重为P，长为2l的均质杆OA绕定轴O转动，设在图示瞬时的角速度为，角加速度为，求此时轴O对杆的约束反力。AOyxCaanXoYo解：在图示瞬时质心的加速度为由质心运动定理，可求轴O对杆的约束反力为12-5火箭铅垂向上发射，在地面的初速为零，其质量按规律m = moe -at变化，为常数，燃气喷出的相对速度r可视为不变。不计阻力，求火箭在燃烧阶段的运动规律。又设在to时燃料烧完，求该火箭上升的最大高度。解：一、求火箭在燃烧阶段的运动规律以地面为原点，取x轴铅垂向上，用变质量

8、质点的运动微分定理，有二、求火箭上升的最大高度 当t = t0时，燃料烧完。此时火箭速度 ，火箭高度 又火箭从燃料烧完到速度为零时所上升的高度 所以火箭上升的最大高度13-2 我国在1970年4月24日发射了第一颗人造卫星，地球中心是椭圆轨道的焦点之一，近地点为439km，远地点为2384km;如卫星在近地点的速度为 FV2V1R2384439OV1=8.12km/s,地球的半径为R=6370km，求卫星在远地点的速度V2。解：取卫星为研究对象，受地球引力F（向心力）作用，设卫星质量为m，在远地点的速度为V2。根据质点的动量矩守恒：13-3 重为P的小球系于细绳的一端，绳的另一端穿过光滑水平面

9、上的小孔O,令小球在此水平面上沿半径为r的圆周作匀速运动，其速度为V0。如将绳下拉，使圆周半径缩小为r/2，问此时小球的速度V1和绳的拉力各为多少？ TrMV0VOPNTMzO解：取小球为研究质点，受力分析：向心力T、重力P和法向约束力N13-4 均质水平圆盘重为P，半径为r，可绕通过其中心O的铅垂轴旋转。一重为Q的人按的规律沿盘缘行走。设开始时圆盘是静止的，求圆盘的角速度及角加速度。rOAB解：取圆盘与人为研究对象，受力和运动如图。rPQzXZABvavrve设圆盘的角速度为w，则：13-6 通风机的转动部分对于其转轴的转动惯量为J，以初角速度0转动。空气的阻力矩与角速度成正比，即M=,其中

10、为常数。问经过多少时间其角速度降低到初角速度的一半？又在此时间内共转过多少转？M解：取通风机的转动部分为研究质点系根据质点系的动量矩定理，G为通风机的转动部分对于其转轴的动量矩，在dt时间间隔内有：13-8 滑动重Q、半径为R，对转轴O的回转半径为；一绳绕在滑轮上，另端系一重为P的物体A；滑轮上作用一不变转矩M，忽略绳的质量，求重物A上升的加速度和绳的拉力。OMPXQYPTa解：取定滑轮与重物为研究质点系，受力如图。设圆盘角速度为，根据质点系的动量矩定理有：代入得以重物为研究对象13-11 圆轮A重P1、半径为r1，可绕OA杆的A端转动；圆轮B重P2、半径为r2，可绕其转轴转动。现将轮A放置在

11、轮B上，两轮开始接触时，轮A的角速度为1,轮B处于静止。放置后，轮A的重量由轮B支持。略去轴承的摩擦和杆OA的重量，两轮可视为匀质圆盘，并设两轮间的动摩擦系数为f，问自轮A放在轮B上起到两轮间没有滑动时止，经过多少时间？r2r1BAO解：取轮A、B为研究质点系（OA为二力杆），受力运动如图示：ANFP1XABN'YBF'XBP2BABA两轮间无滑动，即：。，根据动量矩定理有：13-12 匀质圆柱重P、半径为r,放置如图并给以初角速度0。设在A和B处的摩擦系数皆为f，问经过多少时间圆柱才静止？orBw0A解：取圆柱为研究质点系，受力和运动如图示：FAONAFBNBP根据动量矩定理

12、有：根据质心运动定理知：oBAhCPEDP13-14 为求物体对于通过其质心C之轴AB的转动惯量，用两杆AD及BE和这物体固接，并籍两杆将物体活动地挂在水平轴DE上，轴AB平行于DE，然后使物体绕DE轴做微小摆动，测出摆动周期T；如物体的重量为P，轴AB和DE之间的距离为h，杆AD及BE的质量忽略不记，求物体的转动惯量。解：取物体C为研究质点系，根据平行移轴定理有：由例题13-1知：14-1 一弹簧振子沿倾角为的斜面滑动，已知物体重P，弹簧刚性系数为c，动摩擦系数为f'求从弹簧原长压缩s的路程中力的全功及从压缩s再回弹的过程中力的全功。l0s解：以物体为研究对象，其受力分析如图.RPN

13、F(1) 弹簧压缩s力的全功为：（2）再回弹14-2 一纯滚圆轮重P,半径为R和r，拉力T与水平成角，轮与支撑水平面间的静摩擦系数为f，滚动摩擦系数为；求轮心C移动s过程中力的全功。TCRPr解：以圆轮为研究对象，其受力分析如图.圆轮作纯滚动，N与F不做功。TCNPFM在轮心C移动s的过程中，力的全功为：rMABPOBPNRF向14-5 质量为m=5kg的重物系于弹簧上，沿半径r=20cm的光滑圆环自A点静止滑下，弹簧的原长OA=20cm。欲使重物在B点时对圆环的压力等于零，则弹簧的刚性系数应为多大？解：以重物为研究质点，其在B点的受力分析如图。若使重物在B点时N=0,设弹簧刚性系数为c，从A

14、到B,根据质点的动能定理知：代入F向,可得：14-6质量5kg的滑块可沿铅垂导杆滑动，同时系在绕过滑轮的绳的一端。绳的另一端使力F=300N,使滑块由图示位置自静止开始运动。不记滑轮尺寸，求下列两种情况下滑块到B点时的速度：（1）不记导杆摩擦；（2）滑块与导杆间的动擦系数f=0.10。BA0.4m0.3mBFFfTNAGx解：以滑块为研究质点，其受力分析如图，应用动能定理。(1) 不计Ff时动能的变化量为：(2) 计Ff时14-8 滑轮重Q、半径为R，对转轴O的回转半径为，一绳绕在滑轮上，绳的另一端系一重P的物体A，滑轮上作用一不变转矩M，使系统由静止而运动；不记绳的质量，求重物上升距离为s时

15、的速度及加速度。MAMQAXYv解：以重物与滑块为研究质点系，受力如图示。设重物上升距离为s时的速度为v.初始终了作功应用动能定理,注意：14-12 图示滑道连杆机构，位于水平面内。曲柄长r，对转轴的转动惯量为J，滑道连杆重P，连杆与导轨间的摩擦力可认为等于常值F；滑块A的质量不记。今在曲柄上作用一不变转矩M，初瞬时系统处于静止，且AOB=0，求曲柄转一周后的角速度。0AOMBCXC解：以曲柄与连杆为研究质点系，受主动力如图示（重力垂直纸面）。初始转一周后作功应用动能定理14-13 图示滑道连杆机构，位于水平面内。曲柄重P、长为r，连杆重Q、长为l，滑块重G，曲柄及连杆可视为匀质细长杆。今在曲

16、柄上作用一不变转矩M，当BOA=900时A点的速度为u，求当曲柄转至水平位置时A点的速度。OAuBMQ解：以曲柄与连杆、滑块为研究质点系，受主动力如图示（重力垂直纸面）。设曲柄转至水平位置时，A点速度为V.初始：终了应用动能定理，（机构处于水平面内，重力不作功）14-14 图示行星齿轮机构位于水平面内。动齿轮A重P、长为r，可视为匀质圆盘；系杆重Q,可视为匀质细长杆;定齿轮半径为R。今在曲柄上作用一不变转矩M使轮系由静止而运动，求系杆的角速度与其转角的关系。rOAMR解：以动齿轮与杆系为研究质点系，受主动力如图示（重力垂直纸面）。设瞬时系杆的角速度为。初始：终了：主动力的全功：应用动能定理：1

17、4-15 匀质细杆重Q、长为l，上端B靠在光滑的墙上，下端A以铰链和一匀质圆柱的中心相连。圆柱重P、半径为R，放在粗糙的地面上，从图示位置（=45）由静止开始作纯滚动。求A点在初瞬时的加速度。ABNAABFQNBCP解：以圆柱与细杆为研究质点系。圆柱作纯滚动，可忽略滚动摩擦力偶的影响，只有重力Q作功；细杆作平面运动。受力分析如图，C为AB的瞬心，设A点的瞬时速度为V，为圆柱转动的角度。初始：终了：主动力的全功：应用动能定理。注意：初瞬时，=450，=0，代入加速度公式可得：15-1 提升矿石用的传送带与水平成倾角。设传送带以匀加速度a运动，为保持矿石不在带上滑动，求所需的摩擦系数。aMNGQF

18、解：取矿石m为研究质点，其受力分析如图所示，Q为虚拟惯性力，根据矿石的动平衡方程知：15-3 矿车重P以速度v沿倾角为的斜坡匀速下降，运动总阻力系数为f，尺寸如图；不记轮对的转动惯量，求钢丝绳的拉力。h当制动时，矿车作匀减速运动，制动时间为t，求此时钢丝绳的拉力和轨道法向反力。b/2vABdhb/2CTCNAPQFNBaxy解：取矿车为研究质点，其受力分析如图所示，Q为虚拟惯性力。（1） 匀速下降，Q=0（2） 匀减速运动制动时间为t，作匀减速运动，加速度方向与V相反，且：AODBCXCNNoQXCFP15-6 图示凸轮导板机构，偏心轮绕O轴以匀角速度转动，偏心距OA=e，当导板CD在最低位置

19、时，弹簧的压缩为b，导板重为P。为使导板在运动过程中始终不离开偏心轮，则弹簧的刚性系数c应为多少？解：考虑OA与水平线夹角为时的情况。以导板为研究质点，其受力分析如图所示，Q为虚拟惯性力。弹力.导板与偏心轮不脱离，两者沿y向的加速度相同，惯性力是根据导板的动平衡条件：15-9 各长为l、重为P的两匀质杆OA与OB，一端用铰链固定在铅垂轴上的O点，另一端用水平绳连在轴上的D处，杆与轴的夹角为。今AOB随轴OD以匀角速度转动，求绳的拉力及铰链O对OB的约束反力。ABDOTY0X0QPxyan解：由于结构对称，绳AD、DB的拉力大小相等。以OB为研究质点，其受力分析如图所示，Q为虚拟惯性力，。根据动

20、平衡条件：15-10 匀质圆柱重P、半径为R，在常力T作用下沿水平面纯滚，求轮心的加速度及地面的约束反力。OTP解：以圆柱为研究质点，其受力分析如图所示，MQ与Q为虚拟惯性力和力偶，OTPGMQNFa不计滚阻M，根据动平衡条件：15-11 绕线轮重P、半径为R及r，对质心C的转动惯量JC，在与水平成角的常力T作用下纯滚，求：（1）轮心的加速度，并分析运动；（2）纯滚条件。PCRrT解：以绕线轮为研究对象，其受力分析如图所示，MQ与Q为虚拟惯性力和力偶。QPCMQTNFac（1）轮心的加速度ac根据动平衡条件知：讨论，可知轮的运动情况（加速、减速、匀速）。（2）纯滚时，动平衡方程：15-14 重为P1重物A沿斜面D下降，同时籍绕过滑轮C的绳使重为P2的重物上升，斜面与水平成角；不记滑轮和绳的质量及摩擦，求斜面D给地板E突出部分的水平压力。P2QBNAQAP1CBADEN1NP2QBQAP1TTaa解：先以A、B为研究质点系，设重物的加速度为a，其受力分析如图,惯性力为。根据其动平衡条件：上式可求得重物的加速度,再以整体为研究质点系，其受力分析如图，列动平衡方程16-2 在曲柄式压榨机的中间铰链B上作用水平力P,如AB=BC，ABC=2；求在图示平衡位置时，压榨机对于物