平面曲线的弧长(4)课件

1、平面曲线的弧长平面曲线的弧长xoy0MA nMB 1M2M1 nM设设A、B是是曲曲线线弧弧上上的的两两个个端端点点，在在弧弧上上插插入入分分点点BMMMMMAnni ,110并并依依次次连连接接相相邻邻分分点点得得一一内内接接折折线线，当当分分点点的的数数目目无无限限增增加加且且每每个个小小弧弧段段都都缩缩向向一一点点时时，此此折折线线的的长长|11 niiiMM的的极极限限存存在在，则则称称此此极极限限为为曲曲线线弧弧AB的的弧弧长长.一、平面曲线弧长的概念一、平面曲线弧长的概念 设曲线弧为设曲线弧为)(xfy )(bxa ，其中，其中)(xf在在,ba上有一阶连续导数上有一阶连续导数xo

2、yabxdxx 取积分变量为取积分变量为x, 在在,ba上任取小区间上任取小区间,dxxx ， 以对应小切线段的长代替小弧段的长以对应小切线段的长代替小弧段的长 dy小小切切线线段段的的长长22)()(dydx dxy21 弧长微元弧长微元dxyds21 弧长弧长.12dxysba 二、直角坐标情形二、直角坐标情形弧微分弧微分)(xfy 例例 1 1 计计算算曲曲线线2332xy 上上相相应应于于 x从从 a到到 b的的一一段段弧弧的的长长度度. 解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧长为所求弧长为dxxsba 1.)1()1(322323ab ab例例 2 2 计计算算曲

3、曲线线 dnynx 0sin的的弧弧长长)0( nx.解解nnxny1sin ,sinnx dxysba 21dxnxn 0sin1ntx ndtt 0sin1dtttttn 0222cos2sin22cos2sindtttn 02cos2sin.4n 曲线弧为曲线弧为,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数.22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧长弧长.)()(22dttts 三、参数方程情形三、参数方程情形例例 3 3 求星形线求星形线323232ayx )0( a的全长的全长.解解 星形线的参数方程为星

4、形线的参数方程为 taytax33sincos)20( t根据对称性根据对称性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a 例例 4 4 证证明明正正弦弦线线xaysin )20( x的的弧弧长长等等于于椭椭圆圆 taytxsin1cos2 )20( t的的周周长长.证证设正弦线的弧长等于设正弦线的弧长等于1sdxys 20211dxxa 2022cos1设设椭椭圆圆的的周周长长为为 2s ,cos12022dxxa ,20222dtyxs 根据椭圆的对称性知根据椭圆的对称性知 dttats 02222cos1sin2dxxa 022cos12,1s 故原结论成立故原结

5、论成立.dtta 022cos12曲线弧为曲线弧为)( )( rr 其其中中)( 在在, 上上具具有有连连续续导导数数. sin)(cos)(ryrx)( 22)()(dydxds ,)()(22 drr 弧长弧长.)()(22 drrs 四、极坐标情形四、极坐标情形例例 5 5 求求极极坐坐标标系系下下曲曲线线33sin ar的的长长. .)0( a解解 drrs )()(22313cos3sin32 ar,3cos3sin2 a.23a daa242623cos3sin3sin 30 d23sin 30a 0()3 例例 6 6 求求阿阿基基米米德德螺螺线线 ar )0( a上上相相应应于

6、于 从从0到到 2的的弧弧长长.解解,ar drrs )()(22 .)412ln(412222 a 20 daa222 20a d12 平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下极坐标系下弧微分的概念弧微分的概念求弧长的公式求弧长的公式 五、小结五、小结思考题思考题 闭闭区区间间,ba上上的的连连续续曲曲线线)(xfy 是是否否一一定定可可求求长长？思考题解答思考题解答不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长曲线光滑才可求长一、一、 填空题：填空题：1 1、 曲线曲线xyln 上相应于上相

7、应于83 x的一段弧长为的一段弧长为_；2 2、 渐伸线渐伸线)sin(costttax ，)cos(sintttay 上相应于上相应于变变到到从从 0t 的一段弧长为的一段弧长为_；3 3、 曲 线曲 线1 r自自43 至至34 一 段 弧 长 为一 段 弧 长 为_ . .二、二、 计算半立方抛物线计算半立方抛物线32)1(32 xy被抛物线被抛物线32xy 截得的一段弧的长度截得的一段弧的长度 . .三、三、 计算星形线计算星形线tax3cos ，tay3sin 的全长的全长 . .练练 习习 题题四四、 求求心心形形线线)cos1( ar的的全全长长. .五五、 证证明明：曲曲线线xysin )20( x的的弧弧长长等等于于椭椭圆圆2222 yx的的周周长长. .六六、 在在摆摆线线),sin(ttax )cos1(tay 上上求求分分摆摆线线第第一一拱拱成成3:1的的点点的的坐坐标标.