平面向量的数量积与运算律课件

1、sF 一个物体在力一个物体在力F 的作用下产生位的作用下产生位移移s，那么力，那么力F 所做的功应当怎样计所做的功应当怎样计算？算？其中力其中力F 和位移和位移s 是向量，功是数量是向量，功是数量.| s|F|W cos 是是F的方向的方向 与与s的方向的方向 的夹角。的夹角。两向量的夹角范围是两向量的夹角范围是0, 两个非零向量两个非零向量a 和和b ，在平面上任取一点，在平面上任取一点O ，作作 ， ,则则叫做向量叫做向量a 和和b 的夹角的夹角 AOB)1800( OB =bOA= aba 记作记作90 当当 ，a 与与b 垂直，垂直，当当 ，a 与与b 同向，同向，0 当当 ，a 与与

2、b 反向反向180 AOBOABBab AOOAB 在在 中，找出下列向量的夹角：中，找出下列向量的夹角： ABCABC(1);ABAC与(2);ABC与B(3)ACC与B 。 cos|baba 已知两个非零向量已知两个非零向量a 和和b ，它们的夹角为，它们的夹角为 ，我们把数量，我们把数量 叫做叫做a 与与b 的数量积（或内积），记作的数量积（或内积），记作a b ，即，即 cos|ba规定：零向量与任意向量的数量积为规定：零向量与任意向量的数量积为0，即即 0 0a提问提问： a bababABC60。CAB60。5824-20D（1）已知）已知 |p| =8,|q| =6, p和和q

3、的夹角是的夹角是 ，求，求p q60。（2）已知）已知 中，中， =5,b =8,C= ,求求BC CAaOABab 1BbOBaOA ，作作，过点，过点B作作1BB垂直于直线垂直于直线OA，垂足为，垂足为 ，则，则1B 1OB| b | coscosa bab平面向量的数量积的几何意义是平面向量的数量积的几何意义是: a 的长度的长度 |a|与与 b 在在 a 的方向的方向 上的数量上的数量 |b|cos 的乘积的乘积 ，| b | cos叫向量叫向量 b 在在 a 方向上的正射影、数量方向上的正射影、数量1OB1、已知、已知 ， 为单位向量，当它们的夹角为为单位向量，当它们的夹角为 时，时

4、，求求 在在 方向上的数量及方向上的数量及 ； 8a e3aea eea、2、已知 ， ， 与 的交角为 ，则2a 3b ab90oa b；m4、已知 ， ，且 ，则 与 的夹角为 3m 4n 6m nn；3、若 ， ， 共线，则1a 3b ab、a b.（1 1）e a=a e=| a | cos （2 2）ab a b=0 ( (判断两向量垂直的依据判断两向量垂直的依据) ) （3 3）当当a 与与b b 同向时，同向时，a b =| a | | b |，当，当a 与与b 反向反向时，时， a b = -| a | | b | 特别地特别地22aaaaa或 4cosa ba b403或或3

5、60o( a / b a b=|a| |b| )5. a ba b与的大小关系如何？（1 1）e a=a e=| a | cos （2 2）ab a b=0 ( (判断两向量垂直的依据判断两向量垂直的依据) ) （3 3）当当a 与与b b 同向时，同向时，a b =| a | | b |，当，当a 与与b 反向反向时，时， a b = -| a | | b | 特别地特别地22aaaaa或 4cosa ba b( a / b a b=|a| |b| )(5) a ba b例例2 ABC已知已知 中，中，CB= a ,CA= b ,a b0,5,3,5,2ADBCab为边上的高，且 ADab求

6、 与 的夹角。ABCD解：解：设 与 的夹角为 ab1sin2ADADACb又0a bcos0a ba b为钝角则可作图如右：BCA即：为钝角150o0,（1）在四边形）在四边形ABCD中，中，AB BC=0，且，且AB=DC则四边形则四边形ABCD是（是（ ）A 梯形梯形 B 菱形菱形 C 矩形矩形 D 正方形正方形（3）在）在 中，已知中，已知|AB|=|AC|=1，且，且ABCAB AC= ，则这个三角形的形状是，则这个三角形的形状是12C1等边三角形等边三角形（2）已知向量）已知向量 a , b 共线，且共线，且 |a| =2|b|则则a与与b间的夹角的余弦值是间的夹角的余弦值是 。总

7、结提炼总结提炼1、向量的数量积的物理模型是力的做功；、向量的数量积的物理模型是力的做功； 4、两向量的夹角范围是、两向量的夹角范围是0, 5、掌握五条重要性质：、掌握五条重要性质：平面向量的数量积的几何意义是平面向量的数量积的几何意义是: a 的长度的长度 |a|与与 b 在在 a 的方向的方向 上的数量上的数量 |b|cos 的乘积的乘积2、a b的结果是一个实数，它是标量不是向量。的结果是一个实数，它是标量不是向量。3、利用、利用 a b= |a| |b|cos 可求两向量的夹角，可求两向量的夹角， 尤其尤其 是判定垂直。是判定垂直。判断下列各题是否正确：判断下列各题是否正确：（2）、若

8、， ，则0a 0a b0b （3）、若 ， ，则0a a bbcac(1)、若 ，则任一向量 ，有0a b0a b（4）、/a ba bab分配律的证明：aAcBCb1AB1Oabc ().abca cb c r rr rr rr r r rr r r r 在实数中，有在实数中，有(a b)c = a(b c)，向量，向量中是否也有中是否也有 ? 为什么为什么?答：没有答：没有.()()a bcab c 因为右端是与因为右端是与 共线的向量，而共线的向量，而左端是与左端是与 共线的向量，但一般共线的向量，但一般 与与 不共线不共线 a c c a 所以，向量的数量积不满足结合律所以，向量的数量

9、积不满足结合律所以，向量的数量积不满足消去律所以，向量的数量积不满足消去律 在实数中，在实数中，若若a b = a c且且a 0，则，则b = c向量中是否也有向量中是否也有“若若 ，则，则 ”成立呢成立呢 ? 为什么为什么?(0)a ba c a bc OababABC222(1) ()2;abaa bb 22(2) ().ababab （2(1) () ()ababab （)()abaabb （22ab aa bb (2) ()()()abababaabb （例例1 求证：求证：证明：证明：22ab aa bb 22.ab 222.aa bb 2221(3)(|()| ).2a babab

10、 (3) 与与 所成角的余弦值所成角的余弦值 例例2 已知已知| | = 6，| | = 4， 与与 的夹角为的夹角为60 ，求：，求：a b 解：解：(1)b a (1) (2 ) (3 );abab ab (2 ) (3 )abab 6a aa bb b 22|6 |aa bb 22664cos6064 = 72.a |ab (2)222|2abaa bb (2)226264cos604 = 76.|2 19.ab abba bbabba )(cos 则则( )abba bb b 287 19 cos.382 194 2|cos60|28,abb 注：注：与多项式求值一样，先化简，与多项式

11、求值一样，先化简，再代入求值再代入求值(2): bab 如如图图设设与与的的夹夹角角为为(3) 例例3 已知已知| | = 3, | | = 4, 且且 与与 不共线不共线, 当且仅当当且仅当k为何值时为何值时, 向量向量 +k与与 k 互相垂直互相垂直?a b a b a b a b () ()0,akbakbakbakb与与互互相相垂垂直直的的充充要要件件是是22229,16,aabb29160k ，.akbakb3 3所所以以当当且且仅仅当当k=时k=时，与与互互相相垂垂直直4 4解：解：2220,ak b即即3.4k 解解得得 1. 小结：小结： 2. 向量运算不能照搬实数运算律，向量运算不能照搬实数运算律，交换律、数乘结合律、分配率成立；交换律、数乘结合律、分配率成立；向量结合律、消去律不成立。向量结合律、消去律不成立。 3. 向量的主要应用