导数题型分类大全

1、导数题型分类一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。二、热点题型分析题型一：导数的定义及计算解:limt oa处的导数为A,求limt of a 4t f a 5tf a 4t f a 5ttlimt of a 5t f a 4tt2 .求y 在点x 3处的导数。 x2 31 323 .若函数 f(x)满足，f(x) -x2x ax (a 6)x 1有极大值和极小值，则实数v-3 或 a>6 C.-3 vav6 D.a v-1 或 a>2题型三：利用导数几何意义及求切线方程1

2、.曲线y 4x x3在点1, 3处的切线方程是 2.若曲线f(x)x x在P点处的切线平行于直线 f (1) x2 x,则 f(1)的值 034 .设曲线y eax在点1)处的切线与直线x 2y 1 0垂直，则a .5 .利用导数求和：Sn=1+2x+3xA2+.+nxAn-1,(x 不等于0且不等于1) =题型二：利用导数研究函数的极值、最值。1 . f(x) x3 3x2 2在区间1,1上的最大值是22_2 .已知函数y f(x)x(x c)在x 2处有极大值，则常数c=63 .5.已知函数f (x)a的取值范围是(A.-1vav2B.a3x y 0,则P点的坐标为 (1, 0)3.函数y

3、 1 3x X有极小值1 ,极大值 343.若曲线y x的一条切线l与直线x 4y8 0垂直，则l的方程为4X y 3 04.求下列直线的方程：(注意解的个数)32.(1)曲线y x x 1在P(-1,1)处的切线;(2)曲线过点P(3,5)的切线;解.(1) 点P( 1,1)在曲线 y x3 x2 1上， y/23x2 2x k|x1 3-21所以切线方程为y 1 x 1 ,即x y 2(2)显然点P(3,5)不在曲线上，所以可设切点为 A(x0，y0)，则y02X0又函数的导数为y/ 2x所以过A(xo,yo)点的切线的斜率为k y/|x x0 2x0,又切线过A(Xo，yo)、P(3,5

4、)点所以有2x° 2x0 3，由联立方程组得,x01 或 x05yo 1 - yo 25,即切点为(1, 1)时，切线斜率为k1 2x0 2;当切点为(5, 25)时，切线斜率为k2 2x010 ；所以所求的切线有两条，方程分另IJ为 y 1 2(x 1)或y 25 10(x 5),即y 2x 1 或y 10x 256 .设P为曲线C: y=x2+2x+3上的点，且曲线 则点P横坐标的取值范围为()A. -1, -11B. -1,07 .下列函数中，在(A.y=sinx B. TTC在点P处切线倾斜角的取值范围为0 , 1,C. 0,1D. 2，10, +°0)上为增函数的

5、是()x3y xeC. y x x D.y=ln(1+x) x8.设f(x),g(x)是 R 上 的可导 函数，f (x),g (x)分别 为f(x),g(x)的导数，且f (x)g(x) f (x)g (x)0 ,则当a<x<b时，有(A.f(x)g(b)>f(b)g(x)C.f(x)g(a)>f(a)g(x)B.f(x)g(x)>f(b)g(b)D.f(x)g(x)>f(b)g(a)10.(本题12分)已知函数f (x)ex ax 1,求f(x)的单调增区间题型四：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1.已知函数f(x) x2 2ax a在区间(一

6、76;°, 1)上有最小值，则函数g(x)f(x)在区间(1, x+ 8)上一定()A.有最小值B.有最大值C. 是减函数D.是增函数2 .已知函数f(x) ax3 bx2 3x在x 1处取得极值，求过点 A(0, 16)作曲线y=f(x)的切 线，求该切线的方程.3 .已知函数f (x) xln x(1)求f(x)的最小值(2)若对所有x>1都有f(x) >ax-1,求a的取值范围.124.已知函数f (x) x ln x,其中a为大于零的常数. 2a(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间和极值(2)当x 1,2时，不等式f(x) 2恒成立，求a的取值范围-.、32

7、5 .已知函数f(x) x ax bx c,过曲线y f (x)上的点P(1, f (明的切线方程为y=3x+1(I)若函数f(x)在x2处有极值，求f(x)的表达式；(n)在(I)的条件下，求函数 y f(x)在3, 1上的最大值；(出)若函数y f(x)在区间2, 1上单调递增，求实数 b的取值范围解.(1)由 f (x) x3 ax2 bx c,求导数得 f (x) 3x2 2ax b.过y f (x)上点P(1,f (1)的切线方程为： y f (1) f (1)(x 1),即 y (a b c 1) (3 2a b)(x 1).而过y f (x)上P1, f(1)的切线方程为y 3x

8、 1.3 2a b 3即 2ab 0a c 3. y 川在*2时有极值，故f ( 2) 0, 4ab 12 由得 a=2 , b=- 4, c=5f (x) x3 2x2 4x 5.3 x2时，f(x) 0;当 22当工x 1时，f(x) 0. f(x)极大 32一， 一x 时，f(x) 0;3f(2) 13 又 f 4,2(3) y=f(x)在2, 1上单调递增，又 f (x) 3x 2axf(x)在3, 1上最大值是13。b，由知2a+b=0。依题意 f (x)在2, 1上恒有 f (x) >0,即 3x2 bx b 0.bx 1 时，f(x)min f (1) 3 b b 0, b

9、 6当 6bx2日t f (x)min f ( 2) 12 2b b 0, b当 66 g12b b2加2 1 时，f(x)min 0,则0 b 6.当 b12综上所述，参数b的取值范围是0，)32,6,已知三次函数f(x) x ax bx c在x 1和x1时取极值，且f( 2)4.(1)求函数y f(x)的表达式;(2)求函数y f(x)的单调区间和极值; 若函数g(x) f(x m) 4m(m 0)在区间m 3,n上的值域为 4,16,试求m、n应满足的条件.解：f (x) 3x2 2ax b由题意得，1, 1是3x2 2ax b 0的两个根，解得，a 0, b 33再由 f( 2)4 可

10、彳导 c 2 , f (x) x 3x 2(2)f (x) 3x23 3(x 1)(x 1)当 x 1 时，f (x) 0 ；当 x1 时，f(x) 0;当 1 x 1 时，f (x) 0 ；当 x 1 时，f (x) 0 ；当x 1时，f (x) 0. .函数f(x)在区间(，1上是增函数;在区间 1,1上是减函数；在区间1,)上是增函数.函数f(x)的极大值是f( 1) 0,极小值是f(1)4.(3)函数g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移 m个单位，向上平移 4m个单位得到的，所以，函数f(x)在区间 3,n m上的值域为 4 4m,16 4ml (m 0).而 f( 3)20 ,4

11、 4m 20 ,即 m 4 .于是，函数f(x)在区间 3,n 4上的值域为 20,0.令f(x) 0得x 1或x 2,由f(x)的单调性知，1制n 4 2,即3刑n 6综上所述，m、n应满足的条件是：m 4,且3刑n 6.1 a7 .已知函数 f(x) x alnx , g(x) ,(a R).x(n)设函数h(x) f(x) g(x),求函数h(x)的单调区间；(出)若在1,e上存在一点xo,使得f(xo)g(xo)成立，求a的取值范围8 .设函数 f(x) x(x a)(x b).(1)若f(x)的图象与直线5x y 8 0相切，切点横坐标为2 ,且f(x)在x 1处取极值， 求实数a,

12、b的值；(2)当b=1时，试证明：不论 a取何实数，函数f (x)总有两个不同的极值点.2解：(1)f (x) 3x 2(a b)x ab.由题意f (2)5, f0,代入上式，解之得：a=1, b=1.(2)当b=1时，令f 0得方程3x2 2(a 1)x a 0.2因 4(a a 1) 0,故万程有两个不同实根 x1,x2 .''.、不妨设x1 x2,由f (x) 3(x x1)(x x2)可判断f (x)的符号如下：当 x x1 时，f (x) > 0 ；当 x1x x2时，f (x) v 0 ；当 x x2时，f (x) > 0因此x1是极大值点，x2是极小

13、值点.，当b=1时，不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的 极值点。题型五：利用导数研究函数的图象1 .如右图：是f (x)的导函数，f/(x)的图象如右图所示，则 f (x)的图象只可能是(D(A)(B)(Q(D)y x3 4x 1的图像为2.函数 3( A )3方程2x3 6x2 7 0在(0,2)内根的个数为A、 0 B 、 1 C 、 2题型六：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围-1322f(x) x 2ax 3a x b,0 a 1.1.设函数3(1)求函数f(x)的单调区间、极值.(2)若当x a1,a2时，恒有1f (x) | a ,试确定a的取值范围.解：(1) f

14、 (x)22x 4ax 3a = (x 3a)(x a) 令 f (x) 0得 %a, x23a列表如下：xJ00, a) a(a, 3a)3a(3a, +00)f (x)-0+0f(x) 极小 Z极大 f(x)在(a, 3a)上单调递增，在(-8, a)和(3a, +OO)上单调递减f极小(x)x a时，b -a33, x3a时，f极小(x)2_4ax 3a . . 0a 1, 对称轴x 2a a 1. f (x)在a+1,a+2上单调递减fMax (a21)2 4a(a 1)23a 2a 1 电(a 2)2 4a(a2) 3a2 4a 4依题1f (x) | fmin | a 即 12a1

15、| a,14a 4|4- a解得51，又 0 a 1，a的取值范围是41)2.已知函数f (x) = x3+ ax2 + bx+ c在x= 3与x= 1时都取得极值(1)求a、b的值与函数f (x)的单调区间若对x 1,2，不等式f解：(1) f (x) =x3 + ax2+bx+c(x) c2恒成立，求c的取值范围。 f (x) = 3x2+ 2ax+ b212由£ (3)=94,八a+ b = 03，f (1) = 3+ 2a+b = 0得a=2b= 2x2(一,-3)232(-3,1)1(1, + )f (x)十0一0十f (x)极大值极小值f (x) =3x2 x2= (3x

16、 + 2) (x1),函数f (x)的单调区间如下表:所以函数f (x)的递增区间是(一23)与(1, 十 ),递减区间是23, 1)12(2) f (x) = x3 2 x2 2x + c, x 一 1, 2，当 x= - 3 时，f (x)22=27+c为极大值，而f (2) =2+c,则 要使 f (x) c2 (x 1, 2)f (2) = 2+c为最大值。恒成立，只需c2 f (2) =2+c,解得题型七：利用导数研究方程的根v -1.已知平面向量a=( v3 , - 1).v b=(2, 2).v uv v v(1)若存在不同时为零的实数k和t ,使x = a+(t2 3) b ,

17、 y =-k a +t b试求函数关系式k=f；v V 解：(1) X，y ,(2)据(1)的结论，讨论关于t的方程f 一k=0的解的情况.(-k a +t b )=0.V V VVx y =0即a +(t2-3)b V2V VV2整理后得-k a +t-k(t2-3)a b + (t2- 3) b =01V VV2V2a b=0, a =4, b =1, .上式化为-4k+t(t2-3)=0,即 k= 4 t(t2-3)(2)讨论方程14 t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线1f(t)=4 推2-3)与直线y=k的交点个33于是 f' (t)=4(t2-1)=4 (t+1)

18、(t-1).令f' (t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f' (t)、f(t)的变化情况如下表:t(- oo , -1)-1(-1,1)1(1,+ 8)f' (t)+0-0+F(t)极大值极小值1当t= 1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=2 .1当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=-21函数 他)=4 t(t2-3)的图象如图1321所示,可观察出：11当k> 2或kv 2时，方程f(t) -k=0有且只有一解;11(2)当k= 2或k= 2时，方程f(t) k=0有两解;1 1(3)当一2 v kv 2时，方程f(t) k=0有三解

19、.2.已知函数f(x) kx3 3(k 1)x2 2k2 4,若f (x)的单调减区间为(0,4)(I)求k的值； 2_ (II)若对任意的t 1,1,关于x的万程2x 5x a f(t)总有实数解，求实数a的取值 范围。1 4分t 1时f (t) 08a 25 a 82解：(I) f (x) 3kx 6(k 1)x 又 f (4) 0, k2(II) f (t) 3t 12t1 t0日if (t) 0;02且 f( 1)5, f (1)3, f (t)5 2x 5x8a 25155tH导 a一 12 分88题型八：导数与不等式的综合1,设a 0,函数f(x) x3 ax在1,)上是单调函数.

20、(1)求实数a的取值范围；设 x0., f(x).，且 9两)丸,求证：f(x0) x0. 22解：(1) y f (x) 3x a,若f(x)在1,上是单调递减函数，则须y 0,即a 3x ,这样的实数a不存在.故f (x)在1,上不可能是单调递减函数.若f(x)在1,上是单调递增函数，则aw 3x2,2由于x 1,，故3x3.从而0<a< 3.(2)方法1、可知f (x)在1, 上只能为单调增函数.若1 w x0 f (x0),则 f (x0 ) f ( f (x0 ) x0矛盾，若 1 w f (x0) x0 ,则 f ( f (x0) f (x0 ),即 x0 f (x0

21、)矛盾 故 只有f(x0) x0成立.3ax0 u,u aux0,两式相减得2u1a)0, x0、,0 > 1,u >1,1 a 03 方法 2 设 f(x0) u，则f(u) x0x0,332(x0 u ) a(x0 u) u x0(x0 u)(x° x°u2222x0 x0u u 3,又 0 a 3x0x0u u,23f (x) (x -)(x a)2 .已知a为实数，函数2(1)若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求 a的取值范围若f'( D 0, (I)求函数f(x)的单调区间(n)证明对任意的x1、x2( 1，0),不等式I f(xi)f

22、 (x2) |16恒成立3233Q f (x) x ax - x a f '(x) 解：22,3x22ax 3 2函数f (x)的图象有与x轴平行的切线,f'(x)0有实数解4a20 a292 ,所以a的取值范围是f'( 1) 02af'(x)3x213(x 2)(x 1)f'(x) 0,xf'(x)0, 1 xf(x)的单调递增区间是,1),(12,)；单调减区间为1,f(易知f(x)的最大值为1)25f(x)f(的极小值为12)491627f(0) ，又8Mf(x)在1,0上的最大值2749m 一8 ,最小值 16对任意x1, x2( 1,0

23、),恒有I f(x1) f(x2)| M2784916516a3 .已知函数f (x) ln x 一 x当a 0时，判断f (x)在定义域上的单调性；(2)若f (x)在1,e上的最小值是3求a的值;2设 g(x) ln x a ,若 g(x)2 一 . 一x在(0,e上恒成立，求a的取值范围.题型九：导数在实际中的应用1.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点解：设 OOx m ,则 1 x 4。到底面中心o1的距离为多少时，帐篷的体积最大?由题设可得正六棱锥底面边长为：G (x 1)2 48 2x x2 ,(单

24、位:m)故底面正六边形的面积为:公3 ,6 彳(.18 2x x2)2 =3.3(8 2xx2)(单位:帐篷的体积为:V (x)3-3(8 2x x2)1(x 1) 1 23(1612xx3)(单位:V'(x)求导得3 - (1223x2)o令 V'(x)解得x(不合题意，舍去)，x 2,2时，V'(x)V(X)为增函数;4时，V'(x)V (x)为减函数。2时，V (x)最大。答：当OO1为2 m时，帐篷的体积最大，最大体积为16丁32.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为:133x - x128000808(0x 120).已知甲、乙两地相距 100千米。(I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(II )当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升?解：(I)当x 40时,100汽车从甲地到乙地行驶了402.5小时,要耗没(128000403 40 8) 2.5 17.580