第四章：理想流体动力学

1、第四章 理想流体动力学课堂提问：支持飞机升空，机翼的升力是怎么产生的？ 为什么在江河、海洋中游泳时不能在靠近船坞等岸边建筑物附近下水？本章从力学的角度来研究理想流体的运动， 虽然工程技术中的实际流体并不是理想流体，工程中很多情况下流体的粘性力和其它力相比作用很小，理想流体的运动规律句有指导意义和实际意义。本章内容： 1欧拉运动微分方程式2拉格郎日积分式3. 伯努利积分式，几何意义，物理意义4.动量定理及动量矩定理本章重点：1）理想流体运动所遵循的动力学方程欧拉运动微分方程（主要掌握微分体积法推导方程，了解各项的意义。2）拉格朗日积分以及伯努利积分的前提，各项的量纲，几何意义，物理意义，位置水头

2、、速度水头、测管水头，压力水头以及总水头之间的相互转换关系，要求熟练应用伯努利方程解题，绘制测管水头线以及总水头线。3）皮托管测流速的原理，应用时应注意的问题4）伯努利方程的应用4）动量定理应用，动量矩方程的应用。本章难点：1）伯努利方程应用中流线上两点的选取，如何减少未知数的个数。2）动量定理应用中各项符号的确定。3）伯努利方程中三个水头之间的转换。§- 欧拉运动微分方程式某瞬间在理想流体中取，的平行六面体，由牛顿第二定理： ii（，） （-）以方向为例：）表面力：微元体左面上压力（，），右面压力（，）。由台劳级数展开，并略去高阶微量后：向表面力的合力（理想流体，无切应力）： ）质

3、量力：单位质量的质量力分量，轴上的投影：）微元体的质量：）加速度，方向：代入（-）式，同理得其余两式 （-）矢量式式（-）即为理想流体的欧拉运动微分方程式。欧拉运动方程共有三个方程式，再加上连续方程式，四个方程式，给定所提问题的边界条件和初始条件，求解四个未知函数x、y、z和。§- 拉格朗日积分式欧拉方程在非定常无旋运动条件下的积分。假设：1）理想不可压缩流体：const；2）质量力具有势函数：，（其中为质量力的势函数）；3）运动是无旋的，存在速度势函数，满足： 。由）有由）有由）有将以上关系代入欧拉方程：上式移项，同理可得另外两式，则方括弧内的函数不随(，)变化，只可能是时间的函数

4、。 （-）引入速度势的另一，定义： 仍不影响它与速度的关系： 所以和实质上是一样的。式（-）可改写成如果质量力只有重力，取轴铅直向上，有U，故或上式为非定常无旋运动的拉格朗日积分式。对于定常无旋运动：(通用常数)对于理想、不可压、只有重力作用，定常，无旋运动，上式可写成： (通用常数) 因通用常数：在整个流场都不变，该方程在整个流场建立了速度和压力之间的关系。如果用理论或实验的方法得到流场的速度分布，应用拉格朗日积分式得出流场的压力分布，再将压力分布沿固体表面积分，就可以计算出流体与固体之间的相互作用力。课堂举讨论：1）机翼产生升力的原因2）两艘并排行驶而又靠得很近的船舶为什么会产生互相吸引的

5、“船吸现象”；2）浅水航道的“吸底现象”。 4）为什么在江河、海洋中游泳时不能在靠近船坞等岸边建筑物附近下水？§-伯努利积分式及其应用理想、不可压缩流体，质量力有势，定常运动，沿流线积分。假设：）理想不可压缩流体，质量力有势；）定常运动；）沿流线积分。由），）有 欧拉方程可写成定常运动流线与轨迹重合，在轨迹上： xdyz式）、）、）两边分别乘以式）、）、）。以第一式为例：即 ()同理有 （） （）将()、（）、（）三式相加，考虑到速度的模2x2y2z2有：在流线上有括弧内在流线上的全微分等于零，因此沿流线是一个不变的常数，即在重力场中，则或（沿流线成立，l称为流线常数）这就是著名的伯

6、努利方程。拉氏积分和伯氏积分的不同之处：）应用条件不同：拉格朗日积分只能用于无旋流运动，伯努利积分无限制。）常数性质不同：拉格朗日积分中的常数为普遍常数，伯努利积分中的常数为流线常数。换句话说，拉氏积分在整个空间成立，伯氏积分只在同一条流线上成立。伯氏方程推广于有限大的流束应为：推导如下：在“渐变流动”断面上：=常数，为简单计，我们约定取过水断面形心处的数值。近似地取过水断面的平均流速代替，即代替（），有限大流束的伯氏方程可写成 或应用注意的条件：）流动是定常的；）只有重力的作用；）流体是不可压缩的；4）、截面处，流动必须是“渐变流”。伯努利方程应用举例：例一 、小孔口出流图-的容器装有液体，

7、在此两截面上，各物理量分别为：截面：1 10 1截面：2 20 2列立与截面、相应的伯氏方程速度：因粘性影响一般用一个流速系数实际 图-由实验确定，其值通常为0.96注意：由于惯性的作用，一般会产生“颈缩现象”。截面积要小于洞孔的面积，两者的比值称为收缩系数实际流量：实际实际e令为流量系数，上式可写成实际系数由实验来测定。例如圆形孔口，其值为0.610.63。例二 文德利管，如图-所示。取基准线沿管的轴线，则12。列伯氏方程连续方程图-联立得解出体积流量为1111，测压管测出；用形管（内装水银）比压计时因此 或 实际流动中有能量损失，应乘上流量系数，其值约为0.98。例三 汽化器如图-所示取管

8、轴为基准线，把整个汽化器当作一个流管，将截面取在汽化器尚未入口前方的大汽中，截面取在最小截面处。截面：，0，截面：，待求，列立伯氏方程 图-故求得汽化器的真空度为例四 皮托管和联合测管，如图-所示。皮托管测得的压力称为总压力，皮托管又称总压管。流线上列立伯氏方程，考虑到点 A UAUB点 B UB因此 图-可得只要测出总压B和动压A之差，就可算出流速，在上述问题中BA（） 图-因此 只要读出皮托管与测压管的液面高度差就可算出水流速度。为了方便，可将测压管和皮托管结合在一起形成“联合测管”，或称普朗特管，其原理如图-所示这时UAU UB管在处感受到动压，而管在处感受到总压， 在测量空汽中的流速时

9、，管和管要分别和形管测压计的两端连接，其原理如图4-8所示。其中总压力与动压力之差：PBA11为测压计中所用液体的重度，速度计算公式中就是欲测流速的汽体重度。 图4-8例五 虹吸管，如图-取为基准面，列立断面和的伯氏方程。解方程得 图-流量列和伯氏方程，求虹吸管顶点处的真空度。真空度水柱高真空度§- 伯努利方程的几何意义和能量意义一、几何意义：长度量纲，表示流体质点或空间点在基准面以上的几何高度，又称位置水头。：长度量纲，流体在压力（这里理解为相对压力）作用下，测压管中液面上升的高度，称为压力高度、测管高度，或称压力水头、测管水头，记为。：长度的量纲，称为“流速高度”或“速度水头”。

10、可用皮托管和测压管中液面高度差来表示，记为。总水头线压力水头线理想不可压缩流体定常运动，沿着流线有几何高度、压力高度和流速高度之和为一常数，也就是说三个高度（水头）加起来的总水头的端点的连线总水头线为一条水平线。 二、能量意义：单位重量流体的位能，记为。 。：单位重量流体的动能，记为 。：单位重量流体的压力能，记为。一端封闭的玻璃管倒置在流体内某一点，管内抽为真空，液体在压力作用下会上升的高度，其时单位重量流体却增加了的位能。可见项转变为位能，所以称为单位重量流体的压力能。因此（常数）上式表示对于理想流体的定常运动而言，单位重量流体的位能，压力能和动能之和在流线上为一常数。因为在定常运动中，流

11、线与轨迹重合，所以伯努利方程就意味着：同一流体微团在运动过程中，它的单位重量的位能、压力能和动能之和保持不变。因此，伯努利方程是能量守恒定律在流体力学中的体现。§- 动量定理及动量矩定理一、动量定理 工程中常要计算流体和物体之间的相互作用求作用力的合力或合力矩，应用动量定理较为合适与方便。理论力学中动量定理是按拉格朗日观点，质系动量变化率等于作用在这一质点系上外力的总和，即针对控制面如图-所示内流体质点系经过时间后，移动到了新的位置所产生的总动量变化为+-+=（-）+（- ） 图-运动定常，速度场将不随时间改变。流体质点离开空间区域后，将被具有同样速度的另一质点所占据。因此新旧边界面

12、之间的公共区域内动量是不变的，即=，因此-=0，则有=可得动量变化率为式中12就是控制体边界面。上式中计算通过1的动量时用的相对于来说是内法线。现统一用的外法线方向单位矢量来计算时，式（-）右边第二项应改为正号，则两项积分可合并成在12上的积分根据动量定理，此项控制面内流体的动量变化率应等于作用于内流体上外力的总和，即式中包括：）质量力，尤其是重力；）控制面上表面力的合力。对于理想流体则就是压力（负号是因为压力的方向与的外法线方向相反）；）物体施加于流体的作用力，这一项是用动量定理要求出的力。动量定理可写成+略去重力，可改写为为控制面的外法线方向单位矢量。进行具体计算，可写成投影式：特别注意：

13、1）速度的含义和符号， 与的外法线方向一致时为正，反之为负，而、与，一样，与坐标轴一致为正，反之为负。 2），是物体作用在控制面内流体上的合力的个分量，要求流体作用在物体上的合力，反号即可。3）边界面或流面（流线所组成的面）。这些面上没有动量进出，因而动量的通量等于零；4）速度及压力分布已知的面。二、动量矩定理用同样的方法，我们可以推导出理想流体作定常运动时的动量矩定理即绕某一点或某一轴的动量矩变化率等于外力对同一点或轴的力矩之和。式中为取矩点到流体质点的矢径。与前面动量定理一样，外力包括质量力、表面力以及流体中物体对流体的作用力。写成直角坐标形式为 （-）上面的动量定理和动量矩定理虽然是针对

14、理想流体导出的，但它们也可用于实际流体，此时只要在表面力项中把作用于控制面上的切向力包括进去即可。注意：1）两个定理均不能用于非定常流动。因为对于非定常流动，除了进出控制面的动量流会引起动量变化之外，速度场的非定常性也会引起动量的变化。式（-）的右边还要增加一项 （-），2）单知道控制面上物理量的分布而不知道内部的物理量的分布时，这一体积分是不能计算的。也就是说，虽然对于非定常流动可以把动量定理写成式（-），但它并无多大实用价值。动量定理的应用例六 流体对弯管管壁的压力如图-，取管壁和截面1、2组成的封闭面为控制面，对此控制面内流体应用动量定理右边是控制面内流体单位时间的动量变化。因此即 图-

15、在所研究的问题中重力比其他各项小许多，可略去 例七 射流对倾斜平板的冲击力 如图-，由伯氏方程知 12取如图中虚线所示的封闭曲面为控制面，列立方向和方向的动量定理：由连续性方程 图-考虑到，有012所以 式中：为流体对平板作用的切向分力。因为假设为理想流体，故切向分力为零。总冲击力n沿平板法向。1、2分别是流束冲击平板后分为两股流束的厚度。可以看出当是锐角时，12。这时因为，在拐弯曲率小的那边，流体能顺地流过去，因此有更多的流体拥向这边，使得曲率小的这边流束较厚。取为参考点，用动量矩定理来求n作用点离开点的距离。注意写出动量矩和力矩时，反时针为正，顺时针为负。列出动量矩方程式整理可得上式中的负

16、号表示n作用点位于轴的负向上。例八 气垫船基本原理气垫船结构如图-所示。设艇底作用的压力为，以单位厚度的喷柱为讨论对象，讨论右边单个喷柱，取控制体如图所示，沿水平方向列动量方程。在方向垂直方向，所以 或 图-式中：为喷出的流体动量，由风扇的功率所决定。气垫船重量越大时，间隙越小。而底面积增大时，则增大。所以气垫船的形状比较扁平，以使较大。例九 滑行艇的基本原理滑行艇如图-所示。 除了滑行艇的底部外，自由上处处为大气压力0，根据伯努利方程得120 图-由连续方程0水平方向列动量方程：=sin所以 或 式中：为艇对流体的作用力。为负值表示它的方向与图-所示的方向相反。根据作用与反作用的关系可知，则图示的正好就是流体对滑行艇的作用力。例4.2 阻力测定的试验 见图4-18，试求如下定义的阻力系