动态线段长的最小值问题教师版

1、动态线段长的最小值问题I .单动点类: 线段的一个端点是定点，另一个端点是动点，此类问题常用到两类几何原型:1 .点到直线的距离，垂线段最短如图，在 RtAABC, /A= 90° , BD平分/ ABC AC于 D点，AB= 4, BA5,点 P是线段BC上的一动点，则PD的最小值是.已知。O的半彳全为5,弦AB的长为8,点P在弦AB上,是.如图，在 ABC中,AB= 6, BG= 8, / AC氏30° ,将 AB砥点B按逆时针方向旋转， 得到A'BC' .点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在 ABCtS点B按逆时针方 向旋转的过程中，点P的对

2、应点是点P ,则线段EP'长度的最小值为.【解析】E点为定点，P'在线段A'C'运动，这样可以化归为点到直线的最短距离问题，当且仅当AB，A'C'时，点P'为AC与A'C'的交点.如图，边长为2a的等边三角形ABCt, M是高CH所在直线上的一个动点，连接 MB将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接HN则线段HNK度的最小值是.在点M运动过程中【解析】如图，取BC的中点G,连接MG可证得 MB国ANBIH(SAS,则N+ MG而根据垂线段最短，MGL CH时，MGt短，即HN最短，此时./BC吐 X 60

3、0 =30° , CG= AB= X2a=a, . MG= CCG= xa=, .H*.2 . 一点到圆上各点的最小距离已知，O。的半径为5,点P为。内一点，且。之3,则点P与圆上各点距离的最小值为.类似地，当点P在圆外时，最短距离如图所示 等腰直角 ABC中，/ C= 90° , A最BG= 4, D为线段AC上一动点，连接BR过点C作CHL BD于H,连接AH, M AH的最小值为.【解析】不论D如何动，CH始终与BD垂直，那么点H点的轨BC中点M为半径的圆，这样动线段 AH的最小值，就顺利的转化A与。M各点的最小值问题.如图，在正方形ABCDK动点E, F分别从D,

4、C两点同时出发，以相同的速度在边 DQM为圆心的圆DCF(SAS ,CB上移动，连接AE和DF交于点P,由于点E, F的移动， *使得点P也随之 运动，若AD-2,线段CP的最小值是.【解析】速度相同，则意味着DE= CF,存在ADEizX可进一步证得AE± DF,于是点P的轨迹是在以AD中点周上，CP的最小值就化归为点C到。M各点的最小值问题.变式1:如图，正方形ABCDfr, AB= 4,动点E从A出发向D运动，同时动点F从D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE交于点P, M是线段BC上任意一点，则MD MP勺最小值为.I

5、II【解析】速度相同，则意味着AE=DF,存在ABASzADF（SAS ,可进一步证彳# AF± BE,于是点P的轨迹是在以AB中点N为圆心的圆周上（如图所示），当P点在正方形对称中心的时候，P到线段BC#点的距离最小，接下去线段和最小可转化为同直线的问题，作D关于BC的对称点D',连接PD',则PD'就是MDb MP的最小值.D变式2:如图，正方形ABCDfr, A五4,动点E从A出发向C运动，同时动点F从D出发向点B运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE交于点P, M是线段BC上任意一点，MDb MP的最小值为

6、.i【解析】变式2只是将上题P的轨迹变成半圆，这样就转化为点和圆上各点的最小值问变式3：直线y = x + 4分别与X轴、y轴相交与点MN,边长为2的正方形OABCD'一个顶点。在坐标系的原点，直线AN与MCf目交与点P,若正方形绕着点。旋转一周，则点P到点（0, 2）长度的最小值是.如图，在矩形 ABC时，AB= 4, AD= 6,动点.将 EFB沿EF所在的直线折叠得B' D,则B D的最小值为.（能力训练 P67第11题）【解析】不论如何翻折，始终保持 EB- EB',故，点B'的运动轨迹是在以E为圆心的圆周上，B'D 的最小值化归为点D到。E各点

7、的最小值问题.H .双动点类：OA、OB, M N分别是OB上的动点，P为x轴上的点，则PW PN的最小值等如图，平面直角坐标系中，分别以点 N 2, 3）, B（3, 4）为圆心，以1、3为半径作【解析】作。A关于x轴的对称。A',连接BA分别交 和。B于M N,交x轴于P,如图，则此时PW PN最小.如图，。是以原点为圆心，为半径的圆，点 P是直线y= x + 6上的一点，过点P作。的一条切线PQ Q为切点，则切线长PQ的最小值为.【解析】: P在直线y= x + 6上，.二设P坐标为（m1 6- m）,连接OQ OP由PQ为圆。的切线，得到PCLOQ在RtzXOP时，根据勾月£定理得：oP=pQ+ OQ,. PQ= m2+(6m)2 2 = 2m2 12叫 34=2(* 3)2+16,则当m= 3时，切线长PQ的最小值为4.如图，已知平