2022版新教材高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第1节基本计数原理排列与组合学案含解析新人教B版

1、高考复习资料计数原理、概率、随机变量及其分布课程标准命题解读1.理解样本点、有限样本空间、随机事件2会计算古典概型中简单随机事件的概率，加深对随机现象的认识和理解3理解两个基本计数原理，运用计数原理探索排列、组合、二项式定理等问题4了解条件概率及其与独立性的关系，能进行简单计算5感悟离散型随机变量及其分布列的含义，知道可以通过随机变量更好地刻画随机现象6理解伯努利试验，掌握二项分布，了解超几何分布7感悟服从正态分布的随机变量，知道连续型随机变量8基于随机变量及其分布解决简单的实际问题.考查形式：高考在本章一般命制一道选择题或填空题及一道解答题考查内容：两个计数原理、排列与组合、二项式定理、概率

2、、随机变量及其分布，其中概率、随机变量及其分布是高考命题的热点，每年必考备考策略：(1)计数原理常与古典概型综合(2)掌握二项式定理及其应用，会利用通项公式求特定项(3)加强以实际问题为背景，考查分布列、期望等是高考的热点题型的训练(4)概率统计试题的阅读量和信息量都有所加强，考查角度趋向于应用概率统计知识对实际问题做出决策核心素养：数学建模、数学运算、逻辑推理.第1节基本计数原理、排列与组合一、教材概念·结论·性质重现1两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法第n类办法中

3、有mn种不同的方法完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法做第n步有mn种不同的方法结论那么完成这件事共有nm1m2mn种不同的方法那么完成这件事共有nm1×m2××mn种不同的方法两个计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事2排列与组合的定义排列的定义从n个不同对象中取出m(mn)个对象按照一定的顺序排成一列组合的定义并成一组3.排列数、组合数的定义、公式、性质

4、排列数组合数定义从n个不同对象中取出m(mn)个对象的所有排列的个数从n个不同对象中取出m(mn)个对象的所有组合的个数公式an(n1)(n2)(nm1)c性质an！，0！1cc，ccc(1)“排列”与“组合”的辨析排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合(2)排列数与组合数之间的联系：caa；两种形式：连乘积形式；阶乘形式前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证二、基本技能·思想·活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“×”(1)在分类加法计数原理中，两类不

5、同方案中的方法可以相同( × )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事( )(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列( × )(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同( )(5)若cc，则xm成立( × )2有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有()a8种b9种c10种d11种b题目解析：设四位监考教师分别为a，b，c，d，所教班分别为a，b，c，d.假设a监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理a监考c，d时，也分别有3种不同方法由分类加法计数

6、原理，共有3339(种)不同的监考方法3某中学语文老师从红楼梦平凡的世界红岩老人与海4本不同的名著中选出3本，分给三个同学去读，其中红楼梦为必读，则不同的分配方法共有()a6种b12种c18种d24种c题目解析：(1)先从平凡的世界红岩老人与海三本书中选择2本，共有c3(种)选法；(2)将选出的2本书与红楼梦共计3本书进行全排列，对应分给三个学生，有a6(种)排法根据分步乘法计数原理，不同的分配方法有3×618(种)故选c.4由数字2,0,1,9组成没有重复数字的四位偶数的个数为_10题目解析：根据所组成的没有重复数字的四位偶数的个位是否为0进行分类计数：第一类，个位是0时，满足题意

7、的四位偶数的个数为a6；第二类，个位是2时，满足题意的四位偶数的个数为ca4.由分类加法计数原理，得满足题意的四位偶数的个数为6410.5从2名女生、4名男生中选3人参加学科竞赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有_种(用数字作答)16题目解析：(方法一)可分两种情况：第一种情况，只有1名女生入选，不同的选法有cc12(种)；第二种情况，有2名女生入选，不同的选法有cc4(种)根据分类加法计数原理知，至少有1名女生入选的不同的选法共有12416(种)(方法二)从6人中任选3人，不同的选法共有c20(种)从6人中任选3人都是男生，不同的选法有c4(种)所以，至少有1名女生入选的不同的选法共有

8、20416(种).考点1两个原理的应用基础性(1)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有()a250个b249个c48个d24个c题目解析：分两类：当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有a24(个)；当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有a24(个)由分类加法计数原理，得所有满足条件的四位数共有242448(个)故选c.(2)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()a4种b10种 c18种d20种b题目解析：分两种情况：4位朋友中有2个人得到画册，有c6(种)赠送方法；4位朋友中只

9、有1个人得到画册，有c4(种)赠送方法由分类加法计数原理，得不同的赠送方法共有6410(种)故选b.(3)(2021·青岛质检)如图，将4种不同的颜色涂入图中的矩形a，b，c，d中，要求相邻的矩形不同色，则不同的涂法有()a72种b48种 c24种d12种a题目解析：(方法一)分四步完成，首先涂a有4种涂法，则涂b有3种涂法，c与a，b相邻，则c有2种涂法，d只与c相邻，则d有3种涂法由分步乘法计数原理，得不同的涂法有4×3×2×372(种)(方法二)按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时a有4种涂法，b有3种涂法，c有2种涂法，d

10、有1种涂法，共有4×3×2×124(种)涂法；二是用3种颜色，这时a，b，c的涂法有4×3×224(种)，d只要不与c同色即可，故d有2种涂法所以不同的涂法共有2424×272(种)两个计数原理的应用(1)应用两个计数原理的难点在于明确是分类还是分步：分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键；分步要做到“步骤完整”，步步相连才能将事件完成(2)较复杂的问题可借助图表来完成(3)对于涂色问题：分清元素的数目以及在不相邻的区域内是否可以使用同类元素；注意对每个区域逐一进行，分步处理1甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下

11、由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有()a4种b6种 c10种d16种b题目解析：分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的传递方式有3种(如图)；同理，甲第一次踢给丙时，满足条件的传递方式也有3种由分类加法计数原理可知，共有336(种)传递方式2如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a2，且a2a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为()a240b204 c729d920a题目解析：分两类：如果这个三位数含0，则0必在末位，共有这样的凸数c个；如果这个三位数不含0，则这样的凸数共有(cac)个综上所述，所有凸数共有2cca

12、240(个)3如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()a24b48 c72d96c题目解析：(方法一：以位置为主考虑)分两种情况：(1)a，c不同色，先涂a有4种，c有3种，e有2种，b，d各有1种，有4×3×224(种)涂法(2)a，c同色，先涂a有4种，e有3种，c有1种，b，d各有2种，有4×3×2×248(种)涂法故共有244872(种)涂色方法(方法二：以颜色为主考虑)分两类：(1)取4色：着色方法有2a48(种)(2)取3色：着色方法有a24(种)所以共

13、有着色方法482472(种)考点2排列问题基础性(1)(2020·合肥市第二次质量检测)某部队在一次军演中要先后执行a，b，c，d，e，f六项不同的任务，要求：任务a必须排在前三项执行，且执行任务a之后需立即执行任务e，任务b，c不能相邻，则不同的执行方案共有()a36种b44种 c48种d54种b题目解析：由题意知任务a，e必须相邻，且只能安排为ae，由此分三类完成：当ae排第一、二位置时，用表示其他任务，则顺序为ae，余下四项任务，先全排d，f两项任务，然后将任务b，c插入d，f两项任务形成的三个空隙中，有aa种方法当ae排第二、三位置时，顺序为ae，余下四项任务又分为两类：b，

14、c两项任务中一项排第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，有aa种方法；d，f两项任务中一项排第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，且任务b，c不相邻，有aa种方法当ae排第三、四位置时，顺序为ae，第一、二位置必须分别排来自b，c和d，f中的一个，余下两项任务排在后两个位置，有ccaa种方法根据分类加法计数原理知不同的执行方案共有aaaaaaccaa44(种)故选b.(2)(2020·全国卷)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有_种36题目解析：因为4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每

15、个小区至少安排1名同学，所以先取2名同学看作一组，选法有c6(种)现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有a6(种)根据分步乘法计数原理，可得不同的安排方法共有6×636(种)1(2020·洛阳市第一次联考)某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为()a16b18c24d32c题目解析：第一步，将3辆不同型号的车进行排列，有a种方法；第二步，把剩余的4个车位看成一个元素，插入3辆车所形成的4个空位中，有c种方法由分步乘法计数原理可知，不同的停放方法共有a·c24(种)故选c.2(2020&

16、#183;雅礼中学高三模拟)现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有()aaa种baa种caaa种daaa种d题目解析：采用捆绑法和插空法从4名男生中选择3名，进而将3个相邻的男生捆在一起，看成1个男生，方法数是a，这样与第4个男生看成是2个男生；然后6个女生任意排的方法数是a；最后在6个女生形成的7个空隙中，插入2个男生，方法数是a.综上所述，不同的排法共有aaa种故选d.3(2020·和平区高三一模)国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，

17、且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为()a378b306 c268d198d题目解析：分两种情况讨论：若选两个国内媒体、一个国外媒体，则有cca90(种)不同提问方式；若选两个国外媒体、一个国内媒体，则有cca108(种)不同提问方式所以共有90108198(种)提问方式故选d.考点3组合问题基础性(1)某单位拟安排6位员工在今年6月9日至11日值班，每天安排2人，每人值班1天若6位员工中的甲不值9日，乙不值11日，则不同的安排方法共有()a30种b36种 c42种d48种c题目解析：若甲在11日值班，则在除乙外的4人中任选1人在11日值班，有c种选法，9日、10日有cc种安排方

18、法，共有ccc24(种)安排方法；若甲在10日值班，乙在9日值班，余下的4人有ccc12(种)安排方法；若甲、乙都在10日值班，则共有cc6(种)安排方法所以不同的安排方法共有2412642(种)(2)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()a232b252 c472d484c题目解析：分两类：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法共有cc264(种)；第二类，不含有红色卡片，不同的取法共有c3c22012208(种)由分类加法计数原理知，不同的取法有264208472(种)组合问题的常见类

19、型与处理方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解1如图，mon的边om上有四点a1，a2，a3，a4，on上有三点b1，b2，b3，则以o，a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3中三点为顶点的三角形的个数为()a30b42c54d56b题目解析：间接法：先从这8个点中任取3个点，有c种取法，再减去三点共线的情形即可，即三角形的个数为ccc42.2(多选题)(2020·盐城市大丰中学期中)有13名医

20、生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往湖北疫区若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为n，则下列等式能成为n的算式的是()acccbccccccccccccdccbc题目解析：13名医生，其中女医生6人，男医生7人利用直接法，2男3女：cc；3男2女：cc；4男1女：cc；5男：c，所以nccccccc.利用间接法：13名医生，任取5人，减去抽调4名女医生和5名女医生的情况，即ncccc.所以能成为n的算式的是bc.故选bc.考点4排列与组合的综合应用综合性(1)(2020·滨海新区大港一中高三模拟)从5名学生中选出4名分别参加数学、物

21、理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为()a48b72 c90d96d题目解析：甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛当甲参加另外3场比赛时，共有c·a72(种)选择方案；当甲不参加任何比赛时，共有a24(种)选择方案故不同的参赛方案有722496(种)(2)(2020·临沂市临沭县高三模拟)某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道进行团队游的可行性调研若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作人员甲、乙需要到同一景点调研，则不

22、同的人员分配方案种数为()a18b36 c54d72b题目解析：若甲、乙一起(无其他人)有ca18(种)方案；若甲、乙与另一人一起(三人一起)有ca18(种)方案所以不同的人员分配方案有181836(种)故选b.(3)有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两名同学要站在一起，则不同的站法有()a240种b192种c96种d48种b题目解析：当丙和乙在甲的左侧时，共有acaa96(种)站法同理，当丙和乙在甲的右侧时，也有96种站法，所以不同的站法共有192种求解排列、组合应用问题的六种主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法1(2020·杭州市高三二模)有来自甲、乙、丙三个班级的5名同学站成一排照相，其中甲班2人，乙班2人，丙班1