多元统计分析期末考试考点整理

1、多元统计分析题型一定义、名词解释题型二 计算（协方差阵、模糊矩阵）题型三解答题一、定义§ 1随机向量及其分布一、随机向量的联合分布设司,4为是定义在样本空间Q上的9个随机变量，则称 （国/心，是七维随机向量（或为维随机变量）.中元函数产（田一马，,.i） =尸工G g .号,，为" 称为中维随机向量国.才",苞y的联合分布函数.如果存在非负可积函数/&.4.）,使得产（4巧，7J Z，Jj小心心dF 则称是夕维连续型随机向量，称八为 （国&*力了的联合分布密度.§ 2 的机向量的数字特征一、随机向量的数学期望（均值）定义1设了=（为工.y

2、,若与（工二）=%，z，中存在, 则称EF = 01；,左1/=（氏中r，/J = N为片TJ的数学期望（向量）.设片=（卷），称1为随机矩阵，称ZT = （©；）“为随机矩阵工的数学期望（矩阵）.二、边缘分布称2维随机向量,为），的分量构成的子向量的概率分 布为.为）'的边缘分布.设夕维随机向量.为）'的分布函数为产（22,.），则 关于用的边缘分布函数为£（管）=PXf < Xf = A+S,.+8,必+C0,+8）,设维连续型随机向量（%,4,为）'的联合分布密度为/（.卬0,与），则关于.的边缘分布密度为/（工）=J二j二"&

3、#39;£-1'七，¥+1，年）火局.四、协方差矩阵的性质设工，厂为随机向量，*, B为常数矩阵，贝IJ 性质 1 CoyAX, BY） = A CoxX, >） B,性质 2 LAX） = ALX）A五、协方差矩阵r的代数性质记 s = zzr,1 . Z为非负定矩阵,即对Da e AJ有aEa / 0 .记号：若E为非负定矩阵，则记作EN。，若工为正定矩阵，则记作Z>0.二、数学期望的性质设X,y为随机矩阵，,八夕为常数矩阵，则性质 1 EAX) = AEX.性质 2 E(.4XB) = A EX B,性质 3 EJ) = EXEY.三、协方差矩阵定

4、义2设%=(国昌，为丫，=(4，)，若可(/),/=1, 2. P, 7 = 1, 2.，/存在，则称工，)=EX-EX)Y-Eiy=而您/)】内为随机向量工与尸的协方差矩阵.当。1)=0时,称随机向量1与厂不相关.称CoyX.X) = DX为随机向量X的协方差矩阵.显然，协方差矩阵是一个对称矩阵.定义3 称火=4%为随机向量1的相关阵 由相关系数的概念，显然有勿=1, |共1, /.八L 2,，p.(1)最矩距离法(Nearestneighbor)考虑月个样本构成的距离矩阵，定义G与$之间的距离为两类最近样品的距离，即(3-3-29)£)= min 4,现在设G,与G合并为一个新类

5、记为5,则任意一类G.与G的距离为y mm d”=min( min d* min ) = min(Dv,D).(3-3-30)2 .若E为正定矩阵,则有下述等价结论.Z>0o3非奇异方阵乙使£ = .Z>0 o 3正交矩阵I，使E= MZg(44 其中，>0./= L2,，.为Z的全部特征根.(3) E >。o工的任一主子式均大于零.(4) £ > 0 o Va w 火尸,有 aa > 0 ,且 a£a = 0 o a = 0.(5)S>0<=> £7存在且S-l>0.§ 3多元总体

6、一、多元总体设观测指标为则才;工./7构成一个维随机 向量1=(；4 C，1的一切可能取值的全体就构成了 元总 体，仍记作"维随机向量1的概率分布即为所对应总体的概率分布，X 的数字特征也即为所对应总体的数字特征.二、样本观测阵设对元总体才二5,为)'进行了次观测，记为第/次的观测结果($L 2，每次的观测结果称为一个样品.如果满足：% , 4），花）相互独立；（2）每个一%均与总体I具有相同的概率分布.称小为来总体的一个容鼠为的简单随机样本，仍 简称为样本.称样本观测值的个体构成的矩阵为样本观测阵（资料阵）.三、样本数字特征%112Xp叫用2 % . 二% % 。吊 吊 吃

7、）25W 4 1 .样本均值（向量）记 弓=上£一 称=（.不元.七）'为样本均值向最. “12,样本离差阵记= X（%-吊）（ -可），称s= （%）”为样本离差阵.3 .样本协差阵毛尔“=_Ls=（-L7 s.“:为样本协差阵.4 .样本相关阵称天=（弓）上夕为样本和I关阵.§1-3.1多元正态分布定义1.5：若夕元随机向量X=（不&，| 的概率密度函数为： /（七，力尸）" 二万; exp - 3（x f）2一（x -“（2万），iXf|/>0）（1.24） 则称x=（x，乜,，为了遵从。元正态分布，也称虺P元正 态变量。记为X N&a

8、mp;A）|Z|为协差阵Z的行列式。二、一般的正态分布设随机向量、=（与,天,，巧,），若其的密度函数为/（不+，,x）=（如"2国-仁 exp-g（x-M£T （%-/）-oo<A； V+oc其中、=（不多,xy的均值为石（x）=«"j,a .从y(x, /aX-Vi _i)(x一"XX 一“)协方差为（x /4 X。Z4）（玉一“）（x 一 ）（七一幺）2（吃一幺Xx -4,） .；WTa一x.q“） （xp_/Y 称x =（不受，,巧,）服从均值为E（X）,协方差为E的正态分布。马氏是巨商定义：设总体6为，维总体 （考察，个指标），

9、均值向量为 = （,=2， 一,一,）'，协方差阵为x=（，），则样品 X=（xx2,.,x/n） z与总体G的马氏距离定义为2（X,G） = （X -）T（X -）当/n = 1H寸, 2 （x, G）=（一"） , ）=bb二名词解释1、多元统计分析：多元统计分析是运用数理统计的方法来研究多变量（多指标）问题的理 论和方法，是一元统计学的推广2、聚类分析：是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方 法。将个体或对象分类，使得同一类中的对象之间的相似性比与其他类的对象的相似性更强。 使类内对象的同质性最大化和类间对象的异质性最大化3、随机变量：是指变

10、量的值无法预先确定仅以一定的可能性（概率）取值的量。它是由于随机而获得的非确定值，是概率中的一个基本概念。即每个分量都是随机变量的向量为随机向 量。类似地，所有元素都是随机变量的矩阵称为随机矩阵。4、统计量：多元统计研究的是多指标问题 ，为了了解总体的特征，通过对总体抽样得到代表 总体的样本，但因为信息是分散在每个样本上的 ，就需要对样本进行加工，把样本的信息浓缩 到不包含未知量的样本函数中，这个函数称为统计量三、计算题T6 72、1.设1 =（A.科啊）砥口花）,其中#=（1Q2）6= -44-1 2-14试判断巧+ 2巧与屋L餐是否独立？解:10-6-15=_61520-16 2040故出

11、此的联合分布为I故不独立。-1620 )40,2、82.0)60.2 455)-1 = (115,6924)-1、104.3107-14.62108.946414.62103.172-37 376089464、-37 376035.59362、对某地区农村的6名2同岁男婴的身高、胸围、上半曾圉进行测量,得相关数据如下，根据以往资料，该地区城市2周岁男婴的这三个指标的 均值外二(为5%16现欲在事元正态性的假定下检验读地区农村男婴是 否与城市男婴有相同的均值.答:2、假设检验问题；/邛=回% R工内 r-8,o>经计算可得；X-出=2 2 .(43107-1462108 9464、L 二(

12、231384司-14.62103.172-37.3760、8 9464-37 3760 35.5936 ；构造检验统计量1F =M/-晶)节(”= 6x70,0741 = 420,445由题目已知/1(3,3) = 29.5,由是琉广学/。3) = 147.5所以在显著性水平s= 0 01下，拒绝原设与 即认为农村和城市的2周岁男婴上述三个 指标的均值有显著性差异(a = 0.01, oiC,2) = 99.2, Oi 03) =29 5,况00,4) =16.7)答:4、设 =过,凡名劣尸砥(。，办 协方差阵£= pP(1)试从E出发求X的第一总体士成分,(2)试1司当取多大时才能

13、A14由P-P-P主成分的贡献率达95%以上. =0得特征根为4=1;-pa -i得项对应的单位特征向量为仁1故得第一主成分八%亭#舞+兴(2)第一个主成分的贡献率为"的上 95% 4 H+44得p3U.95;4 二1 再 0933题型三解答题1、简述多元统计分析中协差阵检验的步骤答：第一，提出待检验的假设 和H1;第二，给出检验的统计量及其服从的分布；第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域；第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中， 以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。2、简述一下聚类分析的思想答：聚类分析的基本思想， 是根据一批样

14、品的多个观测指标，具体地找出一些能够度量样品或指标之间相似程度的统计量，然后利用统计量将样品或指标进行归类。把相似的样品或指标归为一类，把不相似的归为其他类。直到把所有的样品（或指标）聚合完毕 3、多元统计分析的内容和方法答：1、简化数据结构，将具有错综复杂关系的多个变量综合成数量较少且互不相关的变量， 使研究问题得到简化但损失的信息又不太多。（1）主成分分析（2）因子分析（3）对应分析等2、分类与判别，对所考察的变量按相似程度进行分类。 （1）聚类分析：根据分析样本的各研 究变量，将性质相似的样本归为一类的方法。 （2）判别分析：判别样本应属何种类型的统计 方法。4、系统聚类法基本原理和步骤

15、答：1）先计算n个样本两两间的距离2）构造n个类，每个类只包含一个样本3）合并距离最近的两类为一新类4）计算新类与当前各类的距离5）类的个数是否等于 1,如果不等于回到 3在做6）画出聚类图7）决定分类个数和类5、聚类分析的类型有：答：（1）对样本分类，称为 Q型聚类分析（2）对变量分类，称为 R型聚类分析# Q 型聚类是对样本进行聚类，它使具有相似性特征 的样本聚集在一起，使差异性大的样本分离开来。#R型聚类是对变量进行聚类，它使具有相似性的变量聚集在一起，差异性大的变量分离开来，可在相似变量中选择少数具有代表性 的变量参与其他分析，实现减少变量个数，达到变量降维的目的。6、简述欧氏距离与马

16、氏距离的区别和联系。4"简述欧氏距离与马氏距离的区别和版系.答I设p维空间RP中的两点X=（XpX2XPy和Y= YpY2- Yp '.则欧氏距离为 欧氏距离的局限有在多元数据分忻中，其度量不合理.会受到年问题中戮冈的哥响口设2,¥是来自均值向量为Id，协方差为上的总体G中的p维样本.则马氐K巨离为 1 1D国了:X 丫'上 XY 1，当工 =【即单位阵时，D （兄力=X Y ' X丫=匕1（及Y = 3海切辑1欧氏距离口因此，在一定程度上，欧氏E巨离是马氏距离的特殊情况，马氏距离是欧氏距离的推广.7、试述系统聚类的基本思想。答：系统聚类的基本思想是

17、：距离相近的样品（或变量）先聚成类，距离相远的后聚成类， 过程一直进行下去，每个样品（或变量）总能聚到合适的类中。8对样品和变量进行聚类分析时所构造的统计量分别是什么？简要说明为什么这样构造？答：对样品进行聚类分析时，用距离来测定样品之间的相似程度。因为我们把n个样本看作p维空间的n个点。点之间的距离即可代表样品间的相似度。常用的距离为（）明氏距离；&因或尤萨匕-1q取不同值,分为声（1）绝对距离7）%（D = X 1彦诋-石加|（2）欧氏距离 m%（2）=（±|以一*/产（3）切比雪夫距离（:守=8）/ Ce） = 代乐一X排1户X.王避（-）马氏距离八 9 L片&

18、 ,，（二）兰氏距离= CKg XJ）X1（X1 -Xp对变量的相似性，我们更多地要了解堂量的变化趋势或变化方向，因此用怕关性迸行衡量.将变量看作p维空间的向量，一般用（一）夫角余以 温F F（二）相关系数7 _ ，9、在进行系统聚类时，选择距离公式应遵循哪些原则？答：（1）要考虑所选择的距离公式在实际应用中有明确的意义。如欧氏距离就有非常明确的空间距离概念。马氏距离有消除量纲影响的作用。(2)要综合考虑对样本观测数据的预处理和将要采用的聚类分析方法。如在进行聚类分析之前已经对变量作了标准化处理，则通常就可采用欧氏距离。(3)要考虑研究对象的特点和计算量的大小。样品间距离公式的选择是一个比较复杂且带有一定主观性的问题， 我们应根据研究对象的特点不同做出具体分折。实际中，聚类分析前不妨试探性地多选择几个距离公式分别进行聚类，然后对聚类分析的结果进行对比分析， 以确定最合适的距离测度方法。10、欧式距离的优点缺点答：欧式距离(Euclid距离)* =(%"初尸产O优点：几何意义明确，简单，容易掌握，由于中学数学就已初步接触，数学知识不多的人也 可以把握它的基本含义。缺点：从统计学的角度看，使用欧式距离要求一个向量