2020-2021学年浙江省丽水市五校共同体高二上学期10月阶段性考试数学试题（解析版）

1、2020-2021学年浙江省丽水市五校共同体高二上学期10月阶段性考试数学试题一、单选题1命题“若，则”的逆否命题是（ ）a“若，则”b“若，则”c“若，则”d“若，则”【答案】c【解析】根据逆否命题的定义即可得到答案.【详解】因为的否定为，的否定为，所以“若，则”的逆否命题是“若，则”.故选：c【点睛】本题主要考查四种命题中的逆否命题，属于简单题.2过点且倾斜角为90°的直线方程为（ ）abcd【答案】b【解析】根据倾斜角为的直线的方程形式，判断出正确选项.【详解】由于过的直线倾斜角为，即直线垂直于轴，所以其直线方程为.故选：b【点睛】本小题主要考查倾斜角为的直线的方程，属于基础题

2、.3已知命题“”，命题“”，则是的（ ）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【答案】b【解析】首先根据得到，从而得到，即可得到答案.【详解】，因为，所以是的必要不充分条件.故选：b【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，同时考查了对数不等式的解法，属于简单题.4设，满足约束条件，则的最小值为（ ）abcd5【答案】a【解析】由线性约束条件，画出可行域，结合直线的平移即可求得的最小值.【详解】根据线性约束条件，画出不等式组表示的可行域如图所示：由平移得到，由图可知当目标函数经过点处取得最小值，代入可得为故选：a.【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数最值

3、的求法，属于基础题.5已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（ ）ab1c或d【答案】d【解析】将直线表示为截距式方程，根据截距相等得到关于的方程，解出即可【详解】因为直线不过，截距不是0，故直线可化为：，若直线在两坐标轴上的截距相等，则，解得：，故选：d【点睛】本题考查直线的截距，考查直线的一般方程与截距式方程的转化，属于基础题.6已知abc的周长为20，且顶点b （0，4），c （0，4），则顶点a的轨迹方程是（）a（x0）b（x0）c（x0）d（x0）【答案】b【解析】根据三角形的周长和定点，得到点a到两个定点的距离之和等于定值，得到点a的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，

4、去掉不合题意的点【详解】解：abc的周长为20，顶点b （0，4），c （0，4），bc8，ab+ac20812，128点a到两个定点的距离之和等于定值，点a的轨迹是椭圆，a6，c4b220，椭圆的方程是故选b【点睛】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点7已知，直线：，：，且，则的最小值为（ ）a2b4c8d9【答案】c【解析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可.【详解】因为，所以，即，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8.故选：c.【点睛】本题考查垂直直线的性质，考查利用基本不等式求最

5、值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.8已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（ ）abcd【答案】d【解析】根据圆的一般方程，得到圆心和半径，求出面积最小时对应的半径，再求得圆心到坐标原点的距离，进而可求出结果.【详解】由得，因此圆心为，半径为，当且仅当时，半径最小，则面积也最小；此时圆心为，半径为，因此圆心到坐标原点的距离为，即原点在圆外，根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为.故选：d.【点睛】本题主要考查求圆上的点到定点距离的最值，属于基础题型.9由直线上的点向圆作切线，则切线长的最小值为（ ）a1bcd3【答案】b【解析】先求圆心到直线的距离，此时

6、切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值【详解】切线长的最小值是当直线上的点与圆心距离最小时取得，圆心到直线的距离为，圆的半径为1，故切线长的最小值为，故选：b【点睛】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题10已知圆的圆心到直线的距离为，则圆与圆的位置关系是（ ）a相交b内切c外切d相离【答案】b【解析】根据圆的方程求得圆心为，半径为，利用点到直线的距离公式得到，求得圆心距，根据圆与圆的位置关系进行判定.【详解】圆的圆心为，半径为.圆心到直线的距离为，解得.圆的圆心为，半径为2，圆的标准方程为：，圆心坐标为，半径，圆心距，两圆相内切，故选：b.【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的判定

7、，涉及点到直线的距离公式，圆的一般方程和标准方程，属中档题.11已知，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点（异于左、右顶点），若存在以为半径的圆内切于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）abcd【答案】a【解析】根据三角形的面积关系，可得，再根据可得关于的不等式，从而可求得离心率的取值范围.【详解】的面积关系可得：，则，.故选：a.【点睛】本题考查椭圆的定义运用、三角形内切圆、椭圆的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意不等关系的建立.12已知分别是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于两点，且轴.若点是圆上的一个动点，则的取值范围是（ ）abcd【答案

8、】a【解析】由题意可知，代入椭圆得，继而得出，设，即可表示出，进而求出范围.【详解】由题意可知，将代入椭圆方程得，解得，所以椭圆方程为，所以椭圆的焦点为，由在圆上，设，所以，所以的取值范围为.故选：a.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中的长度关系，属于中档题.二、填空题13已知实数，满足不等式组，若的最小值为，则实数_.【答案】【解析】首先画出可行域，根据目标函数的几何意义求最值，由过点b取最小值2求出m.【详解】，表示过定点(-3.0)的直线，若要能形成可行域，直线的斜率大于0，所以m>0.如图，画出可行域，表示斜率为1的直线，当时，所以表示直线的横截距，所以平移至点b时，取得

9、最小值.由解得，即，所以，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查线性规划，重点考查转化思想，数形结合思想，属于中档题型，本题的关键是根据表示过定点(-3,0)的直线,画出可行域.14若曲线与曲线有四个不同的交点,则实数的取值范围是_.【答案】【解析】由知曲线c1表示以为圆心以1为半径的上半圆，表示两条直线与，问题转化为与半圆有两个不同于半圆端点的交点，利用特殊位置过端点、相切的情况求出对应的k,即可求解.【详解】由得，曲线c1表示以为圆心以1为半径的上半圆，显然直线与曲线c1有两个交点，交点为半圆的两个端点，直线与半圆有2个除端点外的交点，当直线经过点时，当直线与半圆相切时，解得或（舍去）所以时

10、，直线与半圆有2个除端点外的交点，故答案为：【点睛】本题主要考查了圆的几何性质，直线的斜率，点到直线的距离，圆的切线，属于中档题.15一条光线从点射出，经x轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则反射光线所在的直线方程为_.【答案】或【解析】点关于轴的对称点为,即反射光线过点,分别讨论反射光线的斜率存在与不存在的情况,进而求解即可【详解】点关于轴的对称点为,（1）设反射光线的斜率为,则反射光线的方程为,即,因为反射光线与圆相切,所以圆心到反射光线的距离,即,解得,所以反射光线的方程为:；（2）当不存在时,反射光线为,此时,也与圆相切,故答案为: 或【点睛】本题考查直线在光学中的应用,考查圆的切线

11、方程16已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，左、右焦点分别是，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围是_.【答案】【解析】根据的面积和短轴长得出a，b，c的值，从而得出的范围，得到关于的函数，从而求出答案【详解】由已知得，故，的面积为，又，又，.即的取值范围为.故答案为【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，函数最值的计算，熟练掌握椭圆的基本性质是解题的关键，属于中档题三、双空题17椭圆的半焦距是_，离心率是_.【答案】 【解析】首先根据题意得到，即可得到答案.【详解】由题知：椭圆，.所以半焦距是，离心率为.故答案为：，【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，属于简单题.18已知，直线过点

12、，若直线与线段总有公共点，则直线的斜率取值范围是_，倾斜角的取值范围是_.【答案】 【解析】根据图形分析可知，根据坐标即可计算出，再由斜率范围即可求出倾斜角的范围.【详解】如图，若直线与线段总有公共点，则， ，,，即，.故答案为：；.【点睛】本题考查直线斜率范围和倾斜角范围的求解，属于基础题.19直线被圆截得的弦长的最大值是_；若该圆上到此直线的距离等于1的点有且仅有4个，则的取值范围是_.【答案】 【解析】确定圆的圆心和半径，由圆的性质可得直线过圆心时截得的弦长最大；转化条件为圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式即可得解.【详解】因为圆的圆心为，半径为，所以当直线过圆心时，截得的弦长最大

13、，最大值为；若要使该圆上到此直线的距离等于1的点有且仅有4个，则圆心到直线的距离，所以.故答案为：；.【点睛】本题考查了由圆的标准方程确定圆的圆心和半径，考查了直线与圆位置关系的应用，属于基础题.四、解答题20已知直线与.（1）当时，求直线与的交点坐标；（2）若，求a的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，直线与联立即可（2）两直线平行表示斜率相同且截距不同，联立方程求解即可【详解】（1）当时，直线与，联立，解得，故直线与的交点坐标为.（2）因为，所以，即解得.【点睛】此题考察直线斜率，两直线平行表示斜率相等且截距不同（如果斜率和截距都相同则是同一条直线），属于基础简单题目21已知圆

14、.（1）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）若直线过点与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.【答案】（1）或；（2）最大值2，直线的方程为或.【解析】（1）圆的半径、圆心到弦的距离、弦长一半构成直角三角形，用点到直线的距离求得圆心到弦的距离得到答案，注意斜率分情况；（2）圆心到直线的距离为，然后利用的面积求得最值得到及k，求得答案.【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径，直线被圆截得的弦长为，由勾股定理得到圆心到直线的距离当直线的斜率不存在时，显然满足；当直线的斜率存在时，设，即，由圆心到直线的距离得：，解得，故；综上所述，直线的方程为或（2）直线与圆相交，的斜率一

15、定存在且不为0，设直线方程：，即，则圆心到直线的距离为，又的面积当时，取最大值2，由，得或，直线的方程为或.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，三角形的面积的最值及直线的方程.22已知椭圆：的离心率，是椭圆的左右焦点，过且垂直于长轴的弦长为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，若以为直径的椭圆经过右焦点，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）首先根据题意得到，再解方程组即可.（2）设，联立椭圆与直线方程得到，从而得到，根据以为直径的椭圆经过右焦点得到，再根据根系关系即可得到答案.【详解】（1）设椭圆的焦距为.由已知，解得：，所以椭圆的标准方程为：.（2）设，；联立可得；则，；因为以为直径的圆经过右焦点，所以.即解得所以直线方程为：或.【点睛】本题第一问考查椭圆的标准方程，第二问考查直线与椭圆的位置关系，同时考查学生的计算能力，属于中档题.23已知椭圆：，分别为椭圆的左右焦点，为上任意一点，的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）不过点的直线交椭圆于，两点.（i）若，且，求的值；（ii）若轴上任意一点到直线与的距离相等，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析，定点坐标为.【解析】（1）易得，再根据点为椭圆的短轴端点时，面积最大得到b=1即可.（2）联立（i）利用弦长公式得到以及点到直线的距离，