高中数学数学必修5等比数列的前n项和公式课件

1、人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修5(第一课时第一课时)说课教师说课教师: 罗定邦中学罗定邦中学 陈纪刚陈纪刚说课流程说课流程 等比数列与等差数列是平行结构关系，两者之间存等比数列与等差数列是平行结构关系，两者之间存在着一定联系，通过类比、拓展，培养学生的创新在着一定联系，通过类比、拓展，培养学生的创新思维和探索精神思维和探索精神, ,是增强学生应用意识和数学能力是增强学生应用意识和数学能力的良好载体。的良好载体。等比数列的前等比数列的前n n项和是从大量数学问题和现实问题项和是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中蕴涵着类比、

2、中抽象出来的一个模型，在公式推导中蕴涵着类比、分类讨论等数学思想和方法。分类讨论等数学思想和方法。 等比数列的前等比数列的前n项和是项和是“等差数列及其前等差数列及其前n n项和项和”与与“等比数列等比数列”内容的延续、并且它与函数等知识内容的延续、并且它与函数等知识有着密切的联系有着密切的联系教材的课程设置教材的课程设置知识的应用价值知识的应用价值内容的人文价值内容的人文价值教学重点、难点教学重点、难点重点：等比数列的前重点：等比数列的前n n项和公式推导及其简单应用项和公式推导及其简单应用难点：等比数列的前难点：等比数列的前n n项和公式的推导项和公式的推导这样确定重点，凸现了掌握知这样确

3、定重点，凸现了掌握知识的三个层次：识记、理解和运识的三个层次：识记、理解和运用用并且公式的推导用到了多种并且公式的推导用到了多种重要的数学思想和方法。重要的数学思想和方法。 推导公式思想方法，学生是很推导公式思想方法，学生是很难想到的，这对学生的思维是一难想到的，这对学生的思维是一个突破个突破认知认知思维思维能力能力学生在学习本节内容之前已经学生在学习本节内容之前已经学习等差、等比数列的概念和通项学习等差、等比数列的概念和通项公式及等差数列的前公式及等差数列的前n n项和的公式项和的公式 初步具备运用知识解决问初步具备运用知识解决问题的能力；但对知识的整合能题的能力；但对知识的整合能力、问题的

4、探究能力及思维的力、问题的探究能力及思维的严密性上还需要进一步培养和严密性上还需要进一步培养和提高提高. .很容易把本节内容与等差数列前很容易把本节内容与等差数列前n n项和公式的形成、特点等方面进行项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素不利因素是：类比，这是积极因素不利因素是：本节公式的推导与等差数列前本节公式的推导与等差数列前n n项和项和公式的推导转化方式上有很大的不同，公式的推导转化方式上有很大的不同，这对学生是一个难点这对学生是一个难点 1 1知识目标：理解等比数列前知识目标：理解等比数列前n n项和公式的推导方项和公式的推导方法，掌握等比数列前法，掌握等比数列前n n项和

5、公式及应用。项和公式及应用。 2 2能力目标：培养学生观察问题、思考问题能能力目标：培养学生观察问题、思考问题能力，并能灵活运用基本概念分析问题解决问题力，并能灵活运用基本概念分析问题解决问题的能力；提高学生运算求解、数据处理的能力；的能力；提高学生运算求解、数据处理的能力；锻炼数学思维能力。锻炼数学思维能力。 3 3情感目标：通过对公式推导方法的探索与发情感目标：通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点这一目标体现了基础知识的落这一目标体现了基础知识的落

6、实、基本技能的形成，这是数学实、基本技能的形成，这是数学教学的首要环节，也正符合课程教学的首要环节，也正符合课程标准的要求标准的要求因为数学教学的最终目的是通过因为数学教学的最终目的是通过思想方法的渗透以及思维品质的思想方法的渗透以及思维品质的锻炼，从而让学生在能力上得到锻炼，从而让学生在能力上得到发展发展 问题呈现阶段问题呈现阶段探索与发现阶段探索与发现阶段公式应用阶段公式应用阶段教学过程教学过程问题驱动问题驱动层层铺垫层层铺垫从特殊到一般从特殊到一般公式推导公式推导启发启发探究探究选择公式选择公式变式的应用公式变式的应用公式应用公式应用公式变式设计题组变式设计题组创设情境，创设情境，引入课

7、题引入课题归纳类比归纳类比, ,推导公式推导公式应用公式，应用公式，深化理解深化理解 加深理解，加深理解，总结归纳总结归纳课后作业，课后作业，分层练习分层练习1、创设情境，引入课题、创设情境，引入课题一名高中学生想到私人工厂打暑期工一名高中学生想到私人工厂打暑期工, ,老板说老板说“你是一你是一名高中生，那我给你一个工资方案：我每天付你名高中生，那我给你一个工资方案：我每天付你1000010000元薪水。但有个条件作为回报，从工作的第一天开始，元薪水。但有个条件作为回报，从工作的第一天开始，第一天你必须给我创造第一天你必须给我创造1 1分钱的财富，第二天创造分钱的财富，第二天创造2 2分分钱的

8、财富，第三天创造钱的财富，第三天创造4 4分钱的财富，依此类推，每天分钱的财富，依此类推，每天创造的财富为前一天的创造的财富为前一天的2 2倍。你愿意为我工作倍。你愿意为我工作1 1个月个月（3030天）吗？天）吗？”学生听了老板的方案后显得很高兴，学生听了老板的方案后显得很高兴，感觉很划算，但又一想天底下有这么好的事吗？假如感觉很划算，但又一想天底下有这么好的事吗？假如你是这名学生你会答应老板的方案吗？你是这名学生你会答应老板的方案吗？ 以学生身边的事情编拟情景，以学生身边的事情编拟情景，引起学生的极大兴趣，这引起学生的极大兴趣，这“诱诱人人”的条件到底有没有陷井引的条件到底有没有陷井引起学

9、生的思考，学生很自然的起学生的思考，学生很自然的参与了情境中的角色，这样可参与了情境中的角色，这样可以极大地带动学生的积极性。以极大地带动学生的积极性。1、创设情境，引入课题、创设情境，引入课题2、归纳类比归纳类比,推导公式推导公式 bn 1，2，22，23，2291121121111111342312.:,)3(:)2(, 1,.:(1)nnnnnnnnnnnnnnnnssaaaasaaasassnqaannnqaaqaaaaaaaa的递推公式项和数列前等比数列的通项公式等比数列的定义从等比数列的结构特点上认识这个从等比数列的结构特点上认识这个递推关系式，发现等比数列中的每递推关系式，发现等

10、比数列中的每一项乘以公比一项乘以公比q q，就得到它的后一项。，就得到它的后一项。如果数列中的所有各项都同时乘以如果数列中的所有各项都同时乘以q q，整个数列的项就向后移了一位。整个数列的项就向后移了一位。等比数列中任意一项都可以转等比数列中任意一项都可以转化为用两个基本量首项化为用两个基本量首项a a1 1和公比和公比q q来表示。来表示。 这些等量关系式中已经出现了这些等量关系式中已经出现了我们要求的未知元我们要求的未知元s sn n，让学生从，让学生从中得到启发。中得到启发。知识回顾知识回顾2、归纳类比归纳类比,推导公式推导公式 设等差数列设等差数列 bn 的首项为的首项为b1，公差为，

11、公差为d因为因为b1+bn=b2+bn-1=b3+bn-2= sn=b1+ b2 +b3 +bn-2+bn-1+bnsn=bn+bn-1+bn-2+b3 + b2 +b12sn=(b1+bn)+ (b2+bn-1)+ + (bn-1+b2)+ (bn+b1） =n(b1+bn)思想：消去差异，化繁为简,即“多少”。 (4) (4) 等差数列前等差数列前n n项和公式的推导过程：项和公式的推导过程：2、归纳类比归纳类比,推导公式推导公式 通过讨论、探究后学生拿出了以下种求和的方案通过讨论、探究后学生拿出了以下种求和的方案: 方案方案1：观察、猜想可得：观察、猜想可得s1=1s2=1+2=3s3=

12、1+2+22=7s4=1+2+22+23=15 依此类推，依此类推，s30=23012、归纳类比归纳类比,推导公式推导公式 方案2：提取公比2，解方程求s301221)21(221)2221(2122221303030303030282293230ssss2、归纳类比归纳类比,推导公式推导公式 方案3：bn 1，2，22，23，229， 2bn 2，22，23，229， 230， s30=1+2+22+23+229 2s30= 2+22+23+24+230方案方案3 3：bbn n 1 1，2 2，2 22 2，2 23 3，2 22929， 2b2bn n 2 2，2 22 2，2 23 3

13、，2 22929，2 23030， s s3030=1+2+2=1+2+22 2+2+23 3+ +2+22929 2s2s3030= 2+2= 2+22 2+2+23 3+2+24 4+ +2+23030122-0.0001s-30303030s2、归纳类比归纳类比,推导公式推导公式 疑问：（）为什么等比数列每一项都疑问：（）为什么等比数列每一项都乘以公比？乘以公比？（）为什么两个和式做差？（）为什么两个和式做差？s30=1+2+22+23+229bn 1，2，22，23，2292bn 2，22，23，229， 2302s30= 2+22+23+229+ 23030302-1s-思想思想：消

14、除差别，化繁为简，得到公式，这种方法叫错位相减法 2、归纳类比归纳类比,推导公式推导公式 n11)1 (qaasqnnnnaaaaas 132111212111 nnnqaqaqaqaas即即让学生在教师的指导下，从特殊到让学生在教师的指导下，从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习学生自己探究公式，从而体验到学习的成就感的成就感（1-q）sn=a1-a1qn11111qnaqqqaasnn学生很容易在公式整理的时候忽视了学生很容易在公式整理的时候忽视了1-q为为0的情况的情况,这里引导学生对这里引导学生对 q 进行进行分类讨论，

15、得出公式，锻炼了学生的分分类讨论，得出公式，锻炼了学生的分类思想类思想11 1(1)11nnnaqsaqqq探讨探讨2 2： 结合等比数列的通项公式 , 如何把 用 表示出来？1naaq、n-1n1a= a qns（1-q）sn=a1-a1qn 探讨探讨1 1：qqaasn1n11？sn=1-q(q=1)(q=1)qaan11na2、归纳类比归纳类比,推导公式推导公式 引例的解答：引例的解答： 2301 10737418 23 万元远大于万元远大于30万元万元。把引入课题时的悬念给予解释，有助于把引入课题时的悬念给予解释，有助于学生积极思考从计算结果中让学生明学生积极思考从计算结果中让学生明确

16、实际问题的解决离不开数学，在市场确实际问题的解决离不开数学，在市场经济中必须有敏锐的数学头脑经济中必须有敏锐的数学头脑例例1 1、求下列数列的前、求下列数列的前8 8项和：项和： 19114812 70 .2 4 3aaq1( 1 )， ，；2( 2 )，.,192, 2, 6,. 11nnnnsnaaqaa项和前求中等比数列nqsaann和求.314,512, 1. 21 .,214,23. 3133asaan求中，已知等比数列变式：变式：3 3、应用公式，深化理解应用公式，深化理解例例1（1）主要是直接运用公式）主要是直接运用公式（2）首先通过）首先通过a1、a9 求出公比，再求出公比，再

17、求和，感受知三求二的思想求和，感受知三求二的思想用变式设计题组，深化学生对公式的用变式设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点让学生进式运用公式、研究公式特点让学生进一步感受知三求二的解题方法，并且一步感受知三求二的解题方法，并且在不知道公比是否为在不知道公比是否为1的情况下的情况下,利用利用等比数列求和公式求和时一定要对公等比数列求和公式求和时一定要对公比进行分类讨论。比进行分类讨论。231.n+ a+ a + a + a 例例2 2：求求和和 1 1解题时，以学生分析为主，教师解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨

18、，该题有意培养学适时给予点拨，该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想论的数学思想 3、应用公式，深化理解应用公式，深化理解)0(asn=1-q(q=1)(q=1)qaan11nasn=1-q(q=1)(q=1)1 (1nqa1na2、 等比数列前等比数列前n n项和公式的应用：项和公式的应用：（1 1）q q的取值的取值是利用公式的前提；是利用公式的前提；（) ) 要根据题意，适当选择公式。要根据题意，适当选择公式。1、 等比数列前等比数列前n n项和公式项和公式及推导方法及推导方法： “错位相减法”通过师生的共同小结，发挥学生的主体通过师生的共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也能作用，有利于学生巩固所学知识，也能培养学生的归纳和概括能力。进一步完培养学生的归纳和概括能力。进一步完成认知目标和素质目标。成认知目标和素质目标。4、总结归纳，加深理解、总结归纳，加深理解5、课后作业，分层练习、课后作业，分层练习深化学生对公式的认识和理解深化学生对公式的认识和理解3等比数列等比数列an的公比的公比q= ，a8=1，求它的前，求它的前8项项和和s8。21