完美版圆锥曲线知识点总结

1、圆锥曲线的方程与性质1椭圆1)椭圆概念平面内与两个定点 F1 、F2 的距离的和等于常数2a(大于 |F1F2 | )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若 M为椭圆上任意一点，则有| MF1 | | MF 2 | 2a。椭圆的标准方程为：22xy22ab0 )(焦点在x 轴上)2 y2a2xx2 1（ a b 0 ） b2焦点在y轴上)。注：以上方程中a,b 的大小a b 0 ，其中 b22c；22在 ax22 by22221和 a2 b21 两个方程中都有 a0的条件，要分清焦点的位置，只要看x2 和 y2的分母的大小。例如椭圆m 0， n 0，

2、mn )当 m n 时表示焦点在 x 轴上的椭圆；当mn时表示焦点在 y 轴上的椭圆。2)椭圆的性质2 x 范围：由标准方程 2 a22 y b21知|x| a，| y| b ，说明椭圆位于直线 xa，b 所围成的矩形里；对称性：在曲线方程里，若以y代替 y方程不变，所以若点 (x, y)在曲线上时，(x, y) 也在曲线上，所以曲线关于 x 轴对称，同理，以x 代替 x 方程不变，则曲线关于 y 轴对称。若同时以x 代替 x ， y 代替 y方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于 x轴、 y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心 叫椭圆的中心； 顶

3、点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与 x轴、 y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知： 椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在 Rt OB2F2中，|OB2 | b，|OF2| c ，| B2F2 | a，且|OF2|2 | B2F2 |2 | OB2 |2 ，即 c2 a2 b2；c 离心率： 椭圆的焦距与长轴的比 e 叫椭圆的离心率 。 a c 0， 0 e 1，且 e越接近 1， c就 a越接近 a，从而 b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于 0， c就越接近于 0，从而 b越接近于 a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当 a b时， c 0，两

4、焦点重合，图形变为圆，方程为x2 y2 a2 。2双曲线(1)双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线(| PF1 | | PF2 | 2a )。注意：式中是差的绝对值，在 0 2a |F1F2|条件下；|PF1| |PF2| 2a时为双曲线的一支； |PF2| |PF1| 2a时为双曲线的另一支(含 F1的一支)；当 2a |F1F2|时， |PF1| |PF2| 2a表示两条射线；当 2a |F1F2 |时， | PF1 |PF2 | 2a不表示任何图形；两定点F1, F2叫做双曲线的焦点，| F1F2 | 叫做焦距。2)双曲线的性质范围：从标准方程22x 2

5、y2 1 ，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线 a 2 b2x a 的外侧。即22x2 a2 ， x a即双曲线在两条直线 xa的外侧。22对称性：双曲线 x 2 y2 1关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点 a 2 b222是双曲线 x 2y2 1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。a 2 b 2顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线22x2 y2 1的方程里，对称轴是 x, y 轴，所 a 2 b222以令 y 0得 xa ，因此双曲线和 x轴有两个交点 A ( a,0)A2(a,0) ，他们是双曲线 x2 y2 1的顶点。a

6、2 b 2令 x 0 ，没有实根，因此双曲线和 y 轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段 A A2叫做双曲线的实轴，它的长等于 2a,a 叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段B B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于 2b,b 叫做双曲线的虚半轴长。渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从22图上看，双曲线 x2 y2 1 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。a2 b2 等轴双曲线：1）定义： 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式： a b ；2） 等

7、轴双曲线的性质： （ 1）渐近线方程为： y x ；（2）渐近线互相垂直。 注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其 他几个亦成立。223）注意到等轴双曲线的特征b ，则等轴双曲线可以设为： x2 y2（ 0） ，当 0时交点在 x 轴，0时焦点在 y 轴上。22注意 x 2 y 2 16 921与 y292x161的区别：三个量 a,b,c中 a,b 不同（互换） c 相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。3抛物线1）抛物线的概念平面内与一定点 F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 （定点 F 不在定直线 l 上 ）。定点 F

8、叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。2方程 y2 2 px p 0 叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上， 焦点坐标是 F（ p ,0 ），它的准线方程是 x p ； 22（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：2 2 2y22px，x2 2py ，x22 py .这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如表：标准方程y2 2px (p 0) yy2 2px(p 0)x2 (pyy2py0)x2 2py(p 0)图形lFyolxFo xFxFxl焦点坐标(

9、p,0)2p( 2 ,0)p(0, )2p(0, 2p)准线方程xp2xp2y 2py 2p范围x0x0y0y0对称性x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率e1e1e1e1说明：(1)通径： 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；( 2)抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；(3)注意强调 p 的几何意义：是焦点到准线的距离。4. 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹) 上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系

10、： (1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上 的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。点与曲线的关系：若曲线 C的方程是 f(x,y)=0 ，则点 P0(x 0,y 0)在曲线 C上 f(x 0,y 0)=0 ；点 P0(x 0,y 0)不在曲线 C 上 f(x 0,y 0) 0。两条曲线的交点：若曲线 C1，C2的方程分别为 f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0, 则点 P0(x 0,y 0)是 C1， C2的交点 f1(x0,y0) 0方程组有 n 个不同的实数解，两条曲线就有 n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没

11、 f2(x0,y0) 0有交点。二、圆：1、定义： 点集 M2、方程： (1) 标准方程OM=r ：圆心在，其中定点 O 为圆心，定长 r 为半径 .2 2 2 c(a,b) ，半径为 r 的圆方程是 (x-a) +(y-b) =r圆心在坐标原点，半径为 r 的圆方程是 x2+y2=r 2(2) 一般方程：当 D2+E2-4F >0时，一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为 ( D , E)半径22 D E 2 2是 D 2 E2 4F 。配方，将方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+ D ) 2+(y+ E )2=D2 E2 - 4F2 224当

12、D2+E2-4F=0 时，方程表示一个点 (- D ,- E );22当 D2+E2-4F < 0 时，方程不表示任何图形 .( 3)点与圆的位置关系已知圆心 C(a,b), 半径为 r, 点 M的坐标为 (x 0,y 0) ，则 MC< r点 M在圆 C 内，MC=r点M在圆 C上， MC> r点M在圆 C内，其中 MC= (x0 -a)2 (y0 -b)2 。( 4)直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直线与圆相切 有一个公共点；直线与圆相离 没有公共点。直线和圆的位置关系的判定：(i) 判别式法； (ii) 利用圆心 C

13、(a,b) 到直线 Ax+By+C=0的距离 d Aa Bb C A2 B2与半径 r 的大小关系来判定。三、圆锥曲线的统一定义：平面内的动点 P(x,y) 到一个定点 F(c,0) 的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之 比是一个常数 e(e> 0), 则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0) 称为焦点，定直线 l 称为准线，正常数 e 称为离心率。当 0<e<1 时，轨迹为椭圆；当 e=1 时，轨迹为抛物线；当 e>1 时，轨迹为双曲线。四、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线定义1到两定点 F1,F 2的距离之和为定值 2a(2a>|F

14、1F2|) 的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹 .(0<e<1)1到两定点 F1,F 2的距离之差的 绝对值为定值 2a(0<2a<|F 1F2|) 的点的轨迹 2与定点和直线的距离之比为 定值 e 的点的轨迹 . ( e>1)与定点和直线的距离相等的点的轨迹 .轨迹条件点集： (M MF1+MF2=2a, F 1F2 2a.点集：点集： M MF1-MF2.=±2a, F2F2> 2a.点集M MF=点 M到直线 l 的距离 .图形方程标准 方程22x2 y2 1( a b>0) a 2 b222 xy2 2 1(a&

15、gt;0,b>0) a 2 b2y2 2px参数 方程x acosy bsin（参数 为离心角）x asecy btan（参数 为离心角）2x 2pt (t 为参数 ) y 2pt范围 a x a， b y b|x|a ，y Rx0中心原点 O（ 0，0）原点 O（ 0， 0）顶点(a,0), ( a,0),(0,b) , (0,b)(a,0), ( a,0)(0,0)对称轴x 轴， y 轴； 长轴长 2a, 短轴长 2bx 轴， y 轴 ; 实轴长 2a, 虚轴长 2b.x轴焦点F1(c,0), F 2( c,0)F1(c,0), F 2( c,0)F(2p,0)准线2a x=

16、7;c准线垂直于长轴，且在椭圆外.2ax=±c准线垂直于实轴， 且在两顶点的 内侧 .x=- p2 准线与焦点位于顶点两侧， 且到顶点的距离相等 .焦距2c ( c= a2 b2 )222c ( c= a b )离心率e c (0 e 1) ae c (e 1) ae=1备注 1】双曲线：等轴双曲线：双曲线 x2 y2 a2 称为等轴双曲线，其渐近线方程为y x，离心率 e 2 .共轭双曲线： 以已知双曲线的虚轴为实轴， 实轴为虚轴的双曲线， 叫做已知双曲线的共轭双曲线2x2a2by22 与2x2a2 y b2互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：2 x2a共渐近线的双曲线系方程：2

17、 x2a2y2 （ 0） 的渐近线方程为by22 0.x2a22by2 0如果双曲线的渐近线为y 0 时， b2 它的双曲线方程可设为 x2 a2by2( 0).备注 2】抛物线：1)抛物线y2 =2px(p>0) 的焦点坐标是 ( p ,0) ，准线方程 x=- p ，开口向右；抛物线 y2 =-2px(p>0) 的焦点坐 22，准线方程 x= p ，开口向左；抛物线 x2 =2py(p>0) 的焦点坐标是 (0, p ) ，准线方程 y=- p ，开2 2 2标是 (- p ,0)2口向上；抛物线 x2=-2py (p>0)的焦点坐标是( 0,- p )，准线方程

18、y= p ，开口向下 . 222)抛物线 y 2 =2px(p>0) 上的点 M(x0,y0) 与焦点 F 的距离 MFp2x0；抛物线 y2 =-2px(p>0) 上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离 MFx03)设抛物线的标准方程为=2px(p>0) ，则抛物线的焦点到其顶点的距离为 p ，顶点到准线的距离 p ，焦点 22到准线的距离为 p.4)已知过抛物线2y =2px(p>0)焦点的直线交抛物线于 A、B两点，则线段 AB称为焦点弦，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长 AB =x1x2 +p 或 AB22p ( 为直线 AB的倾斜角 )，y1

19、y2 sin2p2 ，x1x2 p , AF4x12p( AF2叫做焦半径 ).五、坐标的变换：1)坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向 ) 叫做坐标变换 .实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程( 2)坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平 移，简称移轴。( 3)坐标轴的平移公式：设平面内任意 中的坐标是 ( x', y' ) .设新坐标系的原点点M，它在原坐标系 xOy 中的坐标是( x,y)O在原坐标系 xOy 中的坐标是 (h,

20、k) ，则，在新坐标系x' h或y' k y'Oyhk叫做平移 (或移轴 )公式.( 4)中心或顶点在 (h,k) 的圆锥曲线方程见下表：方程焦点焦线对称轴椭圆(x-h)2 +(y-k)2 =12 + 2 =1 ab( ± c+h,k)2 a x=± +h cx=h y=k(x-h)2 +(y-k)2 =12 + 2 =1 ba(h, ± c+k)2 a y=± +k cx=h y=k双曲线(x-h)2 -(y-k)2 =1( ± c+h,k)2 a x=± +k cx=h y=k2 - 2 =1 ab(y-k

21、)2 - (x - h)2 =12 - 2 =1 ab(h, ± c+h)2 a y=± +k cx=h y=k抛物线2(y-k) 2=2p(x-h)( p +h,k)2x=- p +h2y=k2(y-k) 2=-2p(x-h)(- p +h,k)2x= p +h2y=k(x-h) =2p(y-k)(h, p +k)2y=- p +k2x=h2(x-h) 2=-2p(y-k)(h,- p +k)2y= p +k2x=h六、椭圆的常用结论：1. 点 P 处的切线 PT平分 PF1F2在点 P 处的外角 .2. PT平分 PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT上的射影

22、 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的 两个端点 .3. 以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离 .4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切5.若P0(x0,y0) 在椭圆2x2a2y2 1上，则过 P0 的椭圆的切线方程是 x02x bay0yb21.6.若P0(x0,y0) 在椭圆2x2aby2 1外，则过 P0 作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦 P1P2 的直线方程是x0x2ay0yb21.7.2椭圆 x2 a2b2(a> b> 0)的左右焦点分别为 F1，F2，点 P 为椭圆上任意一点F1PF2，则椭圆的焦点角形的面积为S F1PF2F1

23、PF2b2 tan .228. 椭圆 x2a2b2a>b>0)的焦半径公式|MF1| a ex0, |MF2 | a ex0( F1( c,0) , F2 (c,0) M(x0,y0).9. 设过椭圆焦点 F作直线与椭圆相交 P、Q两点， A为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MF NF.10. 过椭圆一个焦点 F的直线与椭圆交于两点 P、Q, A 1、 A2为椭圆长轴上的顶点， A1P和 A2Q交于点 M，A2P和A1Q 交于点 N，则 MF NF.2 x 11. AB是椭圆 2a22 y b21的不平行于对称轴的弦，

24、M（x0 ,y0）为 AB的中点，则 kOM kABba22 ，即aK AB12. 若P0(x0,y0) 在椭圆2x2a2y2 1 内，则被 Po所平分的中点弦的方程是b2x0x2ay0yb22x02ayb022 ；b2x02。 a y0推论】：2 x 1、若 P0(x0,y0) 在椭圆 2 a22 y2 1 内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 x2 ba2 y b2x0x2a2 b02 。椭圆 a22by22 1a>b>o）的两个顶点为A1（ a,0） , A2（a,0） ，与 y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2 时 A1P1 与 A2P2交点的轨迹方程2是 ax2a2 y b

25、21.22、过椭圆 x2a2y2b21 (a>0, b > 0）上任一点 A（x0,y0） 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线 BC有定向且kBCb2x02a y0常数） .3、若 P 为椭圆2x2a2by2 1（a>b>0）上异于长轴端点的任一点 ,F1, F 2是焦点,PF1F2PF2F1，则 tan cot .a c 2 2224、设椭圆 x2 y2 1（a> b>0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记a2 b2sin cF1PF2,PF1F2, F1F2P，则有e.sin sin a2

26、25、若椭圆 x2 y2 1（a> b> 0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 0<e 2 1时，可在椭圆上 ab求一点 P，使得 PF1是 P到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项 .226、P为椭圆 x2 y2 1 （ a> b> 0）上任一点 ,F 1,F 2为二焦点， A为椭圆内一定点，则 ab2a |AF2 | |PA| |PF1 | 2a | AF1 | ,当且仅当 A, F2 ,P三点共线时，等号成立7、椭圆2 (x x0)2(y y0)a2b21与直线 Ax By C 0 有公共点的充要条件是22A2a222B2b2 (Ax02

27、By0 C)2 .2 x 8、已知椭圆 2 a22 y b21（ a>b>0）， O为坐标原点， P、 Q为椭圆上两动点，且OP OQ . (1)12|OP |212|OQ |212 ;(2)|OP|2+|OQ|2的最大值为 42ab2 ; (3) S OPQ b a ba2b2 的最小值是 a2 b 2 .a2 b29、过椭圆2x2a2 y b2a>b>0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦 MN的垂直平分线交x 轴于 P，则 |PF |MN |10、已知椭圆2x2a2 y b21( a>b> 0） ,A 、B、是椭圆上的两点， 线段AB的垂

28、直平分线与 x 轴相交于点P(x0,0) ,22则 a2 b2 ax0a2b211、设 P 点是椭圆2x2a2by22 1a > b>0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F2 为其焦点记 F1PF2，则(1) | PF1 | PF2 |2b .(2)1 cosPF1F2b2 tan .212 、设 A、2B 是椭圆 x2a22 y b2a > b>0）的长轴两端点， P是椭圆上的一点，PABPBABPA，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有22ab2 |cos | .(2)(1) |PA| a2 c2cos2tan tan1 e2.(3)S PABb22a2ba22c

29、otba13、已知椭圆2x2a2 y b21（ a >b> 0）的右准线 l与 x轴相交于点E ，过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A、B两点,点C 在右准线 l 上，且 BC x轴，则直线 AC经过线段 EF14 、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线， 与以长轴为直径的圆相交，的中点 .则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直16 、椭圆焦三角形中 , 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（ 离心率 ）.（注 :在椭圆焦三角形中 , 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为

30、内、外点. ）17、椭圆焦三角形中 , 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18、椭圆焦三角形中 , 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.七、双曲线的常用结论：1、点 P处的切线 PT平分 PF1F2在点 P处的内角 .2、PT平分 PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两 个端点 .3、以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线 相交 .4、以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切. （内切： P在右支；外切： P在左支）2 x 5、若 P0(x0,y0) 在双曲线 2 a2 y2 1( a> 0,b >0

31、) b2上，则过 P0 的双曲线的切线方程是 x02xay0 y 1.b21.2 x 6、若 P0(x0,y0) 在双曲线 2 a2 y2 1( a> 0,b >0)b2，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是 x0xy0yb21.27、双曲线 x2a2b2a>0,b > o）的左右焦点分别为F1， F2，点 P 为双曲线上任意一点F1PF2，则双曲线的焦点角形的面积为S F1PF2b2cot .228、双曲线 x2a2b21 （ a> 0,b >o）的焦半径公式： （ F1（ c,0）F2（c,0） ）当 M （x0,

32、y0）在右支上时，|MF1|ex0a, |MF2|ex0a；当 M (x0, y0)在左支上时， |MF1|ex0a,|MF2|ex0a。9、设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P 、Q两点， A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ分别交相应于 焦点 F 的双曲线准线于 M、N两点，则 MFNF.10、过双曲线一个焦点 F的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点， A1P和 A2Q交于点 M，A2P 和 A1Q交于点 N，则 MF NF.2211 、AB是双曲线 x2 y2a2 b21（ a> 0,b > 0）的不平行于对称轴的弦， M（x0,

33、y0）为 AB的中点，则KOM KABb2x0 ，2， a y0即 K ABb2x02a y012、若 P0（x0,y0） 在双曲线2x2 ay2b21（ a> 0,b > 0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是x0x2 ay0y b22 x02 ay02 b213、若 P0（x0,y0） 在双曲线2 x2 a2 y b21（a> 0,b > 0）内，则过 Po的弦中点的轨迹方程是2 x2 ay2b2x0x2 ay0yb2推论】：21、双曲线 x2a22y2 1 （ a> 0,b > 0）的两个顶点为 A1（ a,0）, A2（a,0） ，与 y轴平行的

34、直线交双曲线于 P1、P2时 b2A1P1与 A2P2 交点的轨迹方程是 x2a22by22 1.22、过双曲线 x2a22by22 1a> 0,b > o）上任一点 A（x0,y0） 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线 BC有定向且 kBCb2 x0 （常数） .a2 y023、若 P 为双曲线 x2a22 y b21 （a>0,b >0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2 是焦点 ,PF1F2PF2F1，则tan cot （或22c a tan cot ） . c a 224、设双曲线 x2a22 y b2a> 0,b &g

35、t; 0）的两个焦点为 F1、F2,P异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在PF1F2中，记 F1PF2PF1F2F1F2P，则有since.（sin sin ） a25、若双曲线 x2a22 y b21（a>0,b >0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 1< e 21 时，可在双曲线上求一点 P，使得PF1是 P到对应准线距离 d与 PF2的比例中项 .2 x 6、 P 为双曲线 x2 a2by2 1（a>0,b>0）上任一点,F1,F2为二焦点， A为双曲线内一定点，则|AF2 | 2a |PA|PF1|,当且仅当 A, F2 , P三点共线

36、且 P和 A,F2在 y 轴同侧时，等号成立27、双曲线 x2a2y2b21 （ a> 0,b > 0）与直线 Ax By C 0 有公共点的充要条件是22Aa22 BbC2.8、已知双曲线2x2ab21（ b>a > 0），O为坐标原点， P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ .1） |O1P |21|OQ |212 ;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为 42a b2 ;（3）SOPQ b2b2 a2a2b2的最小值是 a2 b 2b2 a2229、过双曲线 x2y2a2 b21（a>0,b >0）的右焦点 F作直线交该双曲线的右支于 M,N两点，弦 M

37、N的垂直平分线交x 轴于 P，则 | PF |MN |210 、已知双曲线 x2a22 y b21（a>0,b>0）,A、B是双曲线上的两点， 线段 AB的垂直平分线与 x 轴相交于点 P（x0,0） ,a2 b2则 x0 a b 或aa2 b2x011、设 P 点是双曲线2x2a2 y b21 （ a> 0,b > 0）上异于实轴端点的任一点 ,F 1、 F2为其焦点记F1PF2，则2b2(1) |PF1|PF2| 1 2cbos.(2)2S PF1F2 b cot 2 .12 、设 A、B是双曲线2x2a2 y b21（ a> 0,b >0）的长轴两端点

38、， P是双曲线上的一点， PABPBABPA2 2ab 1( a>0,b >0) b2 |cos | c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有 （1） |PA| 2 2 2 |a2 c2cos2 |(2) tantan 12e .(3) S PAB 2b222a2b22 cota的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ，过双曲线右焦点 F 的直线与双曲线相213 、已知双曲线 x2a22 y交于 A、B两点,点 C在右准线 l 上，且 BCx 轴，则直线 AC经过线段 EF 的中点 .14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 .15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直16、双曲线焦三角形中 ,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率 ）.（注: 在双曲线焦三角形中 , 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 ）.17、双曲线焦三角形中 , 其焦点所对的旁心将