二次函数的图象和性质

1、2. (2013山东枣庄,的解析式为(A. y=3(x+2)2+3C. y=3(x+2)2-3 【答案】A3. （2013山东泰安,线x=1 ;顶点坐标为（一1,3）;x>1时，y随x的增大而减小.其中正确结论的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C4. （2013山东泰安，16, 3分）在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（）、选择题1.（2013四川内江，9,3分）若抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点坐标为（0,-3）,则下列说法不正确的是（）A.抛物线的开口向上B.抛物线的对称轴是直线x=1C.当x=1时，y的最大值为-4D

2、.抛物线与x轴的交点坐标为（-1,0）, （3, 0）。【答案】C2个单位，那么得到的抛物线11, 3分）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移 ）B. y=3（x-2）2+3D. y=3（x-2）2-310, 3分）对于抛物线y=- 2 （x+1）2+3 ,下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直5. (2013山东济宁,A . a>0ABCD【答案】C5, 3分）二次函数y=ax2+bx+c（a w 0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（B,当-1<x<3 时，y>0x > 1时,y随x的增大而增大6.（2013山东滨州，12, 3分）如图，二次函数

3、 y=ax2+bx+c（a W0）的图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于C点, 且对称轴为x=1 ,点B坐标为（1, 0）,则下面的四个结论： 2a+b=0;4a2b+cv0;ac>0;当yv 0时，xv1或x>2.其中正确的个数是A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B.7. (2013山东烟台，11, 3分)如图是二次函数 y = ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为 x=1,且过点(一 53, 0).下列说法：abcv0;2ab=0;4a+ 2b+c<0,若(5, y1), ( 2 , y2)是抛物线上两点， 则y1 > y2.其中说法正确的是()A

4、.B.C.D.【答案】C8. (2013江西，6, 3分).若二次涵数 y=ax+bx+c(a W0)的图象与x轴有两个交点，坐标分别为 (x1 , 0), (x2 , 0),且x1<x2,图象上有一点 M (x0, y0)在x轴下方，则下列判断正确的是().A . a>0B. b2-4ac>0C. x1<x0<x2D. a(x0 x1)( x0 -x2)<0【答案】D2 .9. (2013浙江丽水，9, 3分)若二次函数y ax的图象过点P( 2,4),则该图象必经过点()A . (2,4) B . ( 2, 4) C . ( 2,4) D . (4, 2

5、)【答案】A10. (2013浙江湖州，10, 3分)如图，在10Xl0的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”.以。为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为3 J2,且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是A. 16B. 15C. 14 D.13【答案】C11. （2013湖南长沙 第10题3分）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则下列关系式错误.的是（

6、）A.a >0 B.c >0 C.b2-4ac >0 D.a+b+c>0【答案】D.12. （2013重庆A卷，12, 4分）一次函数y=ax+b（a>0）、二次函数y=ax2+bx和反比例函数在同一直角坐标系中的图像如图所示，A点的坐标为（-2,0）,则下列结论中，正确的是（）A. b=2a+k B . a=b+k C . a>b>0 D . a>k>012题图【答案】D13. （2013山东荷泽，8, 3分）已知b<0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下列四个图像之一.试根据图象分析，a的值应等于A. - 2B. - 1

7、C. 1D. 2【答案】C.一.一 ,一 214. (2013上海，3,4分)如果将抛物线y x 2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是()222.2 一(A) y (x 1)2； (B) y (x 1)2；(C) y x 1； (D) y x 3.【答案】C15. (2013四川成都，8, 3分)在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是()(A)y=x+ 3 (B) y=5 (C) y=2x (D) y=2x2+x7 x【答案】C9. (2013四川成都，9, 3分)一元二次方程x2+x2=0的根的情况是()(A)有两个不相等的实数根(B) 有两个相等的实数根(C)只有一个实数

8、根 (D)没有实数根【答案】A16. (2013四川雅安，9,3分)将抛物线y = ( x - 1)2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为A. y = ( x - 2)2 B. y = ( x - 2)2+6 C. y = x2 + 6 D. y = x2【答案】D18. (2013山东德州，11, 3分)函数y x2 bx c与y x的图象如图所示， 有以下结论：b2 4c>0;b c 1 0;3b c 6 0;当1<x<3时，x2 (b 1)x c<0.其中正确的个数是()A . 1B. 2C. 3D. 4% 13【答案】B19. (201

9、3,江苏苏州，6, 3分)已知二次函数y = x2 3x+m (m为常数)的图象与 x轴的一个交点为(1, 0), 则关于x的一元二次方程 x2-3x+ m= 0的两实数根是A . x1 = 1, x2 = 1B . x1 = 1, x2=2C . x1 = 1, x2 = 0D . x1 = 1, x2= 3【答案】B20. (2013江西南昌，12, 3分)若二次函数y=ax2+bx+c (a w 0)的图象与 x轴有两个交点，坐标分别为(x1,0),(x2,0), 且x1<x2,图象上有一点 M (x0,y0 )在x轴下方，则下列判断正确的是()A.a>0 B.b2-4ac

10、>0C.x1<x0<x2D.a(x0-x1)(x0-x2)<0.【答案】D221. (2013内家古呼和浩特，8, 3分)在同一平面直角坐标系中， 函数y mx m和函数y mx 2x 2 (m22. (2013山东聊城，8, 3分)二次函数y ax2 bx的图象如图所示，那么一次函数 y ax b的图象大致是( )1 2 y xy23. （2013山东聊城，12, 3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 经过平移得到抛物线其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为（）2xB. 4A. 2【答案】BD. 1624. （2013甘肃兰州,3, 4分）二次函数y2(

11、 x1)23的图象的顶点坐标是（A. (1, 3) B. ( 13)C. (1,3)D.3)25. （2013甘肃兰州,13, 4分）二次函数2 axbxc（a 0）的图象如图所示.下列说法中不正确的是 （B. a 0C.DY 026. (2013 台湾)坐标平面上有一函数y= 3x212x 7的图形，其顶点坐标为何?(A) (2, 5)(B) (2, 19)(C) ( 2, 5)(D) ( 2, 43)【答案】A27. （2013四川资阳，10, 3分）如图2,抛物线 y=ax2 + bx+c（a W0）过点（1, 0）和点（0, 2）,且顶点在第三象限，设 之a-b + c,则P的取值范围

12、是（）A. -4<P< 0 B . -4<P<- 2 C . 2<Pv 0 D . -1<P< 0【答案】A.28. （2013四川广安，10, 3分）已知二次函数y=ax2 + bx+c的图像如图3所示，对称轴是直线 x=1.下列结 论： abc>0, 2a+b=0,b2 4ac<0, 4a+2b+c>0,其中正确的是（）【答案】C29. （2013浙江义乌，10, 3分）如图，抛物线y=ax2 + bx+ c与x轴交于点A（1, 0）,顶点坐标为（1, n）,与y2轴的交点在（0, 2）、（0, 3）之间（包含端点），则下列结论：

13、当x>3时，y<0;3a+b>0;一1QW 2 ；33小W4中，正确的是（）.A.B.C.D.x=1【答案】D30. （2013甘肃白银，9, 3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a W0）的图象如图所示，在下列五个结论中： 2a-b<0 abc<0 a+b+c<0 a-b+c>04a+2b+c>0,错误的个数有（）A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个【答案】B二、填空题1.（2013四川成都，24, 4分）在平面直角坐标系 xoy中，直线y= kx（k为常数）与抛物线y= <x2-2交于A, B两 3点，且A点在y轴左侧，P

14、点的坐标为（0, 4）,连接PA PB,有以下说法： PO- PA- PB；当k>0时，（PA+ AO（ PB- BO的值随k的增大而增大；当 k=- 近时,BP=BO BA PAB面积的最小值为4 J6 .3其中正确的是 .（写出所有正确说法的序号）【答案】、2.2. （2013广东湛江，14, 4分）抛物线y x 1的取小值是【答案】1.3. （2013江苏宿迁，16,3分）若函数y=mx2+ 2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数 m的值是 . 【答案】1或0.4. （2013甘肃兰州，20, 4分）如图，以扇形 OAB的顶点O为原点，半径 OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐

15、标系，点 B的坐标为（2, 0）,若抛物线y -x2 k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数 k的取值2【答案】.-2<k<05. （2013湖北荆门，17, 3分）若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点 A（m, n）, B（m+6, n）,则n【答案】9三、解答题3. （2013福建福州，22, 14分）我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是y=ax2+bx （aw。（1）对于这样的抛物线；当顶点坐标为（1, 0）时，a=;当顶点坐标为（m, m）, mwo时，a与m之间的关系式是 ；（2）继续探究，如果 bwQ且过原点的抛物线顶点在直线y= kx （kwQ）

16、上，t#用含k的代数式表示b;（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A1，A2,，An在直线y=x,横坐标依次为1, 2,，n（n为正整数,且n为正整数,且n<12,分别过每个顶点作 x轴的垂线，垂足记为 B1, B2,，Bn,以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn.若这组抛物线中有一条经过点Dn,求所有满足条件的正方形边长.【答案】(1)当顶点坐标为(1, 1)时，a=1;当顶点坐标为(m, m), mwo时，a与m之间的关系式是a(2)设抛物线的顶点的坐标为(m, km),那么 y a(x m)2 km ax2 2amx am2 km .对口y= ax2+bx,可得2ambkm

17、0,由此得至ij b=2k.2am.(3)正方形的顶点D1D2,，Dn的坐标分别为(2, 1)、(4, 2)、(6, 3)、(8, 4)、(10, 5)、(12, 6)、(14,7)、(16, 8)、(18, 9)、(2010)、(22, 11)、(24, 12),这些点在直线 y2x±-由(1)知，当抛物线的顶点(m, m)在直线y=x上时，a根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点为原点 。和(2m, 0).所以顶点为(m, m)的抛物线的解析式为 y1， C 、x(x 2m). m联立y gx和y1-x(x 2m),可得点 m33D的坐标为(-m, m).24当m分别取正整数4、

18、8、12时，对应的点D 为 D3(6, 3)、D6(12,6)、D9(18, 9),它们所对应的正方形的边长分别为3、6、9 (如图1所示).力 g 2 A Qio 12图14. (2013四川内江，28,12分)已知二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A (x1,0 )、B(x2,0)(x1<x2) 两点, 与y轴交于点C, x1、x2是方程x2+4x-5=0的两根.(1)若抛物线的顶点为D,求S；AABC SACD勺值；(2)若/ ADC=90 ,求二次函数的解析式.【答案】 解：(1)因为x2 + 4x 5 = 0的两根是x=5, x= 1.所以A B两点

19、的坐标为 A(-5, 0)、B(1 , 0),所以抛物线的对称轴为 x=- 2.依二次函数图象与一元二次方程解得关系，可设二次函数的解析式为y=a(x2+4x5) (a>0)则C D的坐标分别为 C(0, 5a), D(2, 9a),从而可画出大致图像，如图1所以 S；A ABC= 2 AB OC= 15a.设AC与抛物线的对称轴交于点E,则由三角形相似可求得E点的坐标为(一2, 3a)所以 S；A ADC= SA AE> S；A DEC= 2 (9a 3a) x 3+ 2(9a 3a) x 2= 15a.所以 SA ABC： SA ACD= 1.(2)当/ ADC= 90

20、6;时， ADC直角三角形，依勾股定理AC2= AD2+ DC2因为 AC2= 52+(5a)2 , AD2= 32+(9a)2 , DC2= 22+(9a5a)2_6所以52+(5a)2 =32+(9a)2 +22+(9a 5a)2 解得a= ± 6 (负值不合题意，舍去),6一 62.65一 6所以二次函数的解析式为y= 6 (x2 + 4x 5) = 6 x2 + 3 x- 6 .5. (2013安徽第16题8分)已知二次函数图像的顶点坐标为(1,-1),且过原点(0,0),求该函数解析式。 【解】二.二次函数图像的顶点坐标为(1, -1), .可设为y=a (x-1)2-1,

21、当x=0时，y=0,0=a(0-1)2-1,a=1, 所求函数解析式为 y=(x-1)2-1.6. (2013山东威海，22, 9分)如图，已知抛物 y=x2+bx+c与x轴交于点 A B, AB=2,与y轴交于点 C,对称轴为直线x=2.(1)求抛物线的函数表述式；(2)设P为对称轴上一动点，求 APC周长的最小值；(3)设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点 A、B、D E为顶点的四边形是菱形，则点 D的坐标:抛物y=x2+bx+c与x轴交于点 A、B，1,3是方程x2+bx+c=0的两个根.由根与系数的关系，得 1+3=-b, 1X3=cb=-4 , c=3抛物线的函数表达式为y=

22、x2-4x+3(2)连接AC, BC, BC交对称轴于点巳连接PA.I笫或盘图)由(1)知抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3，点A、B的坐标分别为(1,0), (3,0)点C的坐标为(0,3).BC= 32+32=3 2 , ac= . 32+12= .10.点 A B关于对称轴x=2对称，PA=PBPA+PC=PB+PC此时，PB+PC=BC，当P点在对称轴上运动时，PA+PC勺最小彳1等于BCAPC周长的最小值=AC+AP+PC=3 2+ -10(3) (2,-1)135. (2013山东威海，25, 12分)如图，在平面直角坐标系中，直线丫=2*+2与直线丫=*13交于点A,点B在直

23、线y=2x+2上，/ BOA=90 ,.抛物线y=ax2+bx+c过点A,O ,B,顶点为E.求点A, B的坐标求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；连接OD设直线y=x与抛物线的对称轴交与点 C,直线BC交抛物线于点D,过点E作FE/ x轴，交直线AB于点F,CF, CF交x轴于点M.（3）试判断OD与CF是否平行，并说明理由y x1313y _ x【答案】解：（1）由直线y= 2x+2与直线y=x交于点A,得 22x 3解这个方程组得y 3点A的坐标为（3,3 ） 作AGLx轴，垂足为点 G.,作BHLx轴，垂足为点 H / BOA=90 , / BOHM AOG=90/ OAG它 AOG=

24、90 / OAGh BOH . / BHO=/ AGO=90 ./BHO sOGABH OHOG AG . OG=AG=3BH=OHm)131设点B的坐标为（-m,成，代入y= 2 x+ 2 ,得m=2解，得m=1,，点B的坐标为（-1,1 ）（2） ;抛物线y=ax2+bx+c经过原点O , 二. C=01 a29a 3b 31b由抛物线过点A (3,3), B (-1,1 )两点，可得 a b 1 解，得 21 21y x -x抛物线的表达式为 2211, .抛物线顶点E坐标为（28 ）.OD/ CF1x 一由（2）可知，抛物线的对称轴为直线2 ,直线y=x与抛物线的对称轴交与点1 1,C

25、, 点C的坐标为（22）设直线BC的表达式为ykx b，把 B (-11 1）,c（ 2,2）代入，得2k2解，得12y x ,直线BC的表达式为 33直线BC与抛物线交于点 B,点D,1212 14xx xx1, x23322 .解得 343代入12242-xy1一一，一33,得9.，点D的坐标为（39）作DNL x轴，垂足为点NDN 1 .tan / DON=ON = 6 FE/ x轴，点E坐标为1112, 8）, .点F的纵坐标为813411g 1g 1 x把.y=8 代入 y= 2 x+ 2 ,得 2 x+ 2 = 8 .解，得13, 点F的坐标为（48）1 13 15EF=24411

26、5CE=2 8 8CE 1 .tan / CFE=EF 6 . . / CFEW DON.又 FE/ x 轴,CMN=CFE CMNW DONOD/ CF6. (2013山东枣庄，25, 10分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x +bx+c的图象与x轴交于A、B两 点，B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0, 3),点P是直线BC下方抛物线上的动点.(1)求这个二次函数的解析式；(2)连接PO PC,并将 POC沿y轴对折，得到四边形POP C,那么是否存在点 P,使得四边形POP C为菱形？若存在，求出此时点 P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当点P运动到什么位置时，四边形

27、ABPC勺面积最大？求出此时 P点的坐标和四边形 ABPC勺最大面积.第25题图第25题备用图【解】解：(1)将日C两点的坐标代入y=x +bx+J|3b+c=-9b=-2c=-3,解得 c=-3 .，这个二次函数的解析式为：y=x2-2x-3 .(2)假设抛物线上存在点 P(x, x2-2x-3),使得四边形 POP C为菱形.连接 PP交CO于点E.二四边形POP C333为菱形，PC= PO, PE± CO,OE= EC= 2 , ，P 点的纵坐标为 2 ,即 x2-2x-3 = 2 ,解得2+ .102- .102+ .103X=, x2 = 22(不合题意，舍去).存在点P

28、( 2, 2),使得四边形POP C为菱形. 过点P作y轴的平行线交 BC于点Q,交OW点F,设P（x, x2-2x-3）.由x2-2x-3 = 0得点A的坐标为（ 1,0） .丁B点的坐标为（3,0） , C点的坐标为（0, 3）, 直线BC的解析式为：y=x 3,Q点的坐标为（x , x3）,，11AB= 4, C0= 3, BO= 3, PQ= -x2+3x . . S 四边形 ABPC= SA ABU SABPQ + S ACPQ = 2 AB CO 2 pq. bf+11111113 2 9 c2 x + x62 PQ- FO2 AB COF2 PQ-(BF+FO)=2 ab-CO2

29、 pq.BO=2X4X3+ 2(-x +3x)X3=22-2(x3)2+7528当x= 2时，四边形ABPC勺面积最大.此时 P点的坐标为(2 ,154 ),四边形ABPC勺最大面积为75 z r /厂生1A B,且点7. (2013山东泰安，29, 12分)如图，抛物线y= 2 x2+bx+c与y轴交于点C (0, 4),与x轴交于B的坐标为(2,0 ).(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是AB上的一动点，过点P作PE/AG交BC于E,连接CP,求PCE面积的最大值;(3)若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且 OM提等腰三角形，求 M点的坐标.1【答案】 解：(1)把点C ( 0

30、, 4) , B(2,0)分别代入y= 2 x2+bx+c中,c= 412 x 22+2b+c=0b=11y= 2 x2+x 4（2）设P点坐标为（x,0 ）,则BP=2 x,1-.1 2 x2+x 4=0 得 x1=2,x2=4二.A点坐标为(一4,0)11 SA ABC = 2 AB- OC=2 x 6X4=12/ BPE =/ BAC/ BEP =/ BCA.BP& BACS BPEBP. S bac =( BA )2S BPE (2 x)2即 12 =61所以 SA BPE = 3(2 -x)21又.$ BCP =2 (2 -x) X 4=2(2x)11281 SAPCE =S

31、A BCP -SA BPE =2(2 x) 3 (2 x)2 = - 3 x2 3 x+ 3 = 3 (x+1)2+3x= 1时4 PCE面积的最大值是 3.(3)当MO=MD;过 M作MM1OD,垂足为 M1,则 M1为OD勺中点 OM1=DM1=1又. / OAC =45°M1M=M1A=3 .M点的坐标为(1, 3)当DM=DO 寸，DO=DM=DA=2/ OAC =/ AMD=45/ ADM =90° .M点的坐标为(2, 2)当OM=ODh 过 O作OM2L AC,垂足为 M2 OA =4OM2=2" 2又 O阵 OM2=2 2又 OD=2OM>O

32、D在AC上不存在点M,使OM=OD所以M点的坐标为（一 1, 一3）或（- 2, 2）.8. （2013山东烟台，26, 12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABB边长为2的正方形，二次函数 y=ax2+bx+c的图象经过点 A, B,2与x轴分别交于点 E, F,且点E的坐标（一3 , 0）,以OC为直径作半圆，圆心为 D.yy(1)求二次函数的解析式；(2)求证：直线BE是。的切线；(3)若直线BE与抛物线的对称轴交点为 P, M是线段CB上的一个动点(点 M与点B, C不重合)，过点M作MN / BE交x轴于点N,连结PM PN设CM的长为t , PMN勺面积为S,求S与t的函数关

33、系式，并写出自变量 t 的取值范围.S是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由c 2,b1,【答案】(1)由题意,9得 A(0, 92)x= - 2a = 12E( - 30),2a42.-a b c930,9,894 ,2,解得，二次函数的解析式为y = 8 x2+4 x+2.(2)过点D作DGLBE于点G.由题意，得ED)= 3+1=328EC= 2+ 3 = 3, BC= 2,. / BEC= / DEGDG DEBC = BE ,即64BE= 9/ EGD= Z ECB= 90° , .EGS EDB.53DG 102 = 3DG= 1.O D半径为 1 ,且

34、 DGL BE,BE是。的切线，C为切点.2(3)由题意，得 E( 3 , 0) , B(2, 2),设直线BE的解析式为y= kx+h,2k h2,2k3h 0, 解得3, 412 ,直线BE的解析式为直线BE与对称轴交于点5y = 4 , .,.点P的坐标为314x+ 2 .P,对称轴为直线x=1,5(1 , 4). MM BE,MN仔 / BEC./C= z C= 90。,MN。 BEC.CNCN MC 8t：.EC=BC, gp 3=2,44CN= 3 t ,DN= 3 t -11145 55SA PND= 2 DN- PD= 2 - ( 3 t-1) - 4=6t 8, 1142SA

35、 MNC= 2 CN- CM= 2 3 t . t = 3 t2 , 1155 1S 梯形 PDCM： 2 (PD+CM) CD= 2 ( 4 +t) 1 = 8 + 2 t. S= SA PND+ S梯形 PDCM- SA MNC 24.S= 3 t2+ 3 t(0 vt <2), 29. (2013广东广州，25, 14分)已知抛物线y1ax2 bx c (aw0,awc)过点A(1,0),顶点为B,且抛物线不经过第三象限。(1)使用a、c表示b;(2)判断点B所在象限，并说明理由；(3)若直线y22x m经过点B,且与该抛物线交于另一点C(-,b 8),求当*>1时y1的取值

36、范围。a【解】(1) b a c(2) B在第四象限。理由如下c c cx1 1,x2 一，a ca所以抛物线与x轴有两个交点又因为抛物线不经过第三象限所以a 0,且顶点在第四象限c(3)：C( 一 ,b 8),且在抛物线上，b 8 0,b8,a c 8,a把B、C两点代入直线解析式易得 c a 4解得c 6, a 2画图易知，C在A的右侧,，当x 1时，y124ac b4a10. (2013江西，24, 12分)已知抛物线抛物线 y n=-(x-an)2+an (n为正整数，且 0<ai<a2<<an)与x轴的交点 为 An-1(bn-1,0)和 An(bn,0),当

37、 n=1 时，第 1条抛物线 y1=- (x-a1)2+a1 与 x 轴的交点为A0(0,0)和 A1(b1,0),其他依此类推.(1)求a1,b1的值及抛物线y2的解析式；(2)抛物线y3的顶点坐标为( , )；依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为(, );所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系是 ;(3)探究下列结论：若用An-1An表示第n条抛物线被x轴截得得线段长，直接写出A0A1的值，并求出 An-1An；是否存在经过点 A (2, 0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得得线段的长度都相等？ 若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由.(也供草稿使用)【答案】 解：(

38、1) : y1= (xa1)2+a1与x轴交于点A0 (0, 0), 一a2+ a1=0,，21=0或1,由已知可知a1>0,-a1=1,即 y1 =(x1)2+1方法一：令 y0代入得：一(x-1)2+1=0 , x1=0, x2=2 ,，y1 与 x 轴交于 A0 (0, 0), A1 (2, 0)11b1=2,方法二：; y1=(x a1)2+a1 与 x 轴交于点 A0 (0, 0), .(b1 1)2+1=0, b1=2 或 0, b1=0 (舍去)，1 1 b1=2 ,又，抛物线 y2=(x a2)2+a2与x轴交于点 A1 (2, 0),. (2a2)2+ a2=0, a2

39、=1 或 4,a2> a1,a2=1 (舍去),取 a2=4,抛物线 y2= (x 4)2+4.(2) (9, 9);(n2, n2) y=x.详解如下:; 抛物线 y2= (x4)2+4 令 y2=0 代入得:(x 4)2+4=0 ,xi=2 , X2=6,72与 x 轴交于点 A1 (2, 0), A2 (6, 0),又,抛物线 丫3= (xa3)，a3与x轴交于 A2 (6, 0),. . 一 (6a3)2+a3=0，a3=4 或 9,a3> a3, /. a3=4 (舍去),只取a3=9,招物线y3的顶点坐标为(9, 9),;由yi的顶点坐标为(1, 1), y2的顶点坐标

40、为(4,4),抛物线y3的的顶点坐标为(9, 9), 依次类推抛物线yn的顶点坐标为(n2, n2). 所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标，顶点坐标满足的函数关系式是：y= x； Ao (0, 0) , Ai (2, 0),1- A0 Ai=2,又 yn=(x n2)2+ n2,令 yn=0 ,二.一 (xn2)2+n2=0,即 xi=n2+n, x2=n2 n,A n i(n2n, 0), A n(n2+n, 0),即 A n 1 A n=( n2+n) ( n2 n)=2 n存在，是平行于 尸x且过Ai (2, 0)的直线，其表达式为y=x-2.yii. (20i3浙江丽水，23, i0分

41、)如图，已知抛物线bx_ .,与直线y 2x交于点°(°,0), A(a，i2).点B是抛物线上0, A之间的一个动点，过点 B分别作x轴、y轴的平行线与直线 OA交于点C, E.(i)求抛物线的函数解析式；(2)若点C为0A的中点，求BC的长；(3)以BC , BE为边构造矩形BCDE,设点d的坐标为(m，n),求出m, n之间的关系式.【答案】解：(i) .点A(a，i2)在直线y 2x上，i2 2a,即a 6.，点A的坐标为(6,12)12y x bx又点A是抛物线2上的一点，12y - x bx把A(6，12)代入 2 ，得b 1.抛物线的函数解析式为(2)二点C为

42、OA的中点，点C的坐标为(3,6) .1 x2 x把y 6代入y 2X X,解得：K 2解法二：= x=而，x2 1 JT3 (舍去)，. BC 1,13 3 .13 2(3) .点D的坐标为(m，n),(-n, n), c、点E的坐标为2 ，点C的坐标为(m，2m).，1 C、(n, 2m).点B的坐标为 2J °、1 2(-n,2m)y -x2 代入 2121m n - n可得 164121m - n - n.m, n之间的关系式是16412. (2013浙江湖州，19, 6分)已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(3 , 0), B(-l, 0).(1)求抛物线的解析式；(2)

43、求抛物线的顶点坐标.【答案】 解：(1)解法一：:抛物线y= x2+bx+c 经过点 A(3, 0), B(-l, 0),9 3b c 0, 1 b c 0.b 2解得：C 3,，抛物线解析式为：y=x2+2x+3.解法二：抛物线的解析式为y= (x-3)(x+l),即 y= x2+2x+3 .(2)解法一：: y= x2+2x+3=(x1)2+4,，抛物线的顶点坐标为(1 , 4)._2413 22441，抛物线的顶点坐标为(1 , 4).13. (2013湖南邵阳第25题8分)如图所示，已知抛物线y=-2x2-4x的图像E,将其向右平移两个单位后得到图像F.求图像F所表示的抛物线的解析式；

44、设抛物线F和x轴交于点。，点B(点B位于点O的右侧)，顶点为点C,点A位于y轴负半轴上，且到 x轴 的距离等于点 C到x轴的距离的2倍，求AB所在直线的解析式。【解】(1)方法一：由平移知图像F的二次项系数为-2, y=-2x2-4x=-2 (x+1)2+2，顶点坐标为(-1,2),平移后图像F的顶点坐标为(1,2),所以图像F的解析式为y=-2(x-1)2+2 ;方法二：y=0时，即-2x2-4x=0 , x=0或x=-2 , 平移后图像F与x轴交点为(0,0)和(2,0),所以图像F的解析式为y=-2x(x-2);方法三：根据图像平移之间的 关系，可得图像 F的解析式为y=-2(x-2)2

45、-4(x-2)=-2x2+4x ;方法四：由于图像 E与图像F关于y轴对称，所以图 像 F 的解析式为 y=-2(-x)2-4(-x)=-2x2+4x ;由(1)得 y=-2x2+4x=-2(x-1)2+2 ,所以点 C 坐标为(1, 2), y=0 即-2x2+4x=0 ,解的 x=0 或 x=2 ,点 B 坐 标为(2,0),因为点A位于y轴负半轴上，且到x轴的距离等于点 C到x轴的距离的2倍，所以点A坐标为(0,2k b 0 k 2-4)，设AB : y=kx+b，代入得 b 4,解得 b 4 ,所以AB的解析式为：y=2x-4.14. (2013湖南长沙 第26题10分)如图，在平面直

46、角坐标系中， 直线y=-x+2与x轴，y轴分别交于点 A, 点B,动点P (a,b)在第一象限，由点 P向x轴，y轴所作的垂线 PM,PN (垂足为M,N )分别与直线 AB相较于 点E,点F,当点P (a,b)运动时，矩形PMON的面积为定值2.求/ OAB的度数；求证 AOFA BEO;当点E,F都在线段AB上时，由三条线段AE,EF,BF组成一个三角形， 记此三角形的外接圆面积为S1,AOEF的面积为S2.试探究：S1+S2是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由【解】（1）当x=0时，y=2,当y=0时，x=2,所以点a坐标为（2,0）,点B坐标为（0,2）, OA

47、=OB,所以/ 2OAB=450 ; （2）方法一：因为矩形 OMNPN的面积是2,所以点P坐标为（a, a ）,点E坐标为（a,-a+2）,点F坐222a 2 22 0- OA 2_ <2 怔 " OA AF标为（a ,a）,AF=a ,BE=a,BE & a , OB 2 a , BE OB , . / oaf= / EBO=450, . AOFA BEO ;方法二：先求各点坐标，A（2 , 0）,B（0 , 2）,E（a,2-a）,F（2-b,b）,OA - OB=4 ,OA AFAF BE=瓜 对2a 2ab 4, OA OB=AF BE, . BE OB ,

48、/ OAF= / EBO=450, AOF BEO ;AE=(2-a),BF=2(2-b),EF=- 2(a+b-2),AE2+BF2= V'2 (2-a)2+贬(2-b)2=2a2+2b2-8a-8b+16,EF2=贬(a+b-2)2=2(a+b-2)2=2a2+2b2-8a-8b+16,2(a b 2)_AE2+BF2=EF2, .所构成的三角形是直角三角形，EF是斜边，S1=tt22= 2 (a+b-2)2，过点。作2 . 2(a b 2)EF 边上的高，易求得高为 42 , S2= 2=a+b-2;S1+S2= 2 (a+b-2)2+ ( a+b-2 )=2 (a+b-2)+2

49、- 2 ，对称轴是x=-，抛物线的开口向上。由基本不等式知a+b>24ab =242 ,a+b-2>2"''2-2>-，根据二次函数的性质，当a+b-2=2 J2-2时，S1+S2的值最小，最小值为 2 (2'2 -2) 2+242-2。15. (2013重庆A卷，25, 10分)如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c(a W0)与x轴的交点为 A、 B两点，其中点 A的坐标为(-3,0).(1)求点B的坐标；(2)已知a=1, C为抛物线与y轴的交点。若点P在抛物线上，且 SAPOC=4SABOC,求点P的坐标；设点Q是线段

50、AC上的动点，作 QDx轴交抛物线于点 D,求线段QD长度的最大值。*题图【答案】解：(1)由题意知：点A与点B关于直线x 1对称，A (-3,0)B (1,0)(2)当a=1时，则b=2,把A(-3,0)代入y x2 2x c中得：C 32该抛物线解析式为：y x2xBOCPOC113OB OC 1 3222-34S boc 4-6 2OCxpxpxp当xp4时,yp4221x当xp4 时，yp24)2 2 (4) 3 5点P的坐标为(4,21)或(4,5)2 A( 3,0),C(0,-3)则直线AC的解析式为：yx-3设点Q为(a,-a-3)，点D为2a, a2a 3)QDyQyD2_2(

51、a 2a 3) a 3a32 ( 1)32时,QD有最大值，其最大值为:3 23-)2 3 (-)2216. (2013 重庆 B 卷,25, 10分)如图，已知抛物线 ybx c的图像与x轴的一个交点为B (5, 0),(1)(2)值；(3)【答案】解:(1)设直线S1, ABN的面积为S2 ,且S1 6S2 ,求点P的坐标.BC的解析式为y mx n,将B (5,0), C (0, 5)代入有:另一个交点为 A,且与y轴交于点C(0, 5).求直线BC与抛物线的解析式；作MN/y轴交直线BC于点N ,求MN的最大若点M是抛物线在x轴下方图像上的一动点，过点在(2)的条件下，MN取得最大值时，若点 P是抛物线在x轴下方图像上任意一点，以 BC为边作平5m n 0解得:所以直线BC的解析式为再将B (5, 0), C (0, 5)代入抛物线y x2 bx c有:25 5b c 0解得:c 5一 c 5所以抛物线的解析式为:y x2 6x