可降阶的高阶微分方程(35)课件

1、可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程一、一、 型的微分方程型的微分方程二、二、 型的微分方程型的微分方程三、三、 型的微分方程型的微分方程)()(xfyn ),(yxfy ),(yyfy 四、四、其他可降阶的微分方程其他可降阶的微分方程 几种可降阶的高阶常微分方程几种可降阶的高阶常微分方程二阶和二阶以上的微分方程，称为高阶微分方程二阶和二阶以上的微分方程，称为高阶微分方程。 通过变量代换将高阶方程转化为较低阶的通过变量代换将高阶方程转化为较低阶的微分方程进行求解的方法，称为微分方程进行求解的方法，称为“降阶法降阶法”。“降阶法降阶法”是解高阶方程常用的方法之一。是解高阶方程常用的方法之一。

2、一、 型的微分方程)()(xfyn 依次通过依次通过 n 次积分次积分, 可得含可得含 n 个任意常数的通解个任意常数的通解 .解法：解法：特点：特点：.,)1( nyyy及及不显含未知函数不显含未知函数的的已已知知函函数数右右端端是是自自变变量量左左端端是是xyn,)()()(xfyn令,) 1( nyz)(ddnyxz则因此因此1d)(Cxxfz即即1) 1(d)(Cxxfyn同理可得同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通过依次通过 n 次积分次积分, 可得含可得含 n 个任意常数的通解个任意常数的通解 ., )(xf21CxC型的微分方程型的微分方程 机动

3、目录 上页 下页 返回 结束 例例1解解.cos2的的通通解解求求微微分分方方程程xeyx 对所给方程接连积分三次对所给方程接连积分三次, 得得,sin212Cxeyx ,cos4122CCxxeyx ).2(sin81132212CCCxCxCxeyx 这就是所求的通解这就是所求的通解.,00tx例例2. 质量为质量为 m 的质点受力的质点受力F 的作用沿的作用沿 ox 轴作直线轴作直线运动运动,在开始时刻在开始时刻,)0(0FF随着时间的增大随着时间的增大 , 此力此力 F 均匀地减均匀地减直到直到 t = T 时时 F(T) = 0 .如果开始时质点在原点如果开始时质点在原点, 解解:

4、据题意有据题意有)(dd22tFtxmtFoT0FF)1(0TtmF0dd0ttx)1(0TtFt = 0 时时设力设力 F 仅是时间仅是时间 t 的函数的函数: F = F (t) . 小小,求质点的运动规律求质点的运动规律. 初初速度为初初速度为0, 且且对方程两边积分对方程两边积分, 得得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 120)2(ddCTttmFtx利用初始条件利用初始条件, 01C得于是于是)2(dd20TttmFtx两边再积分得两边再积分得2320)62(CTttmFx再利用再利用00tx, 02C得故所求质点运动规律为故所求质点运动规律为)3(2320TttmFx0dd0t

5、tx机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、 型的微分方程),(yxfy , )(xpy 设设解法：解法：特点：特点：.y不不显显含含未未知知函函数数,ddpxpy 则则原方程可化为一阶方程原方程可化为一阶方程).,(pxfp 设其通解为设其通解为),(1Cxp 则得一个一阶微分方程则得一个一阶微分方程).,(dd1Cxxy 再积分再积分, , 得原方程的通解得原方程的通解.d),(21CxCxy ),(xpy 设设例例3.3, 12)1(002的的特特解解满满足足初初始始条条件件求求微微分分方方程程 xxyyyxyx解解.d12d2xxxpp 得得两两端端积积分分,).()1(121CeCx

6、Cyp 即即代代入入方方程程.)1ln(ln2Cxp , 31 C得得由条件由条件, 30 xypxpx2)1(2 分离变量分离变量,py 则则).1(32xy 所所以以得得两端再积分两端再积分,得得再再由由条条件件, 10 xy于是所求的特解为于是所求的特解为. 133 xxy.323Cxxy , 12 C例例4. 绳索仅受绳索仅受重力作用而下垂重力作用而下垂,解解: 取坐标系如图取坐标系如图. 考察最低点考察最低点 A 到到sg( : 密度, s :弧长)弧段重力大小弧段重力大小按静力平衡条件按静力平衡条件, 有,cosHTMsgoyx)(gHa其中sgTsinyxyxd102a1故有故有

7、211yay 设有一均匀设有一均匀, 柔软的绳索柔软的绳索, 两端固定两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况弧段的受力情况: T A 点受水平张力点受水平张力 HM 点受切向张力点受切向张力T两式相除得两式相除得HA机动 目录 上页 下页 返回 结束 sa1tan MsgoyxHA211yya , aOA 设则得定解问题则得定解问题: , 0ayx0 0 xy),(xpy 令,ddxpy 则原方程化为原方程化为pdxad1两端积分得两端积分得)1(lnshAr2ppp ,shAr1Cpax0 0 xy由,

8、01C得则有则有axysh两端积分得两端积分得,ch2Cayax, 0ayx由02C得故所求绳索的形状为故所求绳索的形状为axaych)(2axaxeea悬悬 链链 线线a21p机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入原方程代入原方程, 得得解法：解法：特点：特点：.,)1( kyyy及及不不显显含含未未知知函函数数)()(xPyk 令令.,)()()1(knnkPyPy 则则).(,),(,()1()(xPxPxfPknkn P(x)的的(n-k)阶方程阶方程),(xP求得求得,)()(次次连续积分连续积分将将kxPyk 可得通解可得通解. 型，特别： 型),()1()()( nknyyxf

9、y) ,( yxfy 推广推广.0)4()5(的通解的通解求方程求方程 yxy解解),()4(xpy 设设代入原方程代入原方程, 0 ppxxCp1 解线性方程解线性方程, , 得得两端积分两端积分, ,得得原方程通解为原方程通解为),()5(xpy ）（0 p,1)4(xCy 即即,21221CxCy ,2612054233251CxCxCxCxCy 54233251dxdxdxdxdy 例例5 5三、 型的微分方程),(yyfy ,)(xypy 设设解法：解法：特点：特点：.x不显含自变量不显含自变量,的的导导数数化化为为对对将将yy 原方程可化为原方程可化为).,(ddpyfypp 设其

10、通解为设其通解为),(1Cypy 分离变量并积分，得通解为分离变量并积分，得通解为.),(d21CxCyy xpydd 即即xyypdddd .ddypp )(ypy 设设,dydppdxdydydpy 则则阶方程，阶方程，的的代入原方程得到新函数代入原方程得到新函数)1()( nyp求得其解为求得其解为原方程通解为原方程通解为,),(11nnCxCCydy 特点：特点：.x右右端端不不显显含含自自变变量量解法：解法：,)(2222dydppdypdpy ,),()(11 nCCyypdxdy 型，特别： 型),()1()()(nknyyyfy) ,( yyfy 推广推广.02的通解的通解求方

11、程求方程 yyy解解,ddyppy 则则),(ypy 设设代入原方程得代入原方程得 , 0dd2 pyppy,1yCp 可得可得,ln21CxCy 原方程通解为原方程通解为例例6 6,dd1yCxy 或或分离变量并积分，分离变量并积分，.2122）（或或CxCeCeCy yyppdd 即即,lnlnln1Cyp M : 地球质量m : 物体质量例例7. tyyvdddd 静止开始落向地面静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间求它落到地面时的速度和所需时间(不计空气阻力不计空气阻力). 解解: 如图所示选取坐标系如图所示选取坐标系. 则有定解问题则有定解问题:22ddtym2yMmk

12、,0lyt00ty,ddtyv 设tvtydddd22则代入方程得代入方程得,dd2yyMkvv积分得积分得122CyMkv一个离地面很高的物体一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由受地球引力的作用由 yoRl机动 目录 上页 下页 返回 结束 yvvdd ,1122lyMkv,ddtyv yyllMkv2即tdyylyMkld2两端积分得两端积分得Mklt2,0lyt利用, 02C得因此有因此有)arccos(22lylyylMkltlylyylarccos22C, 0000lyyvttt利用lMkC21得注意注意“”号号机动 目录 上页 下页 返回 结束 由于 y = R 时,gy 由

13、原方程可得由原方程可得MRgk2因此落到地面因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为时的速度和所需时间分别为)arccos(212lRlRRlglRtRylRlRgvRy)(222ddtym,2yMmkyyllMkv2)arccos(22lylyylMkltyoRl机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 若此例改为如图所示的坐标系若此例改为如图所示的坐标系, Ryol22ddtym2)(ylMmk,00ty00ty，令tyvdd解方程可得解方程可得)11(22lylMkv问问: 此时开方根号前应取什么符号此时开方根号前应取什么符号? 说明道理说明道理 .则定解问题为则定解问题

14、为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 解初值问题解初值问题解解: 令令02 yey,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy 则代入方程得代入方程得yeppydd2积分得积分得1221221Cepy利用初始条件利用初始条件, 0100 xyyp, 01C得根据根据yepxydd积分得积分得,2Cxey, 00 xy再由12C得故所求特解为故所求特解为xey1得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 为曲边的曲边梯形面积上述两直线与 x 轴围成的三角形面例例9.)0()(xxy设函数二阶可导, 且, 0)( xy)(xyy 过曲线上任一点 P(x, y) 作该曲线的切线及 x 轴

15、的垂线,1S区间 0, x 上以,2S记为)(xy, 1221 SS且)(xyy 求解解:, 0)(, 1)0(xyy因为. 0)(xy所以于是cot2121yS yy222S)(xyy 设曲线在点 P(x, y) 处的切线倾角为 ,满足的方程 ., 1)0(y积记为( 99 考研考研 )ttySxd)(02Pxy1S1oyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 再利用 y (0) = 1 得利用,1221SS得xttyyy021d)(两边对 x 求导, 得2)( yyy 定解条件为)0(, 1)0(yy),(ypy 令方程化为,ddyppy 则yyppdd,1yCp 解得利用定解条件得,11C

16、, yy 再解得,2xeCy , 12C故所求曲线方程为xey 2ddpyppy12SPxy1S1oyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法)(. 1)(xfyn逐次积分逐次积分),(. 2yxfy 令, )(xpy xpydd 则),(. 3yyfy 令, )(ypy yppydd 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 oyx) 1 , 0(A速度大小为 2v, 方向指向A , )0 , 1(),(yxBtv提示提示: 设 t 时刻 B 位于 ( x, y ), 如图所示, 则有 ytsvdd2xysxd112xytxd1

17、dd12txydd12去分母后两边对 x 求导, 得xtvxyxdddd22又由于ytv 1x设物体 A 从点( 0, 1 )出发, 以大小为常数 v 备用题的速度沿 y 轴正向运动, 物体 B 从 (1, 0 ) 出发, 试建立物体 B 的运动轨迹应满足的微分方程及初始条件.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)dd(121ddxyvxt0121dd222yxyx代入 式得所求微分方程:其初始条件为, 01xy11xyoyxA)0 , 1(),(yxBtv机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、其他可降阶的微分方程四、其他可降阶的微分方程通过变量代换将其化成较低阶的方程来求解通过变量代换将

18、其化成较低阶的方程来求解. .02的的通通解解求求方方程程 yyy解解将方程写成将方程写成, 0)(dd yyx,1Cyy 故有故有,dd1xCyy 即即积分后得通解积分后得通解.212CxCy 例例1 1.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解,12y两两端端同同乘乘不不为为零零因因子子22yyyy ,1yCy 故故从而通解为从而通解为.12xCeCy 例例2 2另解另解原方程变为原方程变为,yyyy 两边积分两边积分, ,得得，1lnlnlnCyy ，即即yCy1 原方程通解为原方程通解为.12xCeCy , 0)(dd yyx.)(22的的通通解解求求方方程程yxyyyx 解解,d x

19、zey设设代入原方程代入原方程, ,得得,122xzxz ,121xCxz xxCxeyd)1(21原方程通解为原方程通解为例例3 3解其通解为解其通解为.12xCxeC .1|,2|, 02sin200的的解解求求初初值值问问题题 xxyyyy得得的的两两端端乘乘以以在在方方程程,02sin2yyy , 0)sin(22 yy即即解解例例4 4, 0cossin22 yyyyy.sin122Cyy 故故,1|,2|:00”“代代入入初初始始条条件件 xxyy,sin yy 即即, 01 C得得,sin22yy 故故有有,1,2:”时时“根据初始条件根据初始条件 yy,dsindxyy 即即,

20、2tanln2Cxy 积分得积分得,2|:0 xy代入初始条件代入初始条件,2tanlnxy ,故上式取正号故上式取正号,sin yy , 02 C得得故初值问题的解为故初值问题的解为.arctan2xey 或或,)(时时质质点点的的位位置置表表示示在在时时刻刻设设ttxx 例例5.,. 0)(,)0(0).(:.0求这质点的运动规律求这质点的运动规律且初速度为零且初速度为零原点原点如果开始时质点位于如果开始时质点位于时时直到直到减小减小均匀地均匀地此力此力的增大的增大随着时间随着时间时时在时刻在时刻仅是时间的函数仅是时间的函数设力设力线运动线运动轴作直轴作直的作用沿的作用沿的质点受力的质点受

21、力质量为质量为 TFTtFtFFttFFFOxFm解解).(dd22tFtxm (1),根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律质点运动的微分方程为质点运动的微分方程为,)(,增增大大而而均均匀匀地地减减小小随随力力由由题题设设ttF).1()(0TtFtF 可以写成可以写成于是方程于是方程)1(2)其初始条件为其初始条件为得得式两端积分式两端积分把把,)2(,)0(,00FFt 时时且且;)(0ktFtF 所所以以, 0)(, TFTt时时又又当当从而从而).1(dd022TtmFtx . 0dd, 000 tttxx ,d)1(dd0tTtmFtx.)2(dd120CTttmFtx 即即(3)得得

22、式式代代入入将将条条件件,)3(0dd0 ttx).2(dd)3(20TttmFtx 式式成成为为于于是是(4)得得式两端积分式两端积分把把,)4(, 01 C,)62(2320CTttmFx 得得代入上式代入上式将条件将条件,00 tx于是所求质点的运动规律为于是所求质点的运动规律为.0)62(320TtTttmFx . 02 C.)(,d )(1),()(, 00的表达式的表达式求函数求函数轴上的截距等于轴上的截距等于处的切线在处的切线在上的点上的点曲线曲线如果对任意如果对任意xyyttyxyyxxyyxx 处的切线方程为处的切线方程为上的点上的点曲线曲线),()(yxtyy 依题意有依题意有得得截截距距令令, 0 X例例6)(xXyyY 解解,yxyY ,d)(10yxyttyxx ,求求导导上上式式两两端端关关于于x并并分分离离变变量量得得令令, py ,1xCp 解得解得,1xCy 即即.ln21CxCy 进进而而解解得得.d)(0