东北三校部分毕业班第三次摸底考试

1、东北三校2008年部分毕业班第三次摸底考试题号一二二总分171819202122分数第I卷(选择题共60分)、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的.< 0,则 M n N =x -31.已知集合 M =x|x|_1, N =x|x"x 12.A.函数A.x|1 <x <3 B. x | -1 <x < 1y = 2j(x >1)的反函数是y =log(x 1)(x -1)2C.B.x|x 3D.y =log x 1(x _ 1)2C.y = log1 (x 1)(0 : x <1

2、)2D.y = 10gl x 1(0 : x < 1)23.由数字0,1,A. 602, 3, 5组成的没有重复数字的三位奇数的个数为B. 484.某商店两个进价不同的商品都卖了C. 3680元，其中一个盈利 60%,这次买卖中，这家商店A.不赚不赔B.赚了10元C.赔了 10元( )D . 27另一个亏本20%,( )D.赚了 50元问在5.过点A (2, 1),圆心在直线y=-2x上，且与直线x + y =1相切的圆的方程为(A.3 26 2(x-)2 (y 6)2 =2553 26 2B. (x +-)+ (y -)二255C.(x 1)2 (y-2)2 =2D. (x-1)2 +

3、(y +2)2 =26.在半径为53的球面上有 A、B、C三点,AB=6 , BC=8 , CA=10 ,贝U球心至U平面ABC的距离为A. 5B. 4<2C. 5V2D.107.函数 y = log2a (a >1)在其定义域内 x -2A.有最大值，无最小值C.有最大值，也有最小值8.对于直线1、m和平面a、3 , aA. 1 _L m,1 / a, m _L PC. 1 / m, m _L B ,1 u aB.有最小值，无最大值D.既无最大值，也无最小值3的一个充分条件是（）8. 1 _L m,a 口 P = 1, m _L aD. 1 /m,1 _L 久，m _L 0二、，

4、2Ci,上/、，X 八9 .已知函数f(x)=3ax _2ax 1(x W _1)在(-oa n)内是减函数，则实数a的取值范 (a -1)x +4a(x >-1)''围是()A. (-00,1)B. (-00,0)C. (1,y)D. (0, 1)2210 . 将 周期为 冗 的函数 y =sin 6x +2 sin®xcos切x cos ©x(« > 0)的 图象按 一 Tta =（- ,1）平移后，所得函数图象的解析式为 8A. y =，2sin2x+1C. y = v;2 sin(2x-g)+1_ .二.，.，元、，B. y =

5、、2 sin(4x +一)一14D. y = 1 -72cos2xA. (-°0,-1)U 831C.F2x y -2 _011 .设x、y满足条件 衣2y+4之0枳九=8二1的取值范围是x - 43x -y -3 <01 1 B. - , 4 3r1 3nD.-,-5 412 .如右图，已知在梯形 ABCD中，|AB|二2|CD| ,点E分有向线段AC所成的比为2,双曲线过C、D、E三点，且以AB为5焦点，则此双曲线的离心率为（）C. 2D. 3选择题答题栏题号123456789101112答案第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题 4分，共16分.

6、1 io,.,、，13 . （2x-尸）的展开式中，常数项为 .（用数字作答） 2x , x14 .已知|a|=2,|b|=1,总由勺夹角为一,则|2a3b|=.315 .已知数列an满足a1 =1,且an书=an +2n+1（nw N”）,则an =.16 .在4ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,给出下列结论：若 A> B>C,则 sin A >sin B >sinC ；若 a >b acMUcosA>cosB >cosC ；必存在 A、B、C,使 tan Atan BtanC <tan A+ tan B+tan C 成立；若a

7、 =40,b =20, B =25,则 ABC必有两解.其中，真命题的编号为 .（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 .（本小题满分12分）八 二 13二 11 二 3 二 二 二，、.，-、已知 cos（ -«） =-,sin（ + P） = , <« < ,- < B < 一，求 sin（ct + P） 47414 4444的值.18.（本小题满分12分）1，一-,乙投中的2甲、乙两位同学站在罚球线进行投篮，已知每次投篮，甲投中的概率为2概率为2,若甲、乙两位同学各投篮 4次

8、，求:3(1)甲恰好投中3次的概率；(2)乙至少投中1次的概率；1 3)乙恰好比甲多投中 2次的概率.19 .(本小题满分12分)已知在等比数列an中，Sn是其前n项的和，若Sm,Sm也，Sm书成等差数列,am出，am书成等差数列.(1)写出这个命题的逆命题：(2)判断逆命题是否为真，并给出证明 .20 .(本小题满分12分)如图，在直三棱住 ABCAiBiCi 中，AC=AB=4 , BB1 =4&，BM =V2,/BAC=9011点 N 在 CAi 上，且 CN = NA1.3(1)求证：MN平面 AiBiCi；(2)求点Ai到平面AMC的距离；(3)求二面角 C-AiM-B的大小

9、.21 .(本小题满分i2分)已知定义在R上的函数f (x)满足：f (x + y) = f (x) + f (y),当x < 0时，f (x) < 0.(i)求证：f(x)是奇函数；(2)解关于 x 的不等式：f (mx2) 2f (x) a f(m2x) 2f (m).(m:>0,且m 为常数).22 .(本小题满分i4分)已知椭圆的中心在原点O,短轴长为2J2 ,其焦点F (c, 0) (c>0)对应的准线l与x轴交于A点，|OF|二2|FA|,过A的直线与椭圆交于 P、Q两点.(1)求椭圆的方程；(2)若OP，OQ =0,求直线PQ的方程；(3)设AP =九AQ

10、(九>1),过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M.求证F、M、Q三点共线.数学(理)参考答案、选择题：每小题 5分，共60分.112ADDBD CBCDA CB二、填空题：每小题 4分，共16分.13. 84014. <1315. n216.、解答题：本大题共 6个小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 .解：:4又；).sin(-：)4二一 1 一 c0s (4 二)=- 1 -24,33 二乂 sin(.)411,.cos(1442 3二 -11 2-sin (!-') = - 1 -()4.145314二 3 二.cos(.：> &

11、#39;'-')= cos(24二3 二 二.)-(4-：)=cos(-)cos(-)、311分3 二二sin(-)sin(- - )4412分.sin(-( r 1-1) - -cos (二：- '' ) = 3223 , 1、3 11,18 .解：(1)甲恰好投中3次的概率为C：M(一)3父一=一； 3分22 4(2) 乙投篮4次都未投中的概率为(1)4=，318.乙至少投中1次的概率为1(1)4=效； 6分381(3)设乙恰好比甲多投中2次为事件A,乙恰好投中2次而甲恰好投中 0次为事件B1,乙恰好投中3次而甲恰好投中1次为事件B2，乙恰好投中4次而甲恰好

12、投中2次 为事件 B3,则 A=B1+B2+B3 8分，乙恰好比甲多投中 2次的概率 P (A) =P (B1)+P (B2) +P (B3) 9分22 21 2=C4 (J (J3392-0 ,1、4_32 3 1C4 ( ) C4 () 23331=162C1 1C4 -21 3 424-21 2()C4 ( ) C4 ()23212分19.解：(1)逆命题：在等比数列an中，Sn是其前n项的和，若am,am书，am平成等差数列，则Sm,Sm虫，Sm书成等差数列. 2分(2)当q=1时，逆命题为假；当 qw1时，逆命题为真.证明：设an的公比为q,若am,am书，am书成等差数列，则有2a

13、m卡=am +am书分二 2alqm* = aqm'+a1qm, a1 # 0, q #0,2q2q-1 =0 解得，4=1或4=一2352分当 q=1 时，丫 Sm =ma1,Sm+ =(m + 2)a1,Sm+ =(m+1)a1，2SmH2 #Sm十Sm十二Sm,Sm也，Sm +不成等差数列 7分.241-(-)m /.1 241、m2当 q=j时,2Sm虫=12=-ai1-(-) 2 1 1322a11-(-2)m1盟-匕广+一一2”；)*a111-(-：)mSm Sm 1 )721 1242一2 (上211 12, 2Sm2=Sm+Sm4,Sm,Sm42,Sm + 成等差数列.

14、11分综上得，当q=1时，逆命题为假；当 qw1时，逆命题为真. 12分1 一一 .20.法一：(1)证明：在 C1A1 上取点 D,使 CQ =-C1A1,连结 ND、B1D,4一 11 _ 一 一- CN = -NA1 =CA1,，NDC1A1BB1 1 分3433又ND = CCi = BBi =372 = B1M，四边形BiMND为平仃四边形,44MN/B 1D 2分又 MN S 平面 AiBiCi, Bqu 平面 A1B1C1 . . MN平面 AiBiCi 4 分(2)二三棱柱 ABCAiBiCi为直三棱柱 .A,A_LAC又 v / BAC = 90 : A AC _L 平面 A

15、 iABB 1在平面AiABBi中过Ai作AiHAM,又AC，AiH ,，AiH为点Ai到平面AMC的 距离 6分在 &AMA中,AB =4，AA= BB =4j2 AM = JaB2 +MB2 =372,1 ii6SAm =A1H AMA,A AB =8V2,AiH,2 23B即Ai到平面AMC的距离为AAVm = 8分|m|3(3)在平面AiABB i中过A作AE ±AiM ,交AiM于点E,连结CE,则AE为CE 在平面AiABB i内的射影，二. CE _L AM,，NACE 为二面角 CAiM B 的平面角 i0 分在 &AMA 中，, AM =JAiB；

16、+MBi2 =、34,S"AM =8五,AM AE=i6V2i6.i7AC.i7八二 AE =, 二 tan/AEC = ii 分i7AE 4,i7 )- i7八二 /AEC = arctan,即二面角 CAiM B 的大小为 arctan i2分44法二：(i) . .三棱柱 ABCAiBiCi 为直三棱柱，AiA LAC , AiAXAB ,又/ BAC=90 °，可以点A为坐标原点，以 AC、AB、AAi所在直线分别为 x轴、y轴、z轴建立空 间直角坐标系，由已知得 A (0, 0, 0)、Bi (0, 4, 4亚)、Ci (4, 0, 4/2)、C (4, 0, 0

17、)、Ai (0, 0, 4无)、M (0, 4,氏)、N (3, 0, <2 ),在 C.上取iD,使 CiD = CiAi,则D(3,0,4W2)4- MN =(3f0),BD = (3,Y,0) MN = BiD 2分, MN / B1D又MN 值平面 AiBiCi, BiDU 平面 AiBiCi ，MN平面 AiBiCr -4(2) AM=(0,4,J2)、CM=(Y,4,J2),设平面 AMC 的法向量为 m = (a,b,i),则m AM=0 m CM =0 - J4b + ；2 =0-4a +4b +& =0f,解得 a = 0, b = - 4m = (0,2-7,

18、1),又小=(0,0,412).A1到平面AMC的距离为163(3) CX = (T0,4J2)、CM = (4,4, J2),设平面 AiMC 的法向量为n =(c,d,i),则 n CA =0,n CM =0-4c 4,2 =03,2斛传 c = 4 2, d =-4c 4d .2=0-/ - 3.2 /、n = (' 2,1)4又AC _L平面AiABB i,，所求得二面角的大小为iiAC n 而 AC = (4,0,0), . cos : AC, n =：|AC| |n|4 24 3366 ,33444 -. 33，一面角 CAiM B的大小为 arccos33i2分21 .解

19、:(1)f (x+y) = f (x) + f(y),令 x= y =0,得 f (0)= f(0)+f (0)，即 f (0) =0.令 x+y =0,即丫 =x,得f (0) = f(x) + f (x)，二 f(x)= f(x) f(x)是奇函数3分(2)设 xi、x2 R,且 x1 < x2，则x1 -x2 <0,由已知得 f (x1 -x2) < 0.f(xi) - f(x2)二 f (Xi) f (-x2) = f (Xi -x2):二 0二f (Xi) M f(X2)即f (x)在R上是增函数.6分又 2f (m) =f(m)+f(m) = f(2m). 同理2

20、 f (x) = f (2x) 7分一 2222 一 _f(mx ) -2f (x) f (m x) -2f(m)= f (mx ) f(2m) f (m x) f(2x)22222,2f (mx 2m) . f (m x 2x) = mx 2m .m x 2x mx - (m 2) x 2m . 0m 0,. x2 -(m )x 2 0 m，2、，、八.(x 一一)(x - m) 0m < m,即m > %；2时，不等式的解集为x|m21 -当4>m,即0mm2十 ix < 或 x > m； m2<m < J2时，不等式的斛集为xx<m或xA. m12分22x y22.解：(1)由已知得由题意，设椭圆的方程为：下工=1(a.2)a 22 22 c2y =1.2a c 22,解得a=/6,c = 2,-椭圆的方程为:一 ac =2(- -c)c(