典型例题三角函数的图象和性质

1、学习必备欢迎下载图象和性质例题分析例 1 画出下列函数的简图：(1) y1sin x,x0,2(2) ysin x ,x0,2分析：这两个例题的作用是巩固和熟练“五点画图法及运用正弦函数和余弦函数的性质画出与它们有关系的一些函数图象”解：（1）按五个关键点列表：x03222sin x010101+sin x12101利用正弦函数的性质描点画图（如图4-24）这里利用正弦函数的性质主要是它的单调性因为正弦函数ysin x, x0,和x3, 2上都是增函数，所以函数y1sin x ，在这22两个区间上也是增函数，从而描点画图时要用光滑曲线画成上升的曲线，同理在x , 3 上要画成下降的曲线2 2注

2、：函数 y 1 sin x 与 ysin x ，在 x 0,2上有什么关系呢？我们把后者的图象用虚线画在（图4-24）中，可见函数 y1 sin x ， x0,2 的图象是通过把函数 y sin x， x0,2的图象上的每点向上平行移动1 个单位长度而得到这个例题还告诉我们，形如ysin xm ， x0,2的函数图象当 m>0 时，学习必备欢迎下载可将正弦函数 ysin x ，x0,2 的图象整体向上平行动 m 个长度单位当 m<0时，可将 ysin x， x0,2的图象整体向下平行移动 |m|个长度单位（2）按五个关键点列表x03222sin x01010 sin 1010x0利

3、用正弦函数的性质描点画图（如图4-25）这里利用正弦函数的性质主要是它的单调性，因为正弦函数ysin x 在 x0,和2x 3 ,2 上都是增函数，而从2列表中可看出函数ysin x 在这两个区间上都是减函数，所以要用光滑曲线画成下降的曲线又因为正弦函数ysin x 在 x, 3上是减函数，而从列表中可以看到函2 2数 y sin x 在这个区间上是增函数，所以要用光滑曲线画成上升的曲线注，函数 ysin x 与正弦函数 ysin x 在 x0,2上有什么关系呢？我们将后者的图象用虚线画在 （图 4-8-7）中可见函数 ysin x ，x 0,2上的图象上的每一个点都是正弦函数 ysin x

4、，x0,2上的每一个对应点关于x 轴的对称点由此可知欲画函数ysin x ， x0,2的图象，只要将正弦函数ysin x ，x 0, 2 沿 x 轴整体翻转 1800 即可例 2求使下列函数取得最大值和最小值时的自变量 x 的集合，并说出最大和最小值是什么（1） y2sin x , xR ；（2） ysin 2x , xR学习必备欢迎下载分析：这两个小题都是与正弦函数 y sin x的最大值和最小值有关的问题，我们可以利用正弦函数的最大值和最小值的结论来解决这些问题解：（1）函数 y2sin x , 的解析式是由常量 2 与变量 sin x 的差组成当 x2k(kZ ) 时，变量 sin x

5、取得最大值 1，而一个常量减去一个最2大值得到的差是最小值，所以 y 2 sin x , 的最小值是 y 2 11当 x2k(kZ ) 时， sin x 取得最小值是 1，而一个常量减去一个2最小值得到的差是最大值，所以 y2 sin x 的最大值是 y 2( 1)3 x | x22k, k Z ，函数 y2 sin x 的最大值是3， x | x2k, kZ ，函数 y 2sin x 的最小值是 1；2（2）解决本题的关键是用辅助未知数法令 z 2x ，因为 xR ，所以 zR 又使函数 ysin z， z R 取得最大值的 的集合是： z | z2k, kZ ，2再由 z 2x2k，则 x

6、k, k Z 这就是说，使函数 ysin 2x ，24x R 取得最大值时的 x 的集合是 x | xk , k Z ，此时函数的最大值是41同理，使函数 ysin 2x ， xR 取得最小值时的 x 的集合是： x | xk, kZ ，此时函数的最小值是 14例 3 不通过求值，指出下列各式大于0 还是小于 0（1） sin() sin() ；（2） cos11sin 10181089分析：本题实际上是两个三角函数值的比大小问题，这种问题需要用正弦函数的单调性来比大小 对于同名的三角函数比大小，只要角在同一个单调区间上学习必备欢迎下载就可以直接比大小， 若不然则需用诱导公式将它们化到同一个单

7、调区间上再比大小对于非同名的三角函数比大小， 则需用诱导公式将它们化为同名函数再按上面的办法比大小解：（1）1018，且函数 ysin x ， x,是增函数2222 sin()sin()1018 sin()sin()01810（ 2）由诱导公式：cos11sin(11) sin7sin 2(7)sin 98288881093且函数 ysin x ， x2, 3上是减函数29822 sin10sin9，即 sin10cos119898 cos11sin 10089本小题也可以按下面的解法：由诱导公式sin 10sin()sin；999cos11cos(3 )cos 3cos()sin888288 098，且函数 ysin