刚体力学lilunlixu(2)课件

1、1复习与回顾( (一）一） 转动惯量转动惯量定义定义22 i iimIm rIrmd转动惯量列表转动惯量列表薄圆环对中心轴薄圆环对中心轴细圆环对任意切线细圆环对任意切线圆柱体对柱体轴圆柱体对柱体轴线线圆柱环对柱体轴线圆柱环对柱体轴线细杆对垂直中心细杆对垂直中心轴轴实圆柱对中心直径实圆柱对中心直径2ImR212ImR2112Iml225ImR232ImR221122()Im RR2211412ImRml223ImR2yzxzxyzzyyxxIIIIIII222222会聚定理会聚定理:复习与回顾2ocIImdmco平行轴定理平行轴定理31222222yzIxzIxyIzIyIxIyzxzxyzzy

2、yxx惯量椭球方程惯量椭球方程:复习与回顾zzzyzxyzyyyxxzxyxxIIIIIIIIII，4（四）惯量主轴（四）惯量主轴1222222yzIxzIxyIzIyIxIyzxzxyzzyyxx如果适当旋转坐标系的话，可以消除交叉项，对于惯如果适当旋转坐标系的话，可以消除交叉项，对于惯量张量来说，也就是可以使其对角化。量张量来说，也就是可以使其对角化。 定义：使惯量张量对角化的坐标系的三根互相垂直的定义：使惯量张量对角化的坐标系的三根互相垂直的坐标轴为惯量主轴。坐标轴为惯量主轴。复习对一方阵复习对一方阵A的对角化过程。的对角化过程。 对对A进行对角化，实进行对角化，实际就是要求出际就是要求

3、出A的本征值。如果的本征值。如果是是A A的本征值，的本征值， 则对于一个非零矢量则对于一个非零矢量 x ，有，有 XAX5要使该式成立，则要使该式成立，则 0det EA0XEA该行列式化简后就得到该行列式化简后就得到的的n次多项式，由此可求解次多项式，由此可求解出特征根，把出特征根，把 i代入代入*式就可得其对应的本征矢量式就可得其对应的本征矢量 iXn21就是就是A的相似矩阵的相似矩阵 。对应于惯量张量，如果对角化后三个本征值为：对应于惯量张量，如果对角化后三个本征值为： 式它们一定也满足所对应的本征矢量，则为，iiiiIzyxIII 32160iiiizzzyzxyziyyyxxzxy

4、ixxzyxIIIIIIIIIIII0ixzixyiixxzIyIxII0iyziiyyiyxzIyIIxI0iizzizyizxzIIyIxI几何意义：几何意义：如果移动x轴让其通过 轴移点，yzyx111处，轴移至处，至333222zyxzzyx则此时的惯量 张量就成为了 。 321000000III7关于惯量主轴的讨论：关于惯量主轴的讨论： 惯量主轴垂直于惯量椭球面；惯量主轴垂直于惯量椭球面； 证明：先复习曲面的梯度与曲面法线的关系：证明：先复习曲面的梯度与曲面法线的关系：( , , )uf x y zkzujyuixugppp称为曲面上称为曲面上P点的梯度，与该点的法线方向相同。点的梯

5、度，与该点的法线方向相同。 1222222yzIxzIxyIzIyIxIyzxzxyzzyyxx2121222zxIyzIxyIzIyIxIzxyzxyzzyyxxzxIyzIxyIzIyIxIFzxyzxyzzyyxx222218zzIyIxIyzIyIxIxzIyIxIzzzyzxyzyyyxxzxyxx则点的法线方向是则点的法线方向是zyx，gradF如果设过原点的矢量的方向与椭球面的法线方向如果设过原点的矢量的方向与椭球面的法线方向相同，则：相同，则：gradF如果设与椭球面的交点为，则上式等价于：如果设与椭球面的交点为，则上式等价于：zyx，zzFyyFxxF，代入代入 的三个分量，

6、得：的三个分量，得：gradFzxIyzIxyIzIyIxIFzxyzxyzzyyxx222219如果如果为惯量张量的特征值，为其所对应为惯量张量的特征值，为其所对应的特征矢量，的特征矢量， 则上式即为惯量张的特征方程。反推，则上式即为惯量张的特征方程。反推，zyx，因为本征值、本征矢满足此方程，故通过坐标原点因为本征值、本征矢满足此方程，故通过坐标原点及及zyx，这一点的轴即为一主轴，故主轴平行于该这一点的轴即为一主轴，故主轴平行于该点的法线方向，因此惯量主轴垂直于惯量椭球面。点的法线方向，因此惯量主轴垂直于惯量椭球面。如以惯量主轴为坐标轴，则椭球面方程就简化为：如以惯量主轴为坐标轴，则椭球

7、面方程就简化为：1232221zIyIxI与几何中的标准椭球方程相比较与几何中的标准椭球方程相比较 1222222czbyax321111IcIbIa，10 x轴为主轴的充要条件是含有轴为主轴的充要条件是含有 x的惯量积为零。的惯量积为零。 证明：必要性：证明：必要性：设设 x 为主轴，由于为主轴，由于 x 轴与椭球面的交点坐标为轴与椭球面的交点坐标为， 0 0 1xzzIyIxIyzIyIxIxzIyIxIzzzyzxyzyyyxxzxyxx0011111xIxIxIxIzxyxxx0 , 1xzzxxyyxxxIIIIII充分性：设充分性：设 0 xzzxyxxyIIII此时惯量椭球方程为

8、：此时惯量椭球方程为： 22212xxyyzzyzFI xI yI zI yz11yIzIzFzIyIyFxIxFyzzzyzyyxx , ，由于由于 x 轴与椭球面的交点为：轴与椭球面的交点为： )0 , 0 ,(x则则 xIxFxx0yF0zF故椭球面在（故椭球面在（x,0,0）点的法线方向为：）点的法线方向为：i xIgradFxx说明说明 x 坐标轴与椭球面交点的法线方向与坐标轴与椭球面交点的法线方向与 x 轴方向一轴方向一致，即致，即 x 轴垂直于椭球面，故轴垂直于椭球面，故 x 轴为惯量主轴。轴为惯量主轴。12如果刚体有对称性，则可由以下条件决定其主轴：如果刚体有对称性，则可由以下

9、条件决定其主轴：a. 如果均质刚体有对称轴，则此轴为轴上各点的惯量如果均质刚体有对称轴，则此轴为轴上各点的惯量 椭球的主轴；椭球的主轴；若若 x轴轴 为对称轴，如果存在为对称轴，如果存在 ),(iiizyx，一定有，一定有 ),(iiizyx，故，故 0iiiixyyxmI0iiiixzzxmI注意：惯量主轴并不一定是对称轴，因为某些刚体注意：惯量主轴并不一定是对称轴，因为某些刚体不具有任何对称轴，但惯量椭球一定存在主轴。不具有任何对称轴，但惯量椭球一定存在主轴。13b. 如果均质刚体有对称面，则此平面上各点的惯量如果均质刚体有对称面，则此平面上各点的惯量主轴之一将垂直于该平面；主轴之一将垂直

10、于该平面；如果对称面为如果对称面为 xoy 平面，则对刚体中的质点平面，则对刚体中的质点 ),(iiiizyxM来说，必有相同质量的来说，必有相同质量的 ),(iiiizyxM与之对应，故：与之对应，故： 0iiiixzzxmI0iiiiyzzymI因此和因此和 xoy 平面垂直且通过平面垂直且通过 ),(iiyx点的点的 轴将是对称轴将是对称面与该轴交点的惯量主轴。面与该轴交点的惯量主轴。14c. 通过中心惯量主轴上的各点与惯量主轴平行的轴为通过中心惯量主轴上的各点与惯量主轴平行的轴为该点的惯量主轴。该点的惯量主轴。和质心联系的椭球称作中心惯量椭球，中心惯量椭和质心联系的椭球称作中心惯量椭球

11、，中心惯量椭球的主轴称为中心惯量主轴。球的主轴称为中心惯量主轴。xyzxyzPC设设 C 点为质心，点为质心，x、y、z 为中心为中心惯量主轴，在惯量主轴，在 z 上取一点上取一点P， aCP，过，过 P 作作 zyx,分别平行分别平行 于于 x、y、z 轴，要证明轴，要证明 zyx,是和是和 P 点联系的惯量椭球的主轴。点联系的惯量椭球的主轴。15证明：证明： x、y、z 为中心惯量主轴，则：为中心惯量主轴，则：0iiiiyxm0iiiizxm0iiiizymiixxiiyyazzii刚体上的任一点刚体上的任一点 ),( iiiizyxm在新坐标系下的坐标为在新坐标系下的坐标为 ),(iii

12、zyx，则，则 ：iiiizxzxmIiiiiiiiiiiixmazxmazxm)(0iiixm0zxI0yxzyII点所均为，Pzyx联系的惯量椭球的主轴。联系的惯量椭球的主轴。 xyzxyzPC16例：质量为例：质量为m，边长分别为，边长分别为ba，的长方形均质薄板，求其对角的长方形均质薄板，求其对角线的转动惯量。线的转动惯量。xyoabl解法一：如图建立坐标系，则由对称性知，解法一：如图建立坐标系，则由对称性知， zyx，轴均为主轴，故轴均为主轴，故: 232221321000000IIIIIIIl，02222，babbaa17mdmzyI221dmy22222232121121aabbmbabdyydxdxdyy22212amI 222222216babamIIIl解法二：如图建立坐标系，解法二：如图建立坐标系，则则x，y不是主轴，不是主轴，z是主轴是主轴 ablxyo000000