分解因式之十字相乘法教案-人教新课标版

1、学习必备欢迎下载分解因式 之十字相乘法我们知道x2x3x25x6 ，反过来，就得到二次三项式x25x 6 的因式分解形式，即 x25x6x2x3，其中常数项 6分解成2,3 两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即 6=2× 3，且 2+3=5。一般地，由多项式乘法，xa xbx2ab xab ，反过来，就得到x2ab xabxaxb这就是说，对于二次三项式x2pxq ，如果能够把常数项q 分解成两个因数 a、 b的积，并且a+b 等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即x2pxqx2abxabxa xb 。运用这个公式， 可以把某些二次项系数为1 的二次三项式分解

2、因式。例 1把 x23x2分解因式。分析：这里，常数项2 是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而2=1× 2=(-1)(-2)，要使它们的代数和等于3，只需取 1,2 即可。解：因为2=1×2，并且 1+2=3，所以 x23x2x 1x2例 2把 x27x6 分解因式。分析：这里，常数项是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而6=1×6=(-1) × (-6)=2 × 3=(-2)×(-3) ，要使它们的代数和等于-7 ，只需取 -1 ， -6即可。解：因为 6=(-1)× (-6) ，并且 (-1)+(-6)=-7，所以

3、x27x6x1x6x1x6例 3把 x24x21分解因式。分析：这里，常数项是负数，所以分解成的两个因数必是异号，-21 可以分解成 -21=(-1) × 21=1×(-21)=(-3)× 7=3× (-7)，其中只需取3 与 -7 ，其和 3+(-7)等于一次项的系数 -4 。解：x24x21x3x7x3x7例 4把 x22x15 分解因式。解：因为 -15=(-3)× 5，并且 (-3)+5=2 ，所以学习必备欢迎下载x22x15=x3x 5x3x 5通过例14 可以看出， 把 x2pxq 分解因式时：如果常数项 q 是正数，那么把它分解成

4、两个同号因数，它们的符号与一次项系数p 的符号相同。如果常数项 q 是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数 p 的符号相同。对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数p。例 5把下列各式分解因式：(1)x46x28(2)a b24 a b 3解：46x28(1)xx226 x28=x22x24x22x24(2)ab24ab3=ab1ab3a b1ab3例 6把 x23xy2 y2 分解因式。分析：把 x23xy2y2 看成 x 的二次三项式， 这时，常数项是 2 y2 ，一次项系数是 -3y ，把 2 y2 分解成 -y 与 -2y 的积， (-y)

5、+(-2y)=-3y,正好等于一次项的系数。解： x23xy 2 y2=x23yx2y2= xyx2y我们知道，x23x53x2 11x 10 。反过来就得到 3x2 11x10 的因式分解的形式，即 3x211x10x 2 3x 5 。我们发现，二次项的系数3 分解成1,3 两个因数的积；常数项 10 分解成 2,5两个因数的积；当我们把1,3 ， 2,5写成1235后发现 1×5+2× 3 正好等于一次项的系数11。学习必备欢迎下载由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式ax2bxc 进行因式分解。我们知道，a1x c1a2 x c2a a x2a cx a c x c

6、c21212211a1a2 x2a1c2a2c1 x c1c2反过来，就得到a1 a2 x2a1c2a2 c1 x c1c2a1 x c1a2 xc2我们发现，二次项的系数a 分解成 a1a2 ，常数项 c 分解成 c1c2 ，并且把 a1 ， a2 ， c1 ， c2 排列如下：a1c1a2c2这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1 c2 + a2 c1 ，如果它们正好等于ax2bx c 的一次项系数 b ，那么 ax2bxc 就可以分解成a1x c1a2 xc2，其中 a1 ， c1 位于上图的上一行，a2 ， c2 位于下一行。像这种借助画十字交叉分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因

7、式的方法，通常叫做十字相乘法 。必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。例如在上面例子的二次三项式3x211x10 中，二次项的系数 3 可以分解成1 与 3，或者 -1 与-3的积，常数项10 可以分解成1 与 10，或者 -1与 -10 ，或者 2 与 5，或者-2 与 -5 的积，其中只要选取十字1235相乘就可以了。例 7把下列各式分解因式：(1)2x27x 3 (2)6x27 x 5 (3)5x26xy 8y 2解 : (1)2x27x 31-3x32x12-1(2)6 x27x5212x13x53-5学习必备

8、欢迎下载(3)5x26xy8y222yx2y5x4y5-4y另外，我们也可以用十字相乘法把二次三项式x2pxq 分解因式。例1 4 的十字分别是：111-1131-3121-61-715可以看出，这四个十字左边两个数都是1。因此在把x2pxq 分解因式时，不画十字也可以。练习把下列各式分解因式：(1)2x215 x7(2)3a28a4(3)5x27 x6(4)6 y211y10(5)5a2 b223ab10(6)3a2b217abxy 10x2 y 2(7)x27 xy12 y2(8)x47 x218(9)4m 28mn 3n2(10)5x515 x3 y 20xy2用配方法分解二次三项式对于

9、某些二次三项式ax2bxc ，除了可以用十字相乘法分解因式以外，还可以用“配方法”来分解，其中要用到完全平方公式、平方差公式以及添项、拆项的技巧( 这里运用完全平方公式“配”出一个完全平方，是配方法的关健；“添项、拆项”是指先添一个0，再把 0 拆成绝对值相同、符号相反两项，也就是先加上一个适当的项，再减去这个项，其目的也是为了配方) 。例如，把 x26x 16 分解因式，我们可以这样进行：x26 x16x22x3323216 ( 加上 32 ，再减去 32 )x252( 运用完全平方公式 )3x35x35( 运用平方差公式 )x8x2( 化简)学习必备欢迎下载可以看出，这与十字相乘法分解的结果是一致的。又例如，把 2x2x3 分解因式，我们可以这样进行：2x2x32x21x3(先提取二次项系数 )2222221 x1132x22(加上 1，再减去 1 )4442441252(运用完全平方公式 )2x442x15x15(运用平方差公式 )44442x3x1(化简 )22 x3x1可以看出，这与十字相乘法分解的结果是一致。1. 用十字相乘法分解因式：(1)2x 2+3x+1；(2)2y 2+y6；(3)6x213x+6；(4)3a27a6；(5)6x22；2211xy+3y(6)4m +8mn+3n；(7)10x222221xy