（全国通用）高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第8节 圆锥曲线的综合问题学案 文 新人教A

1、1第第 8 8 节节圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题最新考纲1.掌握解决直线与椭圆、 抛物线的位置关系的思想方法； 2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.知 识 梳 理1.直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时， 通常将直线l的方程AxByC0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程，即AxByC0，F（x，y）0消去y，得ax2bxc0.(1)当a0 时，设一元二次方程ax2bxc0 的判别式为，则：0直线与圆锥曲线C相交；0直线与圆锥曲线C相切；0直线与圆锥曲线C相离.(2)

2、当a0，b0 时， 即得到一个一次方程， 则直线l与圆锥曲线C相交， 且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.2.圆锥曲线的弦长设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| 1k2|x1x2| 1k2 （x1x2）24x1x211k2|y1y2|11k2 （y1y2）24y1y2.常用结论及微点提醒1.直线与椭圆位置关系的有关结论(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；(2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切；(3)过椭圆内一点的直

3、线均与椭圆相交.22.直线与抛物线位置关系的有关结论(1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；(2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条与对称轴平行或重合的直线.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点.()(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点.()(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有

4、一个公共点.()(4)如果直线xtya与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则弦长|AB| 1t2|y1y2|.()解析(2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切.(3)因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切.答案(1)(2)(3)(4)2.直线ykxk1 与椭圆x29y241 的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.不确定解析直线ykxk1k(x1)1 恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.答案A3.双曲线x24y2121 的焦点到渐近线的距离为()A.2 3B.2C.

5、 3D.1解析双曲线x24y2121 的一个焦点为F(4，0)，其中一条渐近线方程为y 3x，点F到3xy0 的距离为4 322 3.答案A34.过抛物线y2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则x1x2等于_.解析易知抛物线y2x2的焦点为0，18 ，设过焦点的直线的斜率为k，则其方程为ykx18，由y2x2，ykx18得 2x2kx180，故x1x2116.答案1165.已知F1，F2是椭圆 16x225y21 600 的两个焦点，P是椭圆上一点， 且PF1PF2， 则F1PF2的面积为_.解析由题意可得|PF1|PF2|2a20，|PF1|2|PF2|2

6、|F1F2|24c2144(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2022|PF1|PF2|，解得|PF1|PF2|128，所以F1PF2的面积为12|PF1|PF2|1212864.答案64考点一直线与圆锥曲线的位置关系【例 1】 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为F1(1，0)，且点P(0，1)在C1上.(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y24x相切，求直线l的方程.解(1)椭圆C1的左焦点为F1(1，0)，c1，又点P(0，1)在曲线C1上，0a21b21，得b1，则a2b2c22，所以椭圆C1的方程为x22

7、y21.(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于 0，设直线l的方程为ykxm，由x22y21，ykxm消去y，得(12k2)x24kmx2m220.因为直线l与椭圆C1相切，4所以116k2m24(12k2)(2m22)0.整理得 2k2m210.由y24x，ykxm消去y，得k2x2(2km4)xm20.因为直线l与抛物线C2相切，所以2(2km4)24k2m20，整理得km1.综合，解得k22，m 2或k22，m 2.所以直线l的方程为y22x 2或y22x 2.规律方法研究直线与圆锥曲线的位置关系时， 一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论

8、含x2项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用.但对于选择题、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解.【训练 1】 若直线mxny4 与圆O：x2y24 没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆x29y241 的交点个数为()A.至多一个B.2C.1D.0解析直线mxny4 和圆O：x2y24 没有交点， 4m2n22， m2n24， m29n24m294m241536m2b0)的左、右焦点，过F2作倾斜角为3的直线交椭圆D于A，B两点，F1到直线AB的距离为 2 3，连接椭圆D的四个顶点得到的菱形的面积为 2 5.(1)求椭圆D的方程；(2)设过点F2的直线l被椭圆D和圆C：(x2)

9、2(y2)24 所截得的弦长分别为m，n，当mn最大时，求直线l的方程.5解(1)设F1的坐标为(c，0)，F2的坐标为(c，0)(c0)，则直线AB的方程为y 3(xc)，即3xy 3c0，| 3c 3c|（ 3）2（1）22 3，解得c2.122a2b2 5，ab 5，又a2b2c2，a25，b21，椭圆D的方程为x25y21.(2)由题意知，可设直线l的方程为xty2，则圆心C到直线l的距离d|2t|t21，n2 22d24t21，由xty2，x25y21得(t25)y24ty10，设直线l与椭圆D的交点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，y1y24tt25，y1y21t25，m 1t

10、2|y1y2|2 5（t21）t25，mn8 5t21t258 5t214t212 5当且仅当t214t21，即t 3时，等号成立，直线l的方程为x 3y20 或x 3y20.规律方法1.弦长的三种常用计算方法(1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义，可优化解题.(2)点距法：将直线的方程和圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长.(3)弦长公式法：它体现了解析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系得到的.2.处理中点弦问题常用的求解方法点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含

11、有x1x2，6y1y2，y1y2x1x2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.【训练 2】 (1)(2018郑州一模)已知倾斜角为 60的直线l通过抛物线x24y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦|AB|_.(2)已知椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.x245y2361B.x236y2271C.x227y2181D.x218y291解析(1)直线l的方程为y 3x1，由y 3x1，x24y，得y214y10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y

12、1y214，|AB|y1y2p14216.(2)因为直线AB过点F(3，0)和点(1，1)，所以直线AB的方程为y12(x3)，代入椭圆方程x2a2y2b21 消去y，得a24b2x232a2x94a2a2b20，所以AB的中点的横坐标为32a22a24b21，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3，a3 2.答案(1)16(2)D考点三圆锥曲线的综合问题【例 3】(2018长春模拟)已知抛物线E：x22py(p0)的焦点为F， 以抛物线E上点P(2 2，y0)y0p2 为圆心的圆与直线yp2相交于M,N两点，且|MN| 3|PM|2 33|PF|.(1)求抛物线E的方程；(2)设直线l与抛

13、物线E相交于A，B两点，线段AB的中点为D.与直线l平行的直线与抛物7线E切于点C.若点A，B到直线CD的距离之和为 4 2，求证：ABC的面积为定值.(1)解由抛物线的定义得|PF|y0p2，点P到直线yp2的距离为y0p2，圆P与直线yp2相交于M，N两点，且|MN| 3|PM|，12|MN|PM|32，即 cosPMN32，PMN30，点P到直线yp2的距离为12|PM|，即|PM|2y0p2 ， 3|PM|2 33|PF|，y0p213y0p2 ，得y0p，将点(2 2，p)代入抛物线方程，得p2，抛物线E的方程为x24y.(2)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为

14、ykxb，代入抛物线方程，得x24kx4b0，则x1x24k，x1x24b，则点D(2k，2k2b).设与直线l平行且与抛物线E相切的直线方程为ykxm，代入抛物线方程，得x24kx4m0，由16k216m0，得mk2，点C的横坐标为 2k，则C(2k，k2)，直线CD与x轴垂直，则点A，B到直线CD的距离之和为|x1x2|，即|x1x2|4 2， （x1x2）24x1x24 2，则 16k216b32，即b2k2，|CD|2k2bk2|2，SABC12|CD|x1x2|1224 24 2，即ABC的面积为定值.规律方法圆锥曲线的综合问题主要包括：定点、定值问题，最值、范围问题.(1)求解最值

15、与范围问题的关键在于准确利用已知条件构造不等关系式或目标函数，通过解不等式或求解目标函数的值域解决相应问题.8(2)关于定点的考题多以坐标轴上的点为研究对象，注意特殊位置的选取.(3)定值问题一般从特殊入手，再证明，还可以直接推理、计算，从而得到定值.【训练 3】 (2018武汉模拟)已知点F为椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x4y21 与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线x4y21 与y轴交于P， 过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B， 若|PM|2|PA|PB|，求实数的取值范围.解(1)由题意，

16、得a2c，b 3c，则椭圆E为x24c2y23c21.由x24y23c2，x4y21，得x22x43c20.直线x4y21 与椭圆E有且仅有一个交点M，44(43c2)0c21，a2，b 3，椭圆E的方程为x24y231.(2)由(1)得M1，32 ，直线x4y21 与y轴交于P(0，2)，|PM|254，当直线l与x轴垂直时，|PA|PB|(2 3)(2 3)1，|PM|2|PA|PB|45.当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由ykx2，3x24y2120(34k2)x216kx40，9依题意得，x1x2434k2，且48(4k21)0，|

17、PA|PB|(1k2)x1x2(1k2)434k21134k254，451134k2，k214，450，b0)的交点个数是()A.1B.2C.1 或 2D.0解析由直线ybax3 与双曲线x2a2y2b21 的渐近线ybax平行，故直线与双曲线的交点个数是 1.答案A2.已知双曲线C：x2a2y2b21(a0，b0)，斜率为 1 的直线与C交于两点A，B，若线段AB的中点为(4，1)，则双曲线C的渐近线方程是()A.2xy0B.x2y0C. 2xy0D.x 2y0解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2y21b21，x22a2y22b21，由得（x1x2） （x1x2）a2（y1

18、y2） （y1y2）b2， 结合题意化简得4b2a21， 即ba12， 所以双曲线C的渐近线方程为x2y0.答案B3.抛物线yx2上的点到直线xy20 的最短距离为()A. 2B.7 28C.2 2D.5 2610解析设抛物线上一点的坐标为(x，y)， 则d|xy2|2|x2x2|2|x12274|2，x12时，dmin7 28.答案B4.经过椭圆x22y21 的一个焦点作倾斜角为 45的直线l，交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，则OAOB等于()A.3B.13C.13或3D.13解析依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y0tan 45(x1)，即yx1，代入椭圆方程x22

19、y21 并整理得 3x24x0，解得x0 或x43，所以两个交点坐标分别为(0，1)，43，13 ，OAOB13，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得OAOB13.答案B5.(2018太原一模)已知抛物线y24x的焦点为F， 过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若AOB的面积为 6，则|AB|()A.6B.8C.12D.16解析由题意知抛物线y24x的焦点F的坐标为(1，0)，易知当直线AB垂直于x轴时，AOB的面积为 2，不满足题意，所以可设直线AB的方程为yk(x1)(k0)，与y24x联立，消去x得ky24y4k0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y24k，

20、y1y24，所以|y1y2|16k216，所以AOB的面积为12116k216 6，解得k 2，所以|AB|11k2|y1y2|6，故选 A.答案A二、填空题6.(2018赣州调研)在直角坐标系xOy中，有一定点M(1，2)，若线段OM的垂直平分线过抛物线x22py(p0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_.11解析易知直线OM的方程为y2x， 则线段OM的垂直平分线的方程为 2x4y50， 把焦点坐标0，p2 代入 2x4y50 可求得p52，从而得到准线方程为y54.答案y547.已知动点P(x，y)在椭圆x225y2161 上，若A点坐标为(3，0)，|AM|1，且PMAM0，则|PM|的

21、最小值是_.解析PMAM0，AMPM.|PM|2|AP|2|AM|2|AP|21，椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故|AP|min2，|PM|min 3.答案38.(2018平顶山模拟)若双曲线x2y2b21(b0)的一条渐近线与圆x2(y2)21 至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是_.解析双曲线的渐近线方程为ybx，则有|02|1b21，解得b23，则e21b24，e1，1e2.答案(1，2三、解答题9.设F1，F2分别是椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，过F1且斜率为 1 的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.(1)求E的离心

22、率；(2)设点P(0，1)满足|PA|PB|，求E的方程.解(1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a，又 2|AB|AF2|BF2|，得|AB|43a，l的方程为yxc，其中ca2b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组yxc，x2a2y2b21，消去y，整理得(a212b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则x1x22a2ca2b2，x1x2a2（c2b2）a2b2.因为直线AB的斜率为 1，所以|AB| 2|x2x1| 2（x1x2）24x1x2，即43a4ab2a2b2，故a22b2，所以E的离心率ecaa2b2a22.(2)设AB的中点为N(x0

23、，y0)，由(1)知x0 x1x22a2ca2b22c3，y0 x0cc3.由|PA|PB|，得kPN1，即y01x01，得c3，从而a3 2，b3.故椭圆E的方程为x218y291.10.(2018石家庄模拟)已知抛物线x24y的焦点为F，A，B是抛物线上的两个动点，且AFFB(0).过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(1)证明：FMAB为定值；(2)设ABM的面积为S，求S的最小值.(1)证明设直线AB的方程为ykx1，与抛物线x24y联立得x24kx40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因此x1x24k，x1x24，由直线AM：yx12xx214，直线BM：yx22xx

24、224得Mx1x22，x1x24，即M(2k，1)，所以FMAB(2k，2)x2x1，x22x214(2k，2)(4k21，4k k21)0.(2)解|AB|4(k21)，点M到直线AB的距离为d|2k22|1k22 1k2，所以S124(k21)2k214(k21)324，所以S的最小值为 4.13能力提升题组(建议用时：20 分钟)11.(2017石家庄模拟)已知P为双曲线C：x29y2161 上的点， 点M满足|OM|1， 且OMPM0，则当|PM|取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为()A.95B.125C.4D.5解析由OMPM0，得OMPM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值， 当|OP|取得最小值时， 点P的位置为双曲线的顶点(3， 0)， 而双曲线的渐近线为 4x3y0，所求的距离d125，故选 B.答案B12.(2018大庆质检)设F1、F2分别是椭圆x24y21 的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(OPOF2)PF20(O为坐标原点)，则F1PF2的面积是_.解析如图，因为(OPOF2)PF20，所以平行四边形OPBF2的对角线互相垂直，即平行四边形OPBF2是菱形，由椭圆方程x24y21，得a