（全国通用）高考数学大一轮复习 第十一章 推理与证明、算法、复数 第2节 直接证明与间接证明学案 文 新人教A

1、1第第 2 2 节节直接证明与间接证明直接证明与间接证明最新考纲1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法； 了解分析法和综合法的思考过程和特点； 2.了解间接证明的一种基本方法反证法； 了解反证法的思考过程和特点.知 识 梳 理1.直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止实质由因导果执果索因框图表示PQ1Q1Q2QnQQP1P1P2得到一个明显成立的条件文字语言因为所以或由得要证

2、只需证即证2.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法.(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法.(2)用反证法证明的一般步骤：反设假设命题的结论不成立；归谬根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；结论断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.()2(2)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”.()(3)反证法是指将结论和条件同时否定

3、，推出矛盾.()(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.()解析(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件.(2)应假设“ab”.(3)反证法只否定结论.答案(1)(2)(3)(4)2.若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是()A.ac2abb2C.1aab解析a2aba(ab)，ab0，ab0，a2ab.又abb2b(ab)0，abb2，由得a2abb2.答案B3.要证a2b21a2b20，只要证明()A.2ab1a2b20B.a2b21a4b420C.（ab）221a2b20D.(a21)(b21)0解析a2b21a2

4、b20(a21)(b21)0.答案D4.用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数.用反证法证明时，下列假设正确的是()A.假设a，b，c都是偶数B.假设a，b，c都不是偶数C.假设a，b，c至多有一个偶数D.假设a，b，c至多有两个偶数解析“至少有一个”的否定为“都不是”，故 B 正确.3答案B5.(选修 12P37 例 3 改编)在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则ABC的形状为_.解析由题意 2BAC，又ABC，B3，又b2ac，由余弦定理得b2a2c22accos

5、Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，ABC3，ABC为等边三角形.答案等边三角形考点一综合法的应用【例 1】 数列an满足an1an2an1，a11.(1)证明：数列1an是等差数列；(2)(一题多解)求数列1an的前n项和Sn，并证明1S11S21Snnn1.(1)证明an1an2an1，1an12an1an，化简得1an121an，即1an11an2，故数列1an是以 1 为首项，2 为公差的等差数列.(2)解由(1)知1an2n1，Snn（12n1）2n2.法一1S11S21Sn1121221n21121231n（n1）112 1213 1n1n1 11n1nn

6、1.法二1S11S21Sn1121221n21，又1nn1，1S11S21Snnn1.规律方法1.综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)4的逻辑推理方法， 即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发， 经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性.2.综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.【训练 1】 (2018东北三省三校调研)已知a，b，c0，abc1.求证：(1)abc 3；(2)13a113b113c132.证明(1)(abc)2(abc)2ab2bc2ca(abc)(ab)(bc)(ca)3，abc 3.(2)a0，3a10，43a1(3a1)

7、243a1（3a1）4，当且仅当43a13a1，即a13时取“”.43a133a，同理得43b133b，43c133c，以上三式相加得413a113b113c1 93(abc)6，13a113b113c132，当且仅当abc13时取“”.考点二分析法的应用【例 2】 已知ab0，求证：2a3b32ab2a2b.证明要证明 2a3b32ab2a2b成立，只需证 2a3b32ab2a2b0，即 2a(a2b2)b(a2b2)0，即(ab)(ab)(2ab)0.ab0，ab0，ab0，2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0 成立，2a3b32ab2a2b.规律方法1.逆向思考是用分析法证题的主要

8、思想， 通过反推， 逐步寻找使结论成立的充分5条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.2.证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.【训练 2】 ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：1ab1bc3abc.证明要证1ab1bc3abc，即证abcababcbc3 也就是cababc1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2，又ABC三内角A，B，C成等差数列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即b2c

9、2a2ac，故c2a2acb2成立.于是原等式成立.考点三反证法的应用【例 3】 等差数列an的前n项和为Sn，a11 2，S393 2.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bnSnn(nN N* *)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.(1)解由已知得a1 21，3a13d93 2，解得d2，故an2n1 2，Snn(n 2).(2)证明由(1)得bnSnnn 2.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，rN N*，且互不相等)成等比数列，则b2qbpbr.即(q 2)2(p 2)(r 2).(q2pr) 2(2qpr)0.p，q，rN N* *，q2

10、pr0，2qpr0.pr22q2pr，(pr)20.pr，与pr矛盾.数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.规律方法1.当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，6可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等.2.用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须否定结论；(2)必须从否定结论进行推理；(3)推导出的矛盾必须是明显的.【训练 3】 (2018郑州一中月考)已知a1a2a3a4100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于 25.证明假设a1，a2，a3，a4均不大于

11、 25，即a125，a225，a325，a425，则a1a2a3a425252525100，这与已知a1a2a3a4100 矛盾，故假设错误.所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于 25.基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于 60”时，应假设()A.三个内角都不大于 60B.三个内角都大于 60C.三个内角至多有一个大于 60D.三个内角至多有两个大于 60解析“至少有一个”的否定是“一个都没有”，故可以理解为都大于 60.答案B2.已知m1，am1m，bmm1，则以下结论正确的是()A.abB.amm10(m1)，1m1m

12、1mm1，即a0B.a2b22(ab1)C.a23ab2b2D.aba1b1解析在 B 中，a2b22(ab1)(a22a1)(b22b1)(a1)2(b1)20，a2b22(ab1)恒成立.答案B4.分析法又称“执果索因法”， 若用分析法证明： “设abc， 且abc0， 求证b2ac 3a”索的因应是()A.ab0B.ac0C.(ab)(ac)0D.(ab)(ac)0解析由题意知b2ac 3ab2ac3a2 (ac)2ac3a2a22acc2ac3a20 2a2acc20 2a2acc20 (ac)(2ac)0 (ac)(ab)0.答案C5.已知p3q32，求证pq2，用反证法证明时，可假

13、设pq2；已知a，bR R，|a|b|40， 6 72 2 5.答案6 72 2 57.用反证法证明命题“a，bR R，ab可以被 5 整除，那么a，b中至少有一个能被 5 整除”，那么假设的内容是_.解析“至少有一个能被 5 整除”的否定是“都不能被 5 整除”.答案“a，b都不能被 5 整除”8.下列条件：ab0，ab0，b0，a0，b0 成立，即a，b不为 0 且同号即可，故能使baab2 成立.答案三、解答题9.若a，b，c是不全相等的正数，求证：lgab2lgbc2lgca2lgalgblgc.证明a，b，c(0，)，ab2ab0，bc2bc0，ac2ac0.又上述三个不等式中等号不

14、能同时成立.ab2bc2ca2abc成立.上式两边同时取常用对数，得 lgab2bc2ca2lgabc，lgab2lgbc2lgca2lgalgblgc.10.设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？(1)证明假设数列Sn是等比数列，则S22S1S3，9即a21(1q)2a1a1(1qq2)，因为a10，所以(1q)21qq2，即q0，这与公比q0 矛盾，所以数列Sn不是等比数列.(2)解当q1 时，Snna1，故Sn是等差数列；当q1 时，Sn不是等差数列，否则 2S2S1S3，即 2a1(1q)a1a1(1q

15、q2)，得q0，这与公比q0 矛盾.综上，当q1 时，数列Sn是等差数列；当q1 时，数列Sn不是等差数列.能力提升题组(建议用时：20 分钟)11.(2018上饶开学考试)设x，y，z0，则三个数yxyz，zxzy，xzxy()A.都大于 2B.至少有一个大于 2C.至少有一个不小于 2D.至少有一个不大于 2解析因为yxyzzxzyxzxyyxxyyzzyzxxz6，当且仅当xyz时等号成立.所以三个数中至少有一个不小于 2，故选 C.答案C12.(2016全国卷)有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是_.解析根据丙的说法及乙看了丙的卡片后的说法进行推理.由丙说“我的卡片上的数字之和不是 5”， 可推知丙的卡片上的数字是 1 和 2 或 1 和 3.又根据乙看了丙的卡片后说： “我与丙的卡片上相同的数字不是 1”可知，乙的卡片不含 1，所以乙的卡片上的数字为 2 和 3.再根据甲的说法“我与乙的卡片上相同