高中数学概率大题(经典一)

1、 请预览后下载！ 高中数学概率大题（经典一）高中数学概率大题（经典一） 一解答题（共一解答题（共 1010 小题）小题） 1 在一次运动会上， 某单位派出了有 6 名主力队员和 5 名替补队员组成的代表队参加比赛 （1）如果随机抽派 5 名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为 X，求随机变量 X的数学期望； （2）若主力队员中有 2 名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有 2 名队员身材相对矮小， 也不宜同时上场； 那么为了场上参加比赛的 5 名队员中至少有 3 名主力队员，教练员有多少种组队方案？ 2某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整

2、数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表： 办理业务所需的时间（分） 1 2 3 4 5 频率 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 从第一个顾客开始办理业务时计时 （1）估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率； （2）X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数，求 X 的分布列及数学期望 3某单位举办 2010 年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖盒中装有 9 张大小相同的精美卡片， 卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝” （世博会吉祥物） 图案； 抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖卡片用后放回盒子，下一位参加

3、者继续重复进行 （1）有三人参加抽奖，要使至少一人获奖的概率不低于，则“海宝”卡至少多少张？ （2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用 表示获奖的人数，求 的分布列及 E 的值 4一袋中有 m（mN*）个红球，3 个黑球和 2 个白球，现从中任取 2 个球 （1）当 m=4 时，求取出的 2 个球颜色相同的概率； （2）当 m=3 时，设 表示取出的 2 个球中黑球的个数，求 的概率分布及数学期望； （3）如果取出的 2 个球颜色不相同的概率小于，求 m 的最小值 5某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的 4 个白球和 2 个红球的口袋中

4、一次性摸出 3 个球， 至少摸到一个红球则中奖 （）求一次抽奖中奖的概率； （）若每次中奖可获得 10 元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和 X（元）的概率分布和期望 E（X） 6将一枚硬币连续抛掷 15 次，每次抛掷互不影响记正面向上的次数为奇数的概率为 P1，正面向上的次数为偶数的概率为 P2 （）若该硬币均匀，试求 P1与 P2； （）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为，试比较 P1与 P2的大小 请预览后下载！ 7某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为 0.25，乙河流发生洪水的概率为 0.18（假设两河流发生洪水与

5、否互不影响） 现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下三种方案： 方案 1：运走设备，此时需花费 4000 元； 方案 2：建一保护围墙，需花费 1000 元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约 56000 元； 方案 3：不采取措施，此时，当两河流都发生洪水时损失达 60000 元，只有一条河流发生洪水时，损失为 10000 元 （1）试求方案 3 中损失费 （随机变量）的分布列； （2）试比较哪一种方案好 82009 年 10 月 1 日，为庆祝中华人们共和国成立 60 周年，来自北京大学和清华大学的共计 6 名大学生志愿服务

6、者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、 清扫卫生、 维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名北京大学志愿者的概率是 （1）求 6 名志愿者中来自北京大学、清华大学的各几人； （2）求清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学人各一人的概率； （3） 设随机变量 为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数， 求 分布列及期望 9在 1，2，3，9 这 9 个自然数中，任取 3 个不同的数 （1）求这 3 个数中至少有 1 个是偶数的概率； （2）求这 3 个数和为 18 的概率； （3）设 为这 3 个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为 1，2，3，则有两组相邻的数 1，2 和 2，3，

7、此时 的值是 2） 求随机变量 的分布列及其数学期望 E 10某单位组织 4 个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界 3 个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的 （）求 3 个景区都有部门选择的概率； （）求恰有 2 个景区有部门选择的概率 请预览后下载！ 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一解答题（共一解答题（共 1 10 0 小题）小题） 1 （2016南通模拟）在一次运动会上，某单位派出了有 6 名主力队员和 5 名替补队员组成的代表队参加比赛 （1）如果随机抽派 5 名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为 X，求随机变量 X的数学期望； （2）若主

8、力队员中有 2 名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有 2 名队员身材相对矮小， 也不宜同时上场； 那么为了场上参加比赛的 5 名队员中至少有 3 名主力队员，教练员有多少种组队方案？ 【解答】解： （1）由题意知随机变量 X 的取值是 0、1、2、3、4、5， 当 X=0 时，表示主力队员参加比赛的人数为 0，以此类推， P（X=0）=； P（X=1）=； P（X=2）=； P（X=3）=； P（X=4）=； P（X=5）= 随机变量 X 的概率分布如下表： E（X）=0+1+2+3+4+5 =2.73 （2）由题意知 请预览后下载！ 上场队员有 3 名主力，方案有： （C63

9、C41） （C52C22）=144（种） 上场队员有 4 名主力，方案有： （C64C42）C51=45（种） 上场队员有 5 名主力，方案有： （C65C43）C50=C44C21=2（种） 教练员组队方案共有 144+45+2=191 种 2 （2012陕西）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表： 办理业务所需的时间（分） 1 2 3 4 5 频率 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 从第一个顾客开始办理业务时计时 （1）估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率； （2）X 表示至第 2 分钟

10、末已办理完业务的顾客人数，求 X 的分布列及数学期望 【解答】解：设 Y 表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得 Y 的分布如下： Y 1 2 3 4 5 P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1 （1）A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务”，则时间 A 对应三种情形： 第一个顾客办理业务所需时间为 1 分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟； 第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟； 第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟 所以 P（A）=0.10.3+0.30.1+0.40.4=0.22 （2）

11、X 所有可能的取值为：0，1，2 X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟，所以 P（X=0）=P（Y2）=0.5； X=1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过 1 分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟，所以 P（X=1）=0.10.9+0.4=0.49； X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟，所以 P（X=2）=0.10.1=0.01； 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 0.5 0.49 0.01 EX=00.5+10.49+20.01=0.51 3（2012海安县校级模拟） 某单位举办 2010 年

12、上海世博会知识宣传活动， 进行现场抽奖 盒中装有 9 张大小相同的精美卡片， 卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝” （世博会吉祥物） 图案； 抽奖规则是： 参加者从盒中抽取卡片两张， 若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行 （1）有三人参加抽奖，要使至少一人获奖的概率不低于，则“海宝”卡至少多少张？ （2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用 表示获奖的人数，求 的分布列及 E 的值 【解答】解： （1）记至少一人获奖事件为 A，则都不获奖的事件 ， 设“海宝”卡 n 张， 则任一人获奖的概率， 请预览后下载！ ，由题意：， n7至少 7 张“海

13、宝”卡， （2）的分布列为； ， 4 （2011江苏模拟）一袋中有 m（mN*）个红球，3 个黑球和 2 个白球，现从中任取 2 个球 （1）当 m=4 时，求取出的 2 个球颜色相同的概率； （2）当 m=3 时，设 表示取出的 2 个球中黑球的个数，求 的概率分布及数学期望； （3）如果取出的 2 个球颜色不相同的概率小于，求 m 的最小值 【解答】解： （1）由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件是从 9 个球中任取 2 个，共有 C92=36 种结果， 满足条件的事件是取出的 2 个球的颜色相同，包括三种情况，共有 C42+C32+C22 =10 设“取出的 2 个球

14、颜色相同”为事件 A， P（A）= （2）由题意知黑球的个数可能是 0，1，2 P（=0）= P（=1）=，P（=2）= 的分布列是 E=0+1+2= （3）由题意知本题是一个等可能事件的概率， 事件发生所包含的事件数 Cx+52， 满足条件的事件是 Cx1C31+Cx1C21+C31C21， 设“取出的 2 个球中颜色不相同”为事件 B，则 P（B）=， x26x+20， x3+或 x3， 请预览后下载！ x 的最小值为 6 5 （2010鼓楼区校级模拟）某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券， 每张抽奖券可以从一个装有大小相同的 4 个白球和 2 个红球的口袋中一

15、次性摸出 3 个球，至少摸到一个红球则中奖 （）求一次抽奖中奖的概率； （）若每次中奖可获得 10 元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和 X（元）的概率分布和期望 E（X） 【解答】解： （1）由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生的所有事件是从 6 个球中取三个，共有 C63种结果， 而满足条件的事件是摸到一个红球或摸到两个红球，共有 C21C42+C22C41 设“一次抽奖中奖”为事件 A， 即一次抽奖中奖的概率为； （2）X 可取 0，10，20， P（X=0）=（0.2）2=0.04， P（X=10）=C210.80.2=0.32， P（X=20）=（0

16、.8）2=0.64， X 的概率分布列为 E（X）=00.04+100.32+200.64=16 6 （2010盐城三模）将一枚硬币连续抛掷 15 次，每次抛掷互不影响记正面向上的次数为奇数的概率为 P1，正面向上的次数为偶数的概率为 P2 （）若该硬币均匀，试求 P1与 P2； （）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为，试比较 P1与 P2的大小 【解答】解： （）抛硬币一次正面向上的概率为， 正面向上的次数为奇数次的概率为 P1=P15（1）+P15（3）+P15（15） = 请预览后下载！ （）P1=C151p1（1p）14+C153p3（1p）12+C1515p15， P2=C150

17、p0（1p）15+C152p2（1p）13+C1514p14（1p）1 则 P2P1=C150p0（1p）15C151p1（1p）14+C152p2（1p）13+C1514p14（1p）1C1515p15 =（1p）p15 =（12p）15， 而， 12p0， P2P1 7 （2010南通模拟）某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为 0.25，乙河流发生洪水的概率为 0.18（假设两河流发生洪水与否互不影响） 现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下三种方案： 方案 1：运走设备，此时需花费 4000 元； 方案 2：建一保护围墙，

18、需花费 1000 元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约 56000 元； 方案 3：不采取措施，此时，当两河流都发生洪水时损失达 60000 元，只有一条河流发生洪水时，损失为 10000 元 （1）试求方案 3 中损失费 （随机变量）的分布列； （2）试比较哪一种方案好 【解答】解： （1）在方案 3 中，记“甲河流发生洪水”为事件 A，“乙河流发生洪水”为事件 B， 则 P（A）=0.25，P（B）=0.18， 所以，有且只有一条河流发生洪水的概率为 P（A + B）=P（A）P（ ）+P（ ）P（B）=0.34， 两河流同时发生洪水的概率为

19、P（AB）=0.045， 都不发生洪水的概率为 P（ ）=0.750.82=0.615， 设损失费为随机变量 ，则 的分布列为： 10000 60000 0 P 0.34 0.045 0.615 （2）对方案 1 来说，花费 4000 元； 对方案 2 来说，建围墙需花费 1000 元，它只能抵御一条河流的洪水， 但当两河流都发生洪水时，损失约 56000 元，而两河流同时发生洪水的概率为 P=0.250.18=0.045 所以，该方案中可能的花费为：1000+560000.045=3520（元） 对于方案来说，损失费的数学期望为：E=100000.34+600000.045=6100（元）

20、， 比较可知，方案 2 最好，方案 1 次之，方案 3 最差 8 （2010海安县校级模拟）2009 年 10 月 1 日，为庆祝中华人们共和国成立 60 周年，来自北京大学和清华大学的共计 6 名大学生志愿服务者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、清扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名北京大学志愿者的概率是 请预览后下载！ （1）求 6 名志愿者中来自北京大学、清华大学的各几人； （2）求清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学人各一人的概率； （3） 设随机变量 为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数， 求 分布列及期望 【解答】解： （1）记“至少一名北京大学志愿者

21、被分到运送矿泉水岗位”为事件 A，则 A 的对立事件为“没有北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位” 设有北京大学志愿者 x 个，1x6，那么 P（A）=，解得 x=2，即来自北京大学的志愿者有 2 人，来自清华大学志愿者 4 人； （2）记“清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各有一人”为事件 E， 那么 P（E）=， 所以清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各一人的概率是； （3） 的所有可能值为 0，1，2， P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=， 所以 的分布列为 E= 9 （2010苏州模拟）在 1，2，3，9 这 9 个自然数中，任取 3 个不同的数 （1）求这 3 个数中至少有 1 个是偶数的概率； （2）求这 3 个数和为 18 的概率； （3）设 为这 3 个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为 1，2，3，则有两组相邻的数 1，2 和 2，3，此时 的值是 2） 求随机变量 的分布列及其数学期望 E 【解答】解： （1）由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生所包含的事件数 C93， 满足条件的事件 3 个数中至少有 1 个是偶数， 包含三种情况一个偶数， 两个偶数， 三个偶数， 这三种情况是互斥的，根据等可能和互斥事件的概率公式得到 ； （2）记“这 3 个数之和为 1