（全国通用）高考数学大一轮复习 第十二章 推理与证明、算法、复数 第5节 复数学案 理 新人教B

1、1第第 5 5 节节复数复数最新考纲1.理解复数的基本概念； 2.理解复数相等的充要条件； 3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.知 识 梳 理1.复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如abi(aR R，bR R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b若b0，则abi 为实数；若a0且b0，则abi 为纯虚数复数相等abicdiac且bd(a，b，c，dR R)共轭复数abi 与cdi 共轭ac且bd(a，b，c，dR R)复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；

2、 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设OZ对应的复数为zabi，则向量OZ的长度叫做复数zabi 的模|z|abi|a2b22.复数的几何意义复数集 C C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的， 复数集 C C 与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR R).(2)复数zabi(a，bR R)平面向量OZ.3.复数的运算设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR R)，则(1)加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；2(2)减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(b

3、d)i；(3)乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；(4)除法：z1z2abicdi（abi） （cdi）（cdi） （cdi）acbd（bcad）ic2d2(cdi0).常用结论与微点提醒1.i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30，nN N+.2.(1i)22i；1i1ii；1i1ii.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)复数zabi(a，bR R)中，虚部为bi.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()(3)原点是实轴与虚轴的交点.()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的

4、距离，也就是复数对应的向量的模.()解析(1)虚部为b；(2)虚数不可以比较大小.答案(1)(2)(3)(4)2.(2016全国卷)设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a()A.3B.2C.2D.3解析因为(12i)(ai)a2(2a1)i，所以a22a1，解得a3.答案A3.(2017全国卷)复平面内表示复数zi(2i)的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由题意，得z12i，其在复平面内所对应的点位于第三象限.答案C4.(2017江苏卷)已知复数z(1i)(12i)，其中 i 是虚数单位，则z的模是_.解析z(1i)(12i)13i，所以|z|

5、（1）232 10.答案105.(教材习题改编)已知(12i)z43i，则z_.3解析z43i12i（43i） （12i）（12i） （12i）105i52i，z2i.答案2i考点一复数的有关概念【例 1】 (1)(2017全国卷)下列各式的运算结果为纯虚数的是()A.i(1i)2B.i2(1i)C.(1i)2D.i(1i)(2)(2017全国卷)设复数z满足(1i)z2i，则|z|()A.12B.22C. 2D.2(3)若(1i)(23i)abi(a，bR R，i 是虚数单位)，则a，b的值分别等于()A.3，2B.3，2C.3，3D.1，4解析(1)由(1i)22i 为纯虚数知选 C.(2

6、)z2i1i2i（1i）（1i） （1i）2i22i1，则|z| 1212 2.(3)(1i)(23i)32iabi，所以a3，b2.答案(1)C(2)C(3)A规律方法1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.2.解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR R)的形式，以确定实部和虚部.【训练 1】 (1)(2018广东名校联考)已知z13i3i(i 为虚数单位)，则z的共轭复数的虚部为()A.iB.iC.1D.1(2)(2017全国卷)设有下面四个命题p1：若复数z满足1zR R，则zR R

7、；p2：若复数z满足z2R R，则zR R；p3：若复数z1，z2满足z1z2R R，则z1z2；p4：若复数zR R，则zR R.4其中的真命题为()A.p1，p3B.p1，p4C.p2，p3D.p2，p4解析(1)z13i3i（13i） （3i）（3i） （3i）i，则zi，则z的虚部为 1.(2)p1：设zabi(a，bR R)，则1z1abiabia2b2R R，得到b0，所以zR R，故p1正确；p2：若z21，满足z2R R，而zi，不满足zR R，故p2不正确；p3：若z11，z22，则z1z22，满足z1z2R R，而它们实部不相等，不是共轭复数，故p3不正确；p4：因复数zR

8、 R，所以z的虚部为 0，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p4正确.答案(1)D(2)B考点二复数的几何意义【例 2】 (1)复数zi(1i)在复平面内所对应点的坐标为()A.(1，1)B.(1，1)C.(1，1)D.(1，1)(2)(2017北京卷)若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A.(，1)B.(，1)C.(1，)D.(1，)解析(1)因为zi(1i)1i，故复数zi(1i)在复平面内所对应点的坐标为(1，1).(2)(1i)(ai)a1(1a)i 的对应点在第二象限，则a10，a1.答案(1)D(2)B规律方法1.复数zabi(a，bR

9、 R)一一对应Z(a，b)一一对应OZ(a，b).2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.【训练 2】 (1)若 i 为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数z1i的点是()5A.EB.FC.GD.H(2)(2016北京卷)设aR R，若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点位于实轴上，则a_.解析(1)由题图知复数z3i，z1i3i1i（3i） （1i）（1i） （1i）42i22i.表示复数z1i的点为H.(2)(1i)(ai)(a1)(a1)i，由已知得a10，解得a1.答案(1)

10、D(2)1考点三复数的运算【例 3】 (1)(2017全国卷)3i1i()A.12iB.12iC.2iD.2i(2)(2018日照质检)若a为实数，且2ai1i3i，则a等于()A.4B.3C.3D.4(3)(2017全国卷)(1i)(2i)()A.1iB.13iC.3iD.33i解析(1)3i1i（3i） （1i）（1i） （1i）2i.(2)由2ai1i3i，得 2ai(3i)(1i)24i，因此ai4i(aR R)，所以a4.(3)由题意(1i)(2i)23ii213i.答案(1)D(2)D(3)B规律方法复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复

11、数，注意要把 i 的幂写成最简形式.【训练 3】 (1)(2017山东卷)已知aR R，i 是虚数单位.若za 3i，zz4，则a()6A.1 或1B. 7或 7C. 3D. 3(2)1i1i62 3i3 2i_.解析(1)由已知得(a 3i)(a 3i)4，a234，解得a1.(2)原式（1i）226（ 2 3i） （ 3 2i）（ 3）2（ 2）2i662i3i 651i.答案(1)A(2)1i基础巩固题组(建议用时：25 分钟)一、选择题1.(2016四川卷)设 i 为虚数单位，则复数(1i)2()A.0B.2C.2iD.22i解析(1i)212ii22i.答案C2.(2018威海质检)

12、已知 i 为虚数单位，则1i3i()A.2i5B.2i5C.12i5D.12i5解析1i3i（1i） （3i）（3i） （3i）12i5.答案D3.(2018山西康杰中学、临汾一中等五校联考)设复数z2i，则复数z1z的虚部为()A.45B.45iC.65D.65i解析z1z2i2i41225115 i12545i.答案A74.(2018石家庄质检)在复平面中，复数1（1i）21对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析因为1（1i）21112i12i（12i） （12i）12i51525i，复数对应的点为15，25 ，在第四象限.答案D5.(2017山东卷)已知 i

13、是虚数单位，若复数z满足zi1i，则z2()A.2iB.2iC.2D.2解析由zi1i，得z1ii1i，z2(1i)22i.答案A6.(2017东北三省四校联考)i 是虚数单位，若2i1iabi(a，bR R)，则 lg(ab)的值是()A.2B.1C.0D.12解析（2i） （1i）（1i） （1i）3i23212iabi，a32，b12，lg(ab)lg 10.答案C7.(2017北京东城综合测试)若复数(m2m)mi 为纯虚数，则实数m的值为()A.1B.0C.1D.2解析因为复数(m2m)mi 为纯虚数，所以m2m0，m0，解得m1.答案C8.(2016全国卷)设(1i)x1yi，其中

14、x，y是实数，则|xyi|()A.1B. 2C. 3D.2解析由(1i)x1yi，得xxi1yix1，xyx1，y1.所以|xyi|x2y22.8答案B二、填空题9.复数z(12i)(3i)，其中 i 为虚数单位，则z的实部是_.解析(12i)(3i)35i2i255i，所以z的实部为 5.答案510.(2017天津卷)已知aR R，i 为虚数单位，若ai2i为实数，则a的值为_.解析ai2i（ai） （2i）（2i） （2i）（2a1）（a2）i52a15a25i 为实数，则a250，a2.答案211.若3bi1iabi(a，b为实数，i 为虚数单位)，则ab_.解析3bi1i（3bi） （

15、1i）212(3b)(3b)i3b23b2i.a3b2，b3b2，解得a0，b3.ab3.答案312.(2017浙江卷)已知a，bR R，(abi)234i(i 是虚数单位)，则a2b2_，ab_.解析由已知(abi)234i.即a2b22abi34i.从而有a2b23，ab2，解得a24，b21，则a2b25，ab2.答案52能力提升题组(建议用时：10 分钟)13.(2018濮阳一模)计算1i1i2 0171i1i2 017()A.2iB.0C.2iD.2解析1i1i（1i）2（1i） （1i）2i2i，1i1ii，91i1i2 0171i1i2 017(i4)504i(i)4504(i)ii0.答案B14.设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A.若|z1z2|0，则z1z2B.若z1z2，则z1z2C.若|z1|z2|，则z1z1z2z2D.若|z1|z2|，则z21z22解析A 中，|z1z2|0，则z1z2，故z1z2，成立；B 中，z1z2，则z1z2成立；C 中，|z1|z2|，则|z1|2|z2|2，即z1z1z