【教案】 函数的概念 教学设计（1）-人教A版高中数学必修第一册

1、3.1.1 3.1.1 函数的概念函数的概念 本节课选自 普通高中课程标准数学教科书-必修一（人教 A 版） 第三章 函数的概念与性质 ，本节课是第 1 课时。 函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想贯穿于整个初中和高中数学. 对于高一学生来说，函数不是一个陌生的概念。但是，由于局限初中阶段学生的认知水平；学生又善未学习集合的概念，只是用运动变化的观点来定义函数，通过对正比例函数、反比例函数、一次和二次函数的学习来理解函数的意义，对于函数的概念理解并不深刻. 高一学生学习集合的概念之后，进一步运用集合与对应的观点来刻画函数，突出了函数是两个集合之间的对应关系，领会集合思想、对应思想

2、和模型思想。所以把第一课时的重点放在函数的概念理解，通过生活中的实际事例，引出函数的定义，懂得数学与人类生活的密切联系，通过对函数三要素剖析，进一步理解充实函数的内涵。所以在教学过程中分别设计了不同问题来理解函数的定义域、对应法则、函数图象的特征、两个相同函数的条件等问题. 学生在初中阶段，已经知道函数的定义域是使函数解析式有意义、实际问题要符合实际意义的自变量的范围，所以在教学中进一步强调定义域的集合表示. 课程目标课程目标 学科素养学科素养 A. 通过丰富的买例进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型; B. 用集合与对应的思想理解函数的概念; C. 理解函数的三要素及函数符号

3、的深刻含义; D. 会求函数的定义域。 1.数学抽象：函数符号( )yf x的含义； 2.逻辑推理：函数的概念； 3.数学运算：求函数的定义域； 4.直观想象：由具体例子概括函数的概念。 1.教学重点：函数的概念，函数的三要素； 2.教学难点：函数的概念及符号( )yf x的理解。 多媒体 教学过程 教学设计意图 核心素养目标 一、复习回顾，温故知新 1. 初中学习的函数的定义是什么？ 【答案】设在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说 y 是 x 的函数.其中 x叫自变量，y 叫因变量. 2.回顾初中学过哪些函数？ （1）一次函数

4、（2）正比例函数 （3）反比例函数 （4）二次函数 二、探索新知 探究一 函数的概念 问题 1. 某“复兴号”高速列车到 350km/h 后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程 S（单位：km）与运行时间 t（单位：h）的关系可以表示为 S=350t。 1.思考：根据对应关系 S=350t，这趟列车加速到 350km/h 后，运行1h 就前进了 350km，这个说法正确吗？ 【答案】不正确。对应关系应为 S=350t，其中 1750|,5 . 00|11ssBsttAt， 问题 2 某电气维修告诉要求工人每周工作至少 1 天，至多不超过 6天。 如果公司确定的工资标准是每人每天 35

5、0 元， 而且每周付一次工资， 那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资 w（单位：元）是他工作天数 d 的函数吗？ 通过复习初中所学函数的定义及基本初等函数，为进一步学习函数的概念打基础，建立知识间的联系。 【答案】是函数，对应关系为 w=350d,其中,6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 12 Ad 2100,1750,1400,1050,700,3502Bw。 2.思考： 在问题 1 和问题 2 中的函数有相同的对应关系， 你认为它们是同一个函数吗？为什么？ 【答案】不是。自变量的取值范围不一样。 问题 3 如图， 是北京市 2016 年 11 月 23 日的空气质量指

6、数变化图。如何根据该图确定这一天内任一时刻 th 的空气质量指数的值 I？你认为这里的 I 是 t 的函数吗？ 【答案】是，t 的变化范围是240|A3tt，I 的范围是 1500|IB3I。 问 题4 国 际 上 常 用 恩 格 尔 系 数）总支出金额食物支出金额rr( 反映一个地区人民生活质量的高低， 恩格尔系数越低， 生活质量越高。上表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况， 从表中可以看出， 该省城镇居民的生活质量越来越高。 你认为该表给出的对应关系， 恩格尔系数 r 是年份 y 的函数吗？ 通过学生对实例或问题的思考，去体验知识方法.通过问题的思考，提高学生的观察、类比推理、概括能力。

7、 【答案】y的取值范围是2015,2014,2013,2012,2011,2010,2009,2008,2007,2006A4， 10|B4rrr的取值范围是， 恩格尔系数 r 是年份 y 的函数。 3.思考：上述问题 1问题 4 中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？ 【答案】共同特征有： （1）都包含两个非空数集，用 A，B 来表示； （2）都有一个对应关系； （3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集 A 中的任意一个数 x，按照对应关系，在数集 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应。 4.函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的

8、对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数（function） ，记作：y=f(x) xA x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| xA 叫做函数的值域. 5.对函数符号 y=f(x)的理解： （1） 、y=f(x)为“y 是 x 的函数”的数学表示，仅是一个函数符号， f(x)不是 f 与 x 相乘。 例如：y=3x+1 可以写成 f(x)= 3x+1。 当 x=2 时 y=7 可以写成 f(2)=7 想

9、一想：f(a)表示什么意思？f(a)与 f(x)有什么区别？ 通过思考，提高学生的分析问题，概括能力。 一般地，f(a)表示当 x=a 时的函数值，是一个常量。f(x)表示自变量x 的函数，一般情况下是变量。 （2） 、 “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示， 如:“y=g(x)” ， “y=h(x)” ； 6、思考：函数的值域与集合 B 什么关系？请你说出上述四个问题的值域？ 【答案】函数的值域是集合 B 的子集。问题 1 和问题 2 中，值域就是集合 B1 和 B2；问题 3 和问题 4 中，值域是 B3 和 B4 的真子集。 牛刀小试 1.对于函数 y=f (x)，以下说法正

10、确的有( ) y 是 x 的函数 对于不同的 x,y 的值也不同 f(a)表示当 x=a 时函数 f(x)的值，是一个常量 f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】B 练习：一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域： 函数 一次函数 二次函数 反比函数 a0 a0 对应关系 Z| y=ax+b(a0) y=ax2+bx+c(a0) y=ax2+bx+c(a0) y=(k0) 进一步理解函数的概念，激发学生探求问题的兴趣。 通过练习，进一步概括函数的概念，提高学生的理解能力。 yX|X|K 定义域 科 R ZRR&X&

11、X&K R R 值域 R 例 1. 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的， 它所反映的两个量之间的对应关系， 可以广泛地用于刻画同一类事物中的变量关系和规律。 例如，正比例函数)0( kkxy可以用来刻画匀速运动中的路程与时间的关系、 一定密度的物体的质量与体积的关系、 圆的周长与半径的关系等。 试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y=x(10-x)来描述。 解：长方形的周长为 20，设一边长为 x，面积为 y，那么 y=x(10-x). 其中，x 的取值范围是100|Axx，y 的取值范围是250|Byy ，对应关系 f 把每一个长方形的边长 x，对应到唯一确定的

12、面积 x(10-x). . 探究二 区间的概念 设 a，b 是两个实数，而且 ab,我们规定： 满足不等式 axb 的实数 x 的集合叫做闭区间，表示为a，b 满足不等式 axb 的实数 x 的集合叫做开区间，表示为(a，b) 满足不等式 axb 或 aa； （2）.区间只能表示数集； （3）.区间不能表示单元素集； （4）.区间不能表示不连续的数集； （5）.区间的左端点必须小于右端点； （6）.区间都可以用数轴表示； （7）.以“”或“”为区间的一端时，这一端必须是小括号. 牛刀小试 试用区间表示下列实数集合 （1） x|5 x6 总结区间的注意点，进一步理解区间，通过学生分析、概括能力。

13、 （2） x|x 9 （3） x|x -1 x| -5 x0 时，求 f(a),f(a-1)的值. 分析： 函数的定义域通常由问题的实际背景确定， 如前面所述的三个实例.如果只给出解析式 y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合. 解： （1）3x有意义的实数 x 的集合是x|x-3，21x有意义的实数 x 的集合是x|x-2，所以，这个函数的定义域就是2, 3|xxx且 . (2)123133)3(f 83333833112321332)32(f （3）因为 a0,所以) 1(),(afaf有意义。 213)(aaaf， 11221131) 1

14、(aaaaaf 探究三 函数相等 1.思考： 一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？ 通过练习进一步理解区间，提高学生解决问题的能力。 通过例题，进一步巩固函数的概念，提高学生分析问题，解决问题的能力。 【答案】定义域、对应关系、值域；函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；定义域相同，对应关系完全一致. 例 3.下列函数哪个与函数 y=x 相等 .)4()3( ;)2()() 1 (22332nnmxyvvuxy 解：),0()(12xxxy）（这个函数与)(Rxxy对应关系一样，定义域不同，所以和函数 y=x 不相等。

15、)()2(33Rvvvu，这个函数与)(Rxxy对应关系一样，定义域相同，所以和函数 y=x 相等。 0,0,|32xxxxxxy）（，这个函数和)(Rxxy定义域相同， 但是当 x0 x，x0，对应关系不同； y3x3x，且定义域为 R.故选 D. 【答案】 D 3函数 yx22x 的定义域为0,1,2,3，那么其值域为( ) A1,0,3 B0,1,2,3 Cy|1y3 Dy|0y3 【解析】 当 x0 时，y0；当 x1 时，y121；当 x2 时，y4220；当 x3 时，y923 3，函数 yx22x 的值域为1,0,3 【答案】 A 4函数 f(x)x41x5的定义域是_ 【解析】

16、 函数 f(x)x41x5， 通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。 函数是高中数学中一个非常重要的内容之一,贯穿整个高中数学学习。 然而函数这部分知识在教学中又是一大难点这主要因为概念的抽象性,学生理解起来不容易,由于函数这部分体现于一个“变”字,接受起来就更难。研究的主要是“变量”与“变量”之间的关系,要求用变量的眼光学习函数。所以函数成了高一新生进入高中的一条拦路虎。突破了它后面的学习就容易了。 x40 x50，解得 x4，且 x5， 函数 f(x)的定义域是4,5)(5，) 【答案】 4,5)(5，) 5已知函数 f(x)x1x， (1)求 f(x)的定义域； (2)求 f(1)，f(2)的值； (3)当 a1 时，求 f(a1)的值 【解】 (1)要使函数 f(x)有意义，必须使 x0， f(x)的定义域是(，0)(0，) (