质心运动定理优秀课件

1、.1第五章第五章 质心质心 刚体刚体.25.1 5.1 质心质心5.1.1 质心 质心运动定理质点系的总质量iimm每个质点的质量、位矢和受力：iiiFrm , ,质点系所受合力mrmdtdmrmdtdamFFiiiiiiiiiii2222质点系的运动质点系的运动.3质点系的质心 (center of mass)mrmriiic质心速度dtrdvcc质心加速度dtvdacc质心动量等于质点系的总动量质心动量等于质点系的总动量iiicvmvm质心动能质心角动量221ckcmvEcccvmrL.4质心运动定理camF合外质点系的质心加速度由合外力确定，与内力无关。牛顿定律的独特性质：如果它在某一小

2、尺度范围内是正确的， 那么在大尺度范围内也将是正确的。特殊的质点系刚体.5质心的性质质心在整个物体的包络内物体若有某种对称性，质心就位于对称的位置。几个物体的质心满足质心组合关系mrmrmrmmrmrCCBBAAiiic.6例 由两个质点构成的质点系的质心l1l2l1m2m质心位置满足杠杆关系llllmlm212211 ,lmlmmmllmlmmml2211212121 ,.75.1.2 质点系动力学量的分解质心参考系：随质心一起运动的平动参考系，简称质心系。在质心系中质心静止0ccvr常矢量质心系中的运动图象各质点从质心四面散开，或向质心八方汇聚。质心成为一个运动中心，运动时时刻刻是“各向同

3、性的”。.8质点系的动量质点系的动量等于质心的动量质点系的动量等于质心的动量cpp质点系相对质心的动量总是为零质点系相对质心的动量总是为零0iiivmp质点系中各质点 mi 相对质心的运动) ,(iivrmiOCirirCr在任一参考系中在任一参考系中质点系的动量、动能和角动量与质心运动的关系质点系的动量、动能和角动量与质心运动的关系.9质点系的动能icivvviiiiiiikvvmvmE21212 iiiiiicciiiiiiciiccikvmvmvmvvvmvvmvvmE2221212121iiikckckkckvmEmvEEEE2221 ,21 ,资用能质点系的动能可分解成质心动能与质点

4、系相对质心的动能之和质点系的动能可分解成质心动能与质点系相对质心的动能之和柯尼希柯尼希(Knig)定理定理.10核反应中的资用能核反应中的资用能.11质点系的角动量iciicivvvrrr ,iiiivmrL iiiiciiiiiicciicvmrvrmvmrvmrL iiiiccccvmrLvmrLLLL , ,质点系的角动量质点系的角动量可分解成质心角动量与质点系相对质心的角动量之和可分解成质心角动量与质点系相对质心的角动量之和同一参考点质心为参考点miOCirirCr其中.125.1.3 质心参考系质心系一般是非惯性系，引入平移惯性力ciam在质心系中在质心系中质点系的动能定理和角动量定

5、理质点系的动能定理和角动量定理质心系中质点系的动量恒为零，质点系的动量定理不必考虑。质心系中每一个质点受真实力和平移惯性力作用质心系中，每个质点所受的惯性力只有平移惯性力平移惯性力与重力相似大小正比于质点质量，正比于质心加速度大小方向沿着质心加速度的反向.13质心系中质点系动能定理质心系中质点系动能定理的微分形式kdEdWdWdW惯外内0cciiiciicirmdarmdardamdW惯kdEdWdW外内质心系中质点系动能定理质心系中质点系动能定理与惯性系完全相同，机械能定理也相同质心系中质心位置矢量为常量0crd0惯dW.14质心系中质点系角动量定理dtLdMM惯外质心系中质点系角动量定理)

6、()()(ccciiiiciiamrarmamrM惯选质心为参考点0 0惯MrcdtLdM外质心系中质点系角动量定理质心系中质点系角动量定理与惯性系完全相同.15小结小结质点系的运动质点系的运动 = = 质心的运动质心的运动 + + 相对质心的运动相对质心的运动质心的运动质心的运动代表了质点系整体的运动质点系所受合力确定质心的运动：质心运动定理相对质心的运动相对质心的运动质心系中质点系动能定理质心系中质点系角动量定理质点系的动能、角动量可分解成质心的与相对质心的两部分之和.16例例 带电q的小球A从静止开始在匀强电场E中运动，与前方相距l的不带电小球B发生弹性碰撞。求从开始到发生k次碰撞电场对

7、小球A所做的功。ABm, q0m分析碰撞过程分析碰撞过程第一次碰撞用时qEmlaltmqEa22/1第k次碰撞用时112tkttk.17A，B系统的质心加速度mqEac2在tk时间内质心位移221kcctas A球的位移lsscA21电场力对A所做的功qElkksqEWA) 122()(2.18例 质量同为m的两个小球，用长为 2l 的轻绳连接后静放在光滑桌面上，受绳中央的恒力F作用。问在两球第一次相碰前的瞬间，小球在垂直于F的方向上分速度多大？m/vvFFT.19在随小球沿受力方向平行运动的非惯性系中，只有力 F 作功利用动能定理2212mvFlmFlv 在质心系中，只有力 F 作功.20例

8、 线性引力假设质点间的万有引力是线性的：其中G*为假想的引力常量，r 为两质点的间距。不考虑碰撞的可能性，试导出多质点引力系统各质点的运动轨道和周期。rmmGF21*质心系是惯性系，以质心为坐标原点。质心第 i 个质点),(1iirrm 质点系总质量 m动力学方程组ijijjiiirrmmGrm)(* .21iiCiijjijjjijijjiijijjiiirmmGrmmGrmmGrmmGrrmmGrrmmGrm *)(*)(*iirmGr *方程表明，第 i 个质点所受合引力等效于受系统质心的引力。方程组可分离变量，多体问题转化为单体问题。.22第 i 个质点的初始运动状态确定一个平面第 i

9、 个质点只能在此平面内运动动力学方程可分解为：iiiimyGymxGx* ,* 每个方程的解都是简谐运动，角频率都是mG*合成的轨道是一个以质心为中心的椭圆，运动周期为mGT*2.23例例 长l、质量线密度为的匀质软绳，开始时两端A和B一起悬挂在固定点上。使B端脱离悬挂点自由下落，当如图所示，B端下落高度为 l/2 时，使A脱离悬挂点，问此后经过多长时间绳子完全伸直？（提示：可在质心系中分析） l/2l/4BAB端的速度质心速度质心离A点的位置B端相对质心的距离在质心系中，B端相对质心速度不变绳子伸直所用时间glvBglvC41lrA167lrBC161glt127.24力学期中考试时间：4月

10、24日上午10：10 - 12：00地点：理教113 考试时间：1：50.255.2 5.2 刚体定轴转动刚体定轴转动5.2.1 运动学描述刚体的运动总是可以分解为：平动+转动刚体的转动有三个自由度，最基本的是绕一个固定轴的转动。刚体的定轴转动只有一个自由度.26xyziriziR刚体中每一个点部位都在做圆周运动参考点选在转轴上iiizRr每一个点部位圆运动的角速度和角加速度是相同的，它们是整个刚体的运动状态量。第 i 个点部位 ,2iiiiiiRaRaRv切心.275.2.2 动力学量 转动惯量动量刚体作定轴转动时的动量 = 质心动量。动能iiiiiikRmvmE222121iiikRmII

11、E22,21刚体相对某转轴的转动惯量 I，由刚体质量分布和转轴位置确定VdmrI2V：刚体的质量分布区域 r：质元 dm 到转轴的距离.28xyziriziR选取转轴上的O点为参考点刚体定轴转动时的角动量iiiiiiiiiiiivmzvmRvmrL)()()(IRmRLiiiiz)(ILz刚体的定轴转动与质点的直线运动相似刚体的定轴转动与质点的直线运动相似mIx ,都是一维运动.29例 质量 m、长 l的匀质细杆，转轴垂直细杆(a)位于质心、(b)位于一端，求细杆的转动惯量。(a) 转轴位于质心(b) 转轴位于一端mldxdm 22/022/0212122mlmldxxdmxIllc20202

12、31mlmldxxdmxIllAO2/ lx.30例 圆环与匀质圆盘，转轴过圆心且于圆平面垂直，求它们的转动惯量圆环20mRI 匀质圆盘Rrdrr 2022020212mRmRrdrrdmrIRR.31关于计算转动惯量的定理CiRd)(CRiMNPQ取两个互相平行、间距为 d 的转轴其中一个转轴通过刚体质心CdCRRii)(22)(2)()(2)()(mddCRmCRmddmdCRmCRCRmRRmIiiiiiiiiiiiiiiiiiiiMN平行轴定理平行轴定理2mdIICMNim推论：刚体沿任何方向转动，绕通过质心的转轴的转动惯量最小.32xixyiyirzim222iiiryx对于平板刚体

13、iiiiiiiiiyxrmxmymII222垂直轴定理垂直轴定理zyxIII.33例 由柯尼希定理导出刚体的平行轴定理绕任意固定轴 MN 转动的刚体的动能221MNkIE 此轴到刚体质心的距离 d刚体相对质心的转动角速度为刚体相对质心的动能221ckIE 刚体质心的速度dvc质心动能2222121mdmvEckc柯尼希定理kkckEEE2mdIICMN.34例 质量m、边长分别为a和b的匀质长方板，转轴通过中心O且与板面垂直。应用量纲分析和平行轴定理求板的转动惯量，a2/b2/b1O2OO量纲分析23221mbmabmaIO其中的系数待定边长a和b互换，转动惯量不变23221mamabmbIO

14、)()(223221baba31.35mabbamIO2221应用平行轴定理2242222121bambamIIOOmabmbmabmIIOO2212122116144221比较系数2211211614012121a2/b2/b1O2OO.36例 质量 m、半径为 R的匀质薄球壳， 求其以直径为转轴的转动惯量。xixyiyzimiziiiiziiiiyiiiixyxmIxzmIzymI)()()(22222222222)(2mRzyxmIIIiiiiizyxIIIIzyx232mRI 匀质球体252mRI .375.2.3 动力学规律刚体定轴转动的动力学规律质心运动定理质心运动定理转动定理转动

15、定理动能定理动能定理camF合外221 ,IEEWkk外dtdLMzz外选取 z 轴与刚体转轴重合IM .38蛙式打夯机蛙式打夯机 蛙式打夯机是目前使用最广泛的夯机，它具有操作方便、结构简单、经久耐用、夯实效果好、易维修、价格低等优点。适用于建筑、水利、筑路等上方工程中素土、灰土的夯实作业。 .39茹可夫斯基凳.40例 质量 m、长 l 的匀质细杆绕水平轴在竖直平面内自由摆动。将杆水平静止释放后，当摆角为时，求（1）杆的旋转角速度和角加速度；（2）转轴对杆的支持力。O1N2N机械能守恒2231,21sin2mlIIlmgOOsin3lgcos23lgdddtddddtd角动量定理OIlmgco

16、s2.41轴对杆的作用力轴对杆的作用力质心运动定理2 ,sin21lamamgNcc心心sin251mgN 切向2 ,cos2lamaNmgcc切切cos412mgN 径向O1N2Nmg.42例 滑轮的质量M，半径为R。滑轮与轴无摩擦，与绳有摩擦、无滑动。求物块的加速度和摩擦因数的取值范围？m1m21T2TaadRdN)(TdTT 21mm 210ln1TT.43可能的运动必是m1下降RaIRTRTamgmTamTgm21222111gmmMmmMTgmmMmmMTgmmMmma)(2)4()(2)4()(2)(221211211212121210ln1TT2112)4()4(ln1mmMmm

17、M.44例 匀质细杆的A端、B端和中央位置O处各有一光滑小孔。先让杆在光滑的水平桌面上绕O孔以角速度0顺时针旋转。操作：当杆运动到同一位置时，依次以A、B、O为转轴，求最后绕O转动时角速度的方向和大小。0AOB细杆相对O、A、B的转动惯量2231,121mlIImlIBAO正方向.45AAOB杆相对A点(桌面上)的角动量200lmvILcAA点操作不影响杆相对A点的角动量，故杆的角动量守恒。AAAIL041AB、O点的操作可作类似处理0cv质心速度.46BAOB杆相对B点的角动量llvAc0812022412mllmvILcAOBOAOB081B杆相对O点的角动量BOOIL081O质心速度质心

18、角动量为零.47例 在水平的光滑细杆上，套着两个半径相同的匀质圆柱体。开始时1以角速度0绕细杆转动，同时以速度v0朝2运动，2静止。两者发生弹性碰撞，碰撞力在接触面上均匀分布，接触面之间的摩擦因数 处处相同。求碰后两者的速度和角速度。R1m2m两个圆柱体的碰撞是正碰，碰撞力不影响各自相对质心的转动动能两个圆柱体平动动能守恒210122222112012211012 212121mmvmvvmvmvmvmvmvm00v.48平均碰撞力210212mmvmmtN平均摩擦力矩RNrrdrRNMR322021、2的平均角加速度RmNRmNIM2211134 ,34碰撞后，二者的角速度)(38 ,)(3

19、821012221020101mmRvmtmmRvmt.49上述结果适合128300Rv 满足条件若不满足上述条件，则必在二者角速度相等时摩擦力消失。碰撞力和摩擦力都是内力，系统的角动量守恒。2101210121mmmIII.50烟囱的倾倒过程Toy models for the falling chimneyGabriele Varieschi, Kaoru KamiyaAm.J.Phys. 71 (2003) 1025-1031模拟实验1模拟实验2.51SL烟筒内部应力的变化烟筒内部应力的变化横向应力.52外侧内侧沿着烟筒的纵向应力.53第五章作业第五章作业A组组 2、5、9、14、16、

20、1719、23、24、25、29 B组组35、 36*、56*.545.3 5.3 刚体平面平行运动刚体平面平行运动5.3.1 运动学描述刚体运动的自由度是6：3个平动，3个转动刚体定轴转动的自由度是1抽象为质点的物体的运动：3个平动刚体的定点转动：3个转动刚体的另外两种典型的运动刚体的另外两种典型的运动刚体的平面平行运动：2个平动，1个转动刚体的其它运动 .55刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动：刚体的每一个点部位都在自己对应的一个 平面内运动，所有这些平面相互平行。刚体转动的角速度相对刚体上任一点都相同刚体转动的角速度相对刚体上任一点都相同ABAvBvR任选刚体上两点A、BRRvRvvA

21、BBAABABABRRR 任意.56平面平行运动平面平行运动在每一个点部位对应的运动平面上ABAvBvR瞬心是一个点刚体的任意运动刚体的任意运动瞬心是一条线-瞬时转动轴平动刚体的瞬心平动刚体的瞬心瞬心瞬心某时刻刚体上速度为零的一点即为该时刻刚体的瞬心由两点速度确定瞬心的位置.57例 半径为r的圆环A沿着半径为R的固定圆环B的外侧作纯滚动，A的环心绕着B的环心做圆周运动的角速度为，求：（1）A环绕着环心O转动的角速度（2）A环瞬心M的加速度O纯滚的约束条件：接触点无相对运动RrrrRvO)(rrRM.58瞬心位于接触点瞬心的加速度可分解为 O点的加速度与 M相对 O点的加速度O点的加速度M相对

22、O点的加速度方向向右方向向下切心,)(,)(2dtdrRarRaOO方向向左方向向上切心,)(,2dtdrRaraMM瞬心的加速度0,)(2切心方向向上MMarRrRa.595.3.2 动力学规律刚体的平面平行运动 = 质心的平动 + 过质心的定轴转动惯性系222121 ,cckkcImvEEWamF外合外动能定理：质心运动定理：质心系质心轴转动定理：cIM外.60例 两个质量同为m、半径同为R匀质实心滑轮，用不可伸长轻绳连接，定滑轮可无摩擦的转动。将系统从静止释放，求下面滑轮的平动加速度。Ta上面的滑轮2121 ,mRIITR下面的滑轮质心运动maTmg相对质心的转动2ITR 运动约束关系R

23、a)(21ga54.61例 乒乓球在水平地面上向右运动，并逆时针转动，乒乓球与地面的摩擦因数为，试求乒乓球最后达到的稳定运动状态。0v00vamgf232mRImgfIfRmafRgga23.62经时间 t，右行速度和逆时针方向的角速度tRggtvv2300分三种情况讨论（1）经某段时间后，速度和角速度同时为零00vRv0032此后乒乓球处于静止状态.63（2）经某段时间后，有0 , 0vRv0032该阶段的末态为0 ,32001Rvv此后，摩擦力仍朝左，右行速度减小，顺时针角速度增大tRgtgtvv23 ,212当满足条件Rv22时，摩擦力消失，小球达到右行纯滚状态RvRRvvgvt0020

24、0213253 ,3253 ,52.64（3）经某段时间后，有0 , 0vRv0032该阶段的末态为0 ,231001vRv此后，摩擦力仍朝左，左行速度增大，逆时针角速度减小tRggtv23 ,122当满足条件Rv22时，摩擦力消失，小球达到左行纯滚状态00200212352 ,2352 ,52vRRvRvgt.65例 匀质细杆直立在光滑地面上，因不稳定而倾倒。在细杆全部着地前，它的下端是否会跳离地面？杆在倾倒过程中无水平外力杆的质心竖直向下运动NCM杆跳离地面的临界条件0N质心速度与角速度的关系sin2lvc.66机械能定理222121 ,2121)cos1 (2mlIImvlmgccc将角

25、速度代入，两边对时间求导22242)sin31 ()cos2cos2sin3(sin3gac支持力0)sin31 (1) 1(cos3)sin31 (4cos6cos3222222mgmgmamgNc杆的下端不会跳离地面.67例 物体落地为什么会翻转？dC1P0P2PNcv设刚体落地速度v0与光滑地面的碰撞是弹性的质心运动)(0cvvmtN刚体转动cIdtN机械能守恒2022212121mvImvcc020222 ,vmdImdvmdImdIvccccP0点速度反向0vdvvc.68思考题 两个质量比为 4：1 的小球用长 l 的轻质细杆相连，重球在上，与竖直方向成300的夹角自由落下，下端轻

26、球触地前的速度为v0，碰撞为弹性碰撞。试求细杆落地前能翻转成竖直的条件。30.69打击中心（center of percussion）质心质心质心打击中心打击中心打击中心向左动向右动静止在光滑的水平细杆上悬挂一金属棒，用锤子敲击下部，观察其运动.70例 以水平力F打击悬挂在O点的长l的匀质细杆，打击点为P。若打击点选择合适，则打击过程中轴对细杆的切向力F切为0，该点称为打击中心。求打击中心到轴的距离d。FdOP细杆在水平力矩作用下作定轴转动IFd 231mlI 质心切向加速度细杆相对O点的转动惯量lraCC21切质心切向运动方程切切CmaFF0切F切Fld32法F切向力为零.71网球拍the sweet spo