第三章 多维随机变量

1、1结结束束第三章第三章多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布2结结束束到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布. 飞机的重心在空中的位置是由飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量三个随机变量(三个坐标）来确定三个坐标）来确定的等等的等等.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述需要用几个随机变量来描述.如如: 在打靶时在打靶时, 命中点的位置是由命中点的位置是由一对随机变量一对随机变量(两个坐标两个坐标)来确定的来确定的.因而需进一步讨论由多个随机变量构成的随机向量因而需进

2、一步讨论由多个随机变量构成的随机向量.其处理思路及方法与一维情形相同其处理思路及方法与一维情形相同, 但形式较一维但形式较一维复杂复杂; 学习时应注意与一维情形的对照学习时应注意与一维情形的对照.3结结束束 设设 为试验为试验 e 的样本空间的样本空间, 若对若对 中的任一中的任一基本事件基本事件 e , 都有惟一确定的都有惟一确定的 n 个实数个实数 x1(e) , , xn(e) 与之对应与之对应, 则叫则叫 (x1(e) , , xn(e)为为 n 维随机变量维随机变量, 由于从二维推广到多维一般没有实质性的困难由于从二维推广到多维一般没有实质性的困难,我们重点讨论二维随机变量我们重点讨

3、论二维随机变量 . 定义定义:简记为简记为 ( x1 , , xn ). 二维随机变量一般用二维随机变量一般用 ( x, y ) 来表示来表示 . 4结结束束 3.1和和3.2二维随机变量二维随机变量3.1.1 二维随机变量的联合分布与边缘分布二维随机变量的联合分布与边缘分布一、一、x与与 y 的联合分布函数及边缘分布函数的联合分布函数及边缘分布函数)(xxpxfx x 的分布函数的分布函数二维随机变量二维随机变量 ( x, y ) 的分布函数的分布函数为为也叫也叫 x与与 y 的联合分布函数的联合分布函数., ,),(yyxxpyxf 5结结束束 几何表示几何表示: ( x, y ) 的分布

4、函数的分布函数,),(yyxxpyxf yx0.(x, y). (x, y )f (x, y) 为随机点为随机点 (x, y )落在图中阴影落在图中阴影区域内的概率区域内的概率.6结结束束 容易看出随机点（容易看出随机点（x，y）落在矩形区域）落在矩形区域 的概率为的概率为11212( , )|,dx yxxxyyy11212( , ),px ydp xxxyyy22122111(,)(,)(,)(,)f xyf x yf xyf x yyx0y1y2x1x2d17结结束束 对二维随机变量对二维随机变量f(x ,y ) ,有如下性质有如下性质:2) f(x,y)是变量是变量x和和y的不减函数的

5、不减函数;3) f(x,y)关于关于x右连续右连续, f(x,y)关于关于y右连续右连续;( , )(0,),( , )( ,0),f x yf xy f x yf xy1)对于任意的实数对于任意的实数x ,y ,有有0( , )1;f x y),(),( xfyf, 0),( f1),( f4）8结结束束),()( xfxfx 在二维随机变量在二维随机变量( x , y ) 中中:x 的分布函数称为的分布函数称为 ( x , y ) 关于关于 x 的边缘分布函数的边缘分布函数, y 的分布函数称为的分布函数称为 ( x , y ) 关于关于 y 的边缘分布函数的边缘分布函数; 由联合分布函数

6、可确定边缘分布函数由联合分布函数可确定边缘分布函数, 对此有对此有:).,()(yfyfy ,),(yyxxpyxf )(xxpxfx )(yypyfy 9结结束束),(21nxxxf 进一步可定义进一步可定义 n 维随机变量维随机变量 (x1 , , xn ) 的的分布函数分布函数:, ,2211nnxxxxxxp )(ixxfi及关于及关于 xi ( i = 1, , n ) 的边缘分布函数的边缘分布函数:),( ixf10结结束束 二、二维离散型随机变量的分布律及边缘分布律二、二维离散型随机变量的分布律及边缘分布律, 2, 1, ipxxpiix 的分布律的分布律对二维离散型随机变量对二

7、维离散型随机变量( x, y ):为为 ( x, y ) 的分布律的分布律，或，或 x与与 y 的联合分布律的联合分布律., 2 , 1, jipyyxxpjiji( x, y ) 的分布律的性质的分布律的性质:, 0 jip1 ijjip可列表表示可列表表示:(1) 非负性非负性(2) 归一性归一性 xy x1 x2 xi y1yj p11 p21 pi 1 p1 j p2 j pi j 11结结束束 在二维离散型随机变量在二维离散型随机变量( x , y ) 中中, 称称x 的分布律为的分布律为( x , y ) 关于关于 x 的边缘分布律的边缘分布律, y 的分布律为的分布律为( x ,

8、 y ) 关于关于 y 的边缘分布律的边缘分布律; 由联合分布律可确定边缘分布律由联合分布律可确定边缘分布律, 对此有对此有:关于关于 x 的边缘分布律为的边缘分布律为关于关于 y 的边缘分布律为的边缘分布律为, jjiipxxp, ijijpyyp, 2 , 1, jipyyxxpjiji( x, y ) 的分布律的分布律), 2 , 1( i), 2 , 1( j12结结束束由联合分布律确定边缘分布律由联合分布律确定边缘分布律, 也可列表给出也可列表给出:px= xi jjp1 jjp2 jjip1py= yj iip1 ijip xy x1 x2 xi y1yj p11 p21 pi 1

9、 p1 j p2 j pi j 13结结束束例例1: 一整数一整数 n 等可能地在等可能地在1, 2, , 6十个值中取一个值十个值中取一个值, d=d(n)是能整除是能整除 n 的正整数的个数的正整数的个数, f=f(n)是能整除是能整除 n 的的素数的个数素数的个数, 试确定试确定 d 和和 f 的联合分布律及边缘分布律的联合分布律及边缘分布律. 解解: 先由先由 n 的取值确定的取值确定 d 和和 f 的取值的取值: 0, 1 fdp1 2 3 4 5 6ndf102121312142d的可能取值的可能取值 为为1, 2, 3, 4;f 的可能取值的可能取值为为0, 1, 2 ; 再确定

10、取值的概率再确定取值的概率, ,如如: : 1 np1/, 6 61, 2 fdp(235pnnn/3 63 6等等等等. .可得可得d 和和 f 的的联合分布律及联合分布律及边缘分布律为边缘分布律为:idp jfp 1/ 64/ 61/ 61/ 6 3/ 6 1/ 6 1/ 61d 0 3/6 1/ 6 0f012 1 2 3 4 1/6 0 0 0 0 0 0 1/ 614结结束束 例例2: 将一试验在同一条件下独立地重复进行，直到成功两次将一试验在同一条件下独立地重复进行，直到成功两次 为止。设每次试验成功的概率为为止。设每次试验成功的概率为p，令，令x为第一次成功之前失败的为第一次成功

11、之前失败的次数，次数，y为两次成功之间的失败次数，求为两次成功之间的失败次数，求x 和和y 的联合分布律及的联合分布律及边缘分布律边缘分布律. 解解: 依题意，依题意，x，y均服从几何分布，其概率分布为均服从几何分布，其概率分布为 p xiipq(0,1,2,.)i p yjjpq(0,1,2,.)j 依题意，依题意，“x=x=i i”与与“y=y=j j”相互独立，则相互独立，则其中其中q=1-p,即为所求即为所求x和和y的的联合分布律联合分布律, ijpp xi yjp xi p yj2,( ,0,1,2,.)iji jpq pqp qi j15结结束束0iijjpxxp211ipqq0j

12、ijip yyp211jpqqx 的边缘分布律为：的边缘分布律为：y的边缘分布律为：的边缘分布律为：(0,1,2,.)i (0,1,2,.)j 16结结束束 三、二维连续型随机变量的三、二维连续型随机变量的 概率密度与边缘概率密度概率密度与边缘概率密度 xxxxxfxfd)()( x 的概率密度的概率密度 fx (x) ： 对二维连续型随机变量对二维连续型随机变量( x, y )有有: f (x, y) 称为称为 ( x, y ) 的概率密度的概率密度,dd),(),( yxyxyxfyxf,),(yyxxpyxf 或称为或称为 x与与y 的联合概率密度的联合概率密度.yx0.(x, y).

13、(x, y )即即: 随机点随机点 (x, y ) 落在图中落在图中 阴影区域内的概率为阴影区域内的概率为 f (x, y) 在该区域上的积分在该区域上的积分.17结结束束 f (x, y) 为为 ( x, y ) 的概率密度的概率密度, 则则 yxxyxfyyxfd),(d),(1)非负性非负性0),( yxf(2)归一性归一性1dd),( yxyxf概率密度的性质概率密度的性质:(3)对对 xoy 面上的任一区域面上的任一区域 g , gyxyxfgyxpdd),(),(4)在在 f (x, y) 的连续点上的连续点上, yxfyxf 2),(18结结束束在几何上，在几何上，z=f(x,y

14、)表示三维空间的一个曲面，性质表示三维空间的一个曲面，性质（1）说明，该曲面在）说明，该曲面在xoy面的面的上方：上方：性质（性质（2）说明，由曲面）说明，由曲面z=f(x,y) 和和xoy面所包围成的面所包围成的空间区域的体积为空间区域的体积为1；性质（性质（3）说明，）说明，f(x,y) 在（在（x,y）处的值放映了）处的值放映了(x,y) （在（在x,y）附近取值的可能性的大小）附近取值的可能性的大小；性质（性质（4）说明，）说明，p(x,y) g的值等于以的值等于以g为为底底,以以z=f(x,y)为顶的柱体的体积。为顶的柱体的体积。19结结束束,d),()( yyxfxfx 在二维连续

15、型随机变量在二维连续型随机变量( x , y ) 中中:x 的概率密度称为的概率密度称为( x , y ) 关于关于 x 的边缘概率密度的边缘概率密度, y 的概率密度称为的概率密度称为( x , y ) 关于关于 y 的边缘概率密度的边缘概率密度. 由联合概率密度可确定边缘概率密度由联合概率密度可确定边缘概率密度, 对此有对此有: xyxfyfyd),()(20结结束束解解: ,2 cb例例1:1:设设 (x, y) 的分布函数为：的分布函数为：),(),2arctan)(2arctan(),( yxycxbayxf试求试求 (1) a 、 b、c , (2) (x, y ) 的概率密度的概

16、率密度. (1) 依据分布函数的性质可得依据分布函数的性质可得: (2) yxfyxf 2),(),(yf ,0)2)(2arctan(),( cxbaxf, 1)2)(2(),( cbaf 21 a)2arctan(yca 2)2/(11x 21 xf 故故 ),(yxf)4)(4(4222yx )2arctan)(2(ycba , 0 21结结束束例例2 设设 (x, y) 的概率密度：的概率密度： ., 0, 0, 10,e),(其其它它yxkyxfy试求试求 (1) k , (2)(3) 边缘概率密度边缘概率密度 fx ( x ), fy ( y )., yxp , yxp ; 1 y

17、xp解解: (1) 由归一性可得由归一性可得: (2) 故故 yxyxfdd),( 100dedykxy 100dexkykxk 10d, 1令令 xy011 k, 0 yxp作作 f (x, y) 非零区域的图形非零区域的图形, 结合图形进行处理非常有用结合图形进行处理非常有用 22结结束束例例2 设设 (x, y) 的概率密度为的概率密度为: ., 0, 0, 10,e),(其其它它yxyxfy试求试求 (2), yxp ; 1 yxp解解: yxp 100dedxyyx 100dexxy,e1 xy01 xyyxyxfdd),(x+y=1xy01y = x 10d)e1(xx 1yxp

18、1dd),(yxyxyxf 1010dedxyyx1e 最终的积分区域为最终的积分区域为 f (x, y)的非零区域与区域的非零区域与区域 的公共部分的公共部分xy 23结结束束解解: 例例3:3:设设 (x, y) 的概率密度为：的概率密度为： 其其它它, 0, 0, 10,e),(yxyxfy试求试求 (3) 边缘概率密度边缘概率密度 f x ( x ), f y ( y ).xy01 yyxfxfxd),()( 0deyy, 1 , 10 x., 0其它其它 xyxfyfyd),()( 10dexy,ey , 0 y., 0其它其它xy24结结束束四、两个常见的二维连续型随机变量的分布四

19、、两个常见的二维连续型随机变量的分布(一一) 均匀分布均匀分布设设 g 是平面上的有界区域，其面积为是平面上的有界区域，其面积为 a; 若二维随机变量若二维随机变量 ( x,y ) 的概率密度为的概率密度为 ),(yxf,),(,1gyxa ., 0其它其它则称则称（x, y）在）在g上服从均匀分布上服从均匀分布.例如例如: 向平面上有界区域向平面上有界区域 g 上任投一质点上任投一质点, 若质点若质点落在落在 g内任一小区域内任一小区域 b 的概率与小区域的面积成的概率与小区域的面积成正比正比, 而与而与 b 的形状及位置无关的形状及位置无关. 则质点的坐标则质点的坐标 (x, y ) 在在

20、 g 上服从均匀分布上服从均匀分布.25结结束束(二二) 二维正态分布二维正态分布若二维随机变量若二维随机变量 (x, y ) 的概率密度为的概率密度为则称则称 (x, y) 服从参数为服从参数为 22121),( 1yxf)()(22222211 yyx2112)()1(21exp x其中其中均为常数均为常数, 且且, 1| , 0, 021 ,2121 ,2121的二维正态分布的二维正态分布.记作记作 (x, y ) ),(22212 1n26结结束束可以证明可以证明: 二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布. 则则),(21 1nx 若若 (

21、x, y ) ),(22212 1n),(22 2ny注意注意: 由联合分布可以确定边缘分布由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布但由边缘分布一般不能确定联合分布.27结结束束 3.2.2 条件分布条件分布1.离散型随机变量的条件分布离散型随机变量的条件分布例例 设随机变量设随机变量(x,y)分布律为分布律为 0 1 2pi. p.jy1x4 416164 416161 116164 416162 216160 0201 116169 916166 616161 116160 00 09 91 16 66 61 16 61 11 16 6求求y=1条件下随机变量条件下随

22、机变量x的分布律的分布律x|y=128结结束束 解解: p(x=i|y=1)= 设离散型随机变量设离散型随机变量(x,y)联合分布律联合分布律p(x=xi,y=yj)=pij,i,j=1,2,若若p(y=yi)0,则则y=yj条件下条件下,随机变量随机变量x的分的分布律为布律为:/p(x =i,y =1)p(x =i,y =1)p(x =i,y =1)p(x =i,y =1)= =p(y =1)6 16p(y =1)6 16x|y=1 0 1 2 2 23 31 13 30 0pp(x=xi,|y=yj) =pij/p.j i=1,2,29结结束束 即即x|y=yj x1 x2 xn /1j.

23、j1j.jppppp p/2j.j2j.jpppp/nj.jnj.jpppp同理同理 p(y =yj, |x =xi) =pij/pi. j=1,2,30结结束束定义定义: 给定的给定的x=x的条件下的条件下,随机变量随机变量y的条件分布函的条件分布函数定义为数定义为:2 连续型连续型随机变量的条件分布随机变量的条件分布0(|)lim(|)xp yy xxp yy xxxx也记为也记为:y|xy|xf (y|x)f (y|x)31结结束束0(, )( , )lim()( )xxxf xx yf x yfxxfx0(,)(|)lim(,)xp xxxx yyp yy xxp xxxx yy0 (

24、, )( , )/lim()( )/xxxf xx yf x yxfxxfxx( , )( , )/xfx yf x yxxy yy y-y|xy|x-xxxxf(x, )df(x, )df(x, )f(x, )f (y|x)=df (y|x)=df (x)f (x)f (x)f (x)32结结束束xx|y-yf(u,y)f(x | y) =duf (y)同理可得同理可得若记若记 x=x条件下关于条件下关于y的条件密度函数的条件密度函数fxy|xy|x( )( )( , )/( )xfxf x yfxy|xy|x(y| )=(y| )=|( , )/( )yfxf x yfyx|yx|y(y)

25、=(y)=33结结束束 例例 设二维随机变量设二维随机变量(x,y) 求求222212121212n(, , , , ),n(, , , , ),fxy|xy|x(y| )(y| )解解( )( , )xfxf x y dy2 21 12 2(x- )(x- )- -221 11 1e e2222( , )1exp( )21-xf x yfxfxy|xy|x(y| )=(y| )=22212121() 2(1)yx22222121(),(1)()|xyxn34结结束束 3.2.3 随机变量的独立性随机变量的独立性, ,yypxxpyyxxp p(ab)=p(a)p(b) 事件事件a, b独立独

26、立也就是也就是:定义定义: 若对任意的若对任意的 x, y 都有都有则叫随机变量则叫随机变量 x与与 y 相互独立相互独立. x 与与 y 相互独立相互独立)()(),(yfxfyxfyx 对任意的对任意的 x, y 有有对二维离散型随机变量对二维离散型随机变量 ( x, y ): x 与与 y 相互独立相互独立 对对 ( x, y )的所有可能取值的所有可能取值 ( xi , yj ),jijiyypxxpyyxxp 35结结束束例例: :设设 ( x, y ) 的分布律为的分布律为 而而 x 与与 y 相互独立相互独立, 试试确定确定 a 和和 b ? 1 2 3x b 1/8 1/16

27、y013/16 3/8 a解解: 由归一性得由归一性得 再由独立性列出其它式子再由独立性列出其它式子, , 为此需确定边缘分布为此需确定边缘分布: : 020, 2 ypxpyxp取一式取一式, 如如jyp a+9/16b+3/16ixp b+3/16 1/2 a+1/16 1,41 ba 1 2 3x b 1/8 1/16 y01 3/16 3/8 a解得解得),169(2183 a161,163 ba36结结束束对二维连续型随机变量对二维连续型随机变量 ( x, y ):)()(),(yfxfyxfyx 几乎处处成立几乎处处成立对任意的对任意的 x, y, x 与与 y 相互独立相互独立(

28、“几乎处处成立几乎处处成立”的含义是：在平面上除去面积的含义是：在平面上除去面积 为为0的集合外，处处成立的集合外，处处成立)推论推论 设（设（x，y）是连续型随机变量，）是连续型随机变量，f(x,y)为（为（x，y）的概率密度函数，则随机变量的概率密度函数，则随机变量x，y独立的充分必要条独立的充分必要条件为件为 f(x,y)=h(x)g(y) 其中其中h(x)，g(y)分别为分别为x,y函数。函数。37结结束束例例: 若若 ),(),(22212 1nyx 则则 x 与与 y 相互独立相互独立. 0 证明证明必要性（必要性（ ） （x，y）的概率密度函数为：）的概率密度函数为：221222

29、1212122212(x-x)(y- )11=exp- y-2(1-+22)-1 f(x,y)由由x及及y的边缘概率密度为：的边缘概率密度为：12121(x- )1=exp-22xf (x)22222(x- )1=exp-22yf (x)38结结束束因因x，y相互独立，则相互独立，则=xyf(x, y)f (x)f (y)当当x=1, y=2时，有时，有2221212111=2 1-即即21- = 1, = 0 充分性充分性 当当=0时，显然时，显然f(x,y)=fx(x)fy(y)对任意的对任意的x,y均成立，则均成立，则x，y相互独立相互独立39结结束束 例例 设设(x,y)的概率密度为的

30、概率密度为 ., 0, 0, 0,e),()(其其它它yxxyxfyx问问 x 和和 y 是否独立？是否独立？解：解： 0)(deyxyx,exx ,ey xy0 xy, 0 x., 0其它其它 yyxfxfxd),()( xyxfyfyd),()( 0)(dexxyx, 0 y., 0其它其它对一切对一切x, y, 均有均有 , )()(),(yfxfyxfyx 故故 x 与与 y 相互独立相互独立.40结结束束例例 甲到达办公室的时间均匀分布在甲到达办公室的时间均匀分布在8到到12点点. 乙到达时间乙到达时间均匀分布在均匀分布在7到到9点点. 若他俩到达时间相互独立若他俩到达时间相互独立,

31、 试求试求:到达的时间相差不超过到达的时间相差不超过5分钟的概率分钟的概率. 解解:设设 x 为甲到达时刻为甲到达时刻, y 为乙到达时刻为乙到达时刻,依题意依题意: xu(8, 12), yu(7, 9),12/1| yxp应求应求; .,0,128,4/1)(其其它它xxfx ., 0, 97, 2/1)(其其它它yyfy)()(),(yfxfyxfyx ., 0, 97,128, 8/1其其它它yx41结结束束12/1| yxp 12/1|dd),(yxyxyxf09712/1 yx12/1 yxxy812g(, )d dgfx yx y 结合图形可求出结合图形可求出: ., 0, 97

32、,128, 8/1),(其其它它yxyxf知知 求求 12/1| yxp1d d8gxy (g 的面积的面积) 81.481 42结结束束3.3 3.3 两个两个随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布 如何由如何由 (x , y )的分布求出的分布求出 z = g (x, y )的分布的分布?( 设设 g 为连续函数为连续函数)例例1: 设（设（x,y)的分布律为的分布律为一、离散型分布的情形一、离散型分布的情形解解: 求求 z=x+y 的概率分布的概率分布. 4/20 3/20 2/20 6/ 20 -1 0 1 2 2/20 0 2/20 1/ 20yx-1 2以概率分布表的形式给出结果

33、如下表以概率分布表的形式给出结果如下表:43结结束束4/20 3/20 2/20 6/ 20 2/20 0 2/20 1/ 20概率概率(x,y)x+y(-1,-1) (-1,0)(-1,1) (-1,2)(2,-1) (2,0) (2,1) (2,2)-2 -1 0 1 1 2 3 4由此得到由此得到x+y的概率分布为的概率分布为4/20 3/20 2/20 8/ 20 2/20 1/ 20px+y-2 -1 0 1 3 444结结束束例例2: 设设xp(1) , yp(2) ,且且x与与y相互独立相互独立. 求证求证 x+y p(1 +2).解解: 11,0,1,2,.!kp xkekkp

34、 xym22,0,1,2,.!kp ykekk则则x+y 所有可能取值为所有可能取值为0,1,2,且且0(,)mkpxk ymk0,mkp xk ymk45结结束束因因x与与y相互独立相互独立p xym12120.!()!km kmkeekmk12120.!()!km kmkeekmk12()12()!mem12()12()!mp xymem0,1,2,.m 该结论称为泊松分布的加法性质该结论称为泊松分布的加法性质.46结结束束 zyxyxyxfdd),(二、连续型分布的情形二、连续型分布的情形例例 : 设设 x 和和 y 的联合密度为的联合密度为 f (x, y), 求求 z=x+y 的密度

35、的密度已知已知 (x , y )的概率密度为的概率密度为 f (x, y), 欲求欲求 z=g (x, y )的密度的密度?一般可通过一般可通过分布函数法分布函数法来处理来处理.z=x+y 的分布函数是的分布函数是: )(zzpzfz zyxp yzyxyxfdd),(xy0 x+y=z zyuyyufdd),(令令 x=uy,dd),( zuyyyuf交换积分次序交换积分次序解解:47结结束束)()(zfzfzz 由概率密度与分布函数的关系由概率密度与分布函数的关系, 即得即得 z=x+y 的概率密度为的概率密度为: yyyzfd),(由由 x 和和 y 的对称性的对称性, fz (z) 又可写成又可写成 xxzxfzfzd),()(特别，当特别，当 x 与与 y 独立时，则上述两式化为独立时，则上述两式化为: ,d)()()( yyfyzfzfyxz xxzfxfzfyxzd)()()