第四章跨音速定常小扰动势流混合差分方法及隐式近似因式分

1、第四章第四章 跨音速定常小扰动势流混合差分跨音速定常小扰动势流混合差分方法及隐式近似因式分解法方法及隐式近似因式分解法chapter 4 The Mixed Finite Difference Method(FDM) for Velocity The Mixed Finite Difference Method(FDM) for Velocity Potential Function of Steady Small Perturbation and Implicit Potential Function of Steady Small Perturbation and Implicit App

2、roximate Factor Decomposition MethodsApproximate Factor Decomposition Methods主要内容主要内容： main contents混合差分解法混合差分解法 Mixed PD Method 小扰动方程及小扰动激波差分式小扰动方程及小扰动激波差分式 Small perturbation equation and small perturbation relationship for shock flow小扰动速势差分方程小扰动速势差分方程 The finite differential equation of small per

3、turbation potential function边界条件及边界条件的嵌入边界条件及边界条件的嵌入The initial condition and boundary condition线松弛迭代解法线松弛迭代解法Linear relaxation iteration method 升力翼型的跨音速小扰动势流差分方法升力翼型的跨音速小扰动势流差分方法FD method of velocity potential function for small perturbation隐式近似因子分解法隐式近似因子分解法Approximate factor decomposition methodA

4、F1AF1方法方法 AF1 methodAF2AF2方法方法 AF2 method 方法比较方法比较 Comparison of the method 重点重点： Focus 混合差分方法混合差分方法Mixed FD Method 难点：难点： Difficulty隐式近似因子分解法隐式近似因子分解法Implicit Approximate factory decomposition第四章第四章 跨音速定常小扰动势流混合差分方法及隐跨音速定常小扰动势流混合差分方法及隐式近似因式分解法式近似因式分解法chapter 4 The Mixed Finite Difference Method for

5、 chapter 4 The Mixed Finite Difference Method for Velocity Potential Function of Steady Small Velocity Potential Function of Steady Small Perturbation and Implicit Approximate Factor Perturbation and Implicit Approximate Factor Decomposition MethodsDecomposition Methodsu跨音速流：局部超音区与亚音速同时存在的流场跨音速流：局部超

6、音区与亚音速同时存在的流场 Transonic flow ：Local supersonic flow and supersonic flow exists meantime u偏微分方程：混合型方程偏微分方程：混合型方程 The PDE：Mixed type equationu混合差分方法：用不同的差分方程求解跨声速流场混合差分方法：用不同的差分方程求解跨声速流场 Mixed Finite difference method is to solve transonic flow with different FDMsu混合型方程及流场：采用迭代方法求解，求解之前不知道方程的类型混合型方程及流

7、场：采用迭代方法求解，求解之前不知道方程的类型 Mixed Equation and flow field, the iterative method is used because the type of the equation is unknown before it was solvedu小扰动方程：小马赫（小扰动方程：小马赫（0.61.40.61.4）流过薄而微变的叶片（机翼或叶栅）时）流过薄而微变的叶片（机翼或叶栅）时全速势方程可简化为小扰动方程全速势方程可简化为小扰动方程 Small perturbation equation(SPE): when mach number is

8、small (ie 0.61.4)the full velocity potential equation can be simplified to SPEu混合差分混合差分: :用混合差分格式求解小扰动方程用混合差分格式求解小扰动方程 Mixed FDM :To solve equation using MFDMu混合差分和松弛迭代法求解全速势方程混合差分和松弛迭代法求解全速势方程 Mixed FDM and Relaxation iteration : To solve full velocity potential equation.u优缺点：优缺点： Advantage/disadva

9、ntage 跨音速松弛法跨音速松弛法-速度快，有效速度快，有效 Transonic relaxation method faster efficient 时间推进法：适用范围广时间推进法：适用范围广 Time matching methods, widely usage 近似因子分解法：快速近似因子分解法：快速 Approximate factor decomposition：faster 多层网格法：收敛性好多层网格法：收敛性好 Multi-grid technique：good convergence4.1 4.1 跨声速小扰动速度势方程跨声速小扰动速度势方程 Equation of tr

10、ansonic small perturbation velocity potential function 跨声速气流绕过薄翼的情况跨声速气流绕过薄翼的情况 For the case of transonic flow pass a thin airfoill二维平面速势方程二维平面速势方程 2D velocity potential equation 22222222()()201()2xxxyxyxyaVaVV VraaVV其中气流绕过薄翼气流绕过薄翼v适用范围：适用范围：亚、跨、超音速无旋流动亚、跨、超音速无旋流动 Suitable Suitable casecase ：subsoni

11、csubsonic， transonictransonic， supersonicsupersonic irr-irr-rotationalrotational flow.flow.将流动分解为两部分：未经扰动的流动、扰动流动将流动分解为两部分：未经扰动的流动、扰动流动ToTo decompose the flow into unperturbed flow anddecompose the flow into unperturbed flow and perturbperturb flowflowl未经扰动的流动就是无穷远前方来流未经扰动的流动就是无穷远前方来流FlowFlow at at

12、unperturbed fields is far field flow unperturbed fields is far field flow l扰动运动速度势可以用扰动运动速度势可以用 表示。速度可以用表示。速度可以用 表示表示 Potential function of perturbation flow Potential function of perturbation flow isis ，perturbation velocity componentsperturbation velocity componentsyxVV ,yxVV ,yyxxyxVVyxVVVVV,)sin

13、cos(sincos两部分的合速度势两部分的合速度势 The total velocity potential function)sincos(yxV代入速势方程可得小扰动速度代入速势方程可得小扰动速度 应满足的方程应满足的方程 Substitute the equation and then the small perturbation eq.02)()(2222xyyxyyyxxxVVVaVa求得速度场之后，可以得到压强及压强系数为求得速度场之后，可以得到压强及压强系数为 The pressure and pressure coefficient can be obtained from

14、the following equations. )2(222vvpp) 1(221)(222pprMvpppcp再用等熵流动的关系式可得到其他参数再用等熵流动的关系式可得到其他参数 Then introduce the isentropy relation to get other parameters1)(TTpp2sincos) 1(12222VVVVVVMTTyxyx 1)2sincos() 1(12122222vvvMrMcpyxyyxp比热比绝热指数小扰动条件下，扰动速度远小于自由来流速度小扰动条件下，扰动速度远小于自由来流速度 on small perturbation cond

15、ition, the perturbation velocity less than free streamVVVyx,xVVVa22xVVa2补充条件：补充条件： Supplement conditions来流不能接近音速 incoming flow velocity does not approach sonic 来流非高超声速 incoming flow velocity does not approach hypersonic为进一步简化扰动方程，忽略扰动速度一次项，可得到为进一步简化扰动方程，忽略扰动速度一次项，可得到下列关系：下列关系：Simplified equation0222

16、2222yxyxVVaVaVaVa最后得到最后得到： Final equation0)1 (0)(2222yyxxyyxxMaVa应用范围应用范围: 亚、超声速亚、超声速 Suitable for subsonic and supersonic不适用于跨声速区域不适用于跨声速区域:对于跨声速对于跨声速 1，必须取消补充假设条件，必须取消补充假设条件，即取消来流不能接，即取消来流不能接近音速的假设，这时速势方程首项的系数一次项不能忽略近音速的假设，这时速势方程首项的系数一次项不能忽略 For transonic flow field (M 1)， the supplement condition

17、， the first item of the potential function equation can not be neglected. xvvvava) 1(2222M跨声速小扰动方程应为：跨声速小扰动方程应为：The small perturbation equation of velocity function011 0) 1(22222yyxxxxyxxxMvMaVVval可以证明：当可以证明：当M M11时，时， Its proved ,when M1,222111 MMvMx因此跨声速条件下，小扰动方程可以写成因此跨声速条件下，小扰动方程可以写成 So that the

18、small perturbation equation at transonic flow can be written as0)1 (2yyxxM此方程的类型取决于此方程的类型取决于： Type of the equation depends on = =B B2 2-4AC=4(M-4AC=4(M2 2-1)-1)当当M1M1时时, , 0,0,不存在实特征根，没有特征线，为椭圆型不存在实特征根，没有特征线，为椭圆型 When M1M1时时, , 0,0,存在两个特征根，有两条特征线，为双曲型存在两个特征根，有两条特征线，为双曲型 When M1,there are two eigenva

19、lue, two character lines, the equ. is hyperbolic eq.当当M=1M=1时时, , =0,=0,存在一个特征根，有一条特征线，为抛物型存在一个特征根，有一条特征线，为抛物型When M=1,there is one eigenvalue, one characteristic line ,the equ. is parabolic 特征线特征线( (当当M1M1时时) )：斜率：斜率 The slope of characteristic line MtgMdxdy1sin11)(12特征线与特征线与x x轴夹角为局部马赫角，对称于轴夹角为局部马

20、赫角，对称于x x轴。轴。 Local Mach angle is the angle between velocity vector and the characteristic linexyoqrpqr影响区依赖区 是马赫角是马赫角 is so call Mach angleis so call Mach angle 影响区：影响区：P P点下游由两条特征线所夹的区域点下游由两条特征线所夹的区域 Influence zone: upwind zone between characteristic lines依赖区：依赖区： P P点上游由两条特征线所夹的区域点上游由两条特征线所夹的区域 D

21、epend zone downstream zone between the characteristic lines扰动下的压强系数公式扰动下的压强系数公式 The pressure coefficient on small perturbation conditionVVVpxx24-24-2小扰动激波关系式小扰动激波关系式 The shock relations The shock relations of small perturbation .of small perturbation . 等熵激波小扰动激波的熵增是三阶小量等熵激波小扰动激波的熵增是三阶小量 For small pe

22、rturbation shock, entropy increase is third order， so it is isentropy shock。l 激波的精确速度关系式：激波的精确速度关系式：Accurate velocity relation of shock22121221212212)(CrxCrxxyaVVVaVVVVV激波前后的速度关系式（几何关系）激波前后的速度关系式（几何关系） Velocity relations in front/rear-shock 2121VVVVx212212122122)(VVVVVVVyy22221221)()(yxVVVVV22221221

23、)()(yxVVVVV即即 对于直角坐标系对于直角坐标系 At Cartesian coordinates2112221Vsin2VVcos21yyxxxVVVVV)(VVcos22221xxyVoVV)()VV(2121221xxxxVoVVVV)()VV(3122122xyyyVoV)()()(31221221xxxxVoVVVVjViVVyxVsinVcos 因此因此 so thatso thatl由能量方程可得由能量方程可得 From energy equationl由此得到由此得到 M M11时的方程（跨声速中）时的方程（跨声速中）FromFrom where , the equat

24、ion when M1,(transonic flow)l超声速中超声速中 At supersonic flow22222112VMMVacr0)()(211 (2212212122yyxxxxVVVVVVMVM0)()(21_1 (221221212yyxxxxvvvvvvMVrMl适用范围：适用范围：激波前后小扰动方程，适用于等熵波激波前后小扰动方程，适用于等熵波 Above eqs. are available for small perturbation flow in front/behind of the shock, i.e. , iso-entropy flow4-3 4-3

25、跨声速小扰动速势差分方程跨声速小扰动速势差分方程 Small perturbation equation for transonic flow 混合性方程，在同一流场中不同点所用的差分方程混合性方程，在同一流场中不同点所用的差分方程 不同。不同。 Mixed equation, different FDE is used for the scheme一、中心差分格式一、中心差分格式 Centeral FDE scheme flow field 对速度势对速度势 For velocity potential function ! 2)(),(),(222xxxxyxyxx! 2)(),(),(2

26、22xxxxyxyxxl一阶导数的差分格式一阶导数的差分格式 First order difference equation is obtained as 2)(2),(),(xoxyxxyxxxl二阶导数的差分格式二阶导数的差分格式 Plus two equations, and get 2ed order PD2222)()(),(),(2),(xoxyxxyxyxxx二阶精度二阶精度 2nd orderC在超音速流中，气流参数只受上扰动游影响与下游扰动无关。在超音速流中，气流参数只受上扰动游影响与下游扰动无关。At At supersonic flow, the parameters o

27、f flow are dependent on upwind supersonic flow, the parameters of flow are dependent on upwind perturbation and independent on down flow perturbationperturbation and independent on down flow perturbationC需建立迎风一侧差分格式需建立迎风一侧差分格式 The upwind one side FD scheme is The upwind one side FD scheme is needed

28、to builtneeded to built C取上游一侧的点构成差分格式取上游一侧的点构成差分格式 Take the upwind point to Take the upwind point to construct FD schemeconstruct FD scheme一阶精度迎风格式一阶精度迎风格式 1st order upwind scheme二阶精度迎风格式二阶精度迎风格式 2nd order upwind scheme2(, )()xx yoxxx（x,y）- 222(2 , ) 2 (, )( )()xx yxx yxo xxx 二、一侧差分格式二、一侧差分格式 One s

29、ide FDE of the derivatives2,xx y ,xx y ,xx y, x yxyv三、亚音速点的差分方程三、亚音速点的差分方程At subsonic flow equation 取网格点如图：正交等间距网格取网格点如图：正交等间距网格The space nodes are shown as 中心差分格式构成的差分方程中心差分格式构成的差分方程1,1,1,1,1,122222211.02ijijiji jiji ji ji jrMMVxxy1,1,1,1,1,12222,1,1,22211212212ijijijiji ji ji jijijrMMVxxyrMVxxy 即即

30、 受周围四点的影响，这是亚声速流动的特点受周围四点的影响，这是亚声速流动的特点 is effect by around four points , this is subsonic feature , i j, i j1j j1j 1i i1i 四、超声速点的差分方程四、超声速点的差分方程FDE for supersonic flow 当计算点为超音速（当计算点为超音速（M M大于大于1 1）时，方程为双曲线型）时，方程为双曲线型When local supersonic flow appear ,the equation is hyperbolic存在依赖区（上游马赫锥内部）存在依赖区（上游

31、马赫锥内部）The dependence zone exists ,(up mach core)对对y y的差分可以用中心格式的差分可以用中心格式The centurial difference is used for the derivative with sped to y对对x x的差分要用迎风格式的差分要用迎风格式Upwind scheme is used for X-direction显示格式：显示格式： 差分式取差分式取 ，而不用，而不用 线法线法Explicit scheme每次都用每次都用i i网格线上的已知值，可以从左到右逐点网格线上的已知值，可以从左到右逐点计算计算The

32、known value is used to calculate the value at every node sequentlyyy1i i1,11,1,122ijijijyyy隐式格式：利用当前网格线上的值构筑差分方程隐式格式：利用当前网格线上的值构筑差分方程Implicit scheme : using present value to construct FDE 具有三个未知量（在网格线具有三个未知量（在网格线i i上上） Where there are 3 unknown points,1,.122i ji ji jyyy显式比隐式方便显式比隐式方便Explicitly schem

33、e is more convenient than implicit scheme显式格式稳定区域小显式格式稳定区域小The stability zone of explicit is smaller than that of implicitlyu稳定性和收敛性稳定性和收敛性 Stability and convergence收敛性：当步长趋于零时，差分方程解趋于微分方收敛性：当步长趋于零时，差分方程解趋于微分方程解程解Convergence: when step length tends to zero, the solution of the PDF tends to the solut

34、ion of PDE稳定性：差分误差在传播过程中有界且逐渐减小稳定性：差分误差在传播过程中有界且逐渐减小Stability :the error is limited or decreased对波动方程（双曲型）：稳定性条件是差分方程依赖对波动方程（双曲型）：稳定性条件是差分方程依赖区不小于微分方程的依赖区区不小于微分方程的依赖区For viberation Eq ,the stability condition is that the dependent zone of PDE less than that of PDEu对超声速势函数对超声速势函数 For potential veloci

35、ty fuction 差分方程依赖区半顶角差分方程依赖区半顶角 The half conical angle The The half conical angle The dependent zone of the FDEdependent zone of the FDEytgxxy微分方程的半顶角微分方程的半顶角the angle of the dependent zone 差分方程稳定条件为差分方程稳定条件为u对于跨声速势流，不满足稳定条件，因为对于跨声速势流，不满足稳定条件，因为For transonic flow, the stability condition is not sati

36、sfied211tgM211ytgtgxM21,1yxM 跨声速势流不能用显示格式跨声速势流不能用显示格式 so transonic potential function can not solve with explicit methodn隐式格式的依赖范围大于微分方程的依赖范围隐式格式的依赖范围大于微分方程的依赖范围The dependent zone of implicit scheme is great than that of PEDJ+1JJ-111221Mtg双曲方程差分采用一侧隐式格式双曲方程差分采用一侧隐式格式For hyperbolic equation ,one side

37、 implicitly scheme is used五、音速点的差分方程五、音速点的差分方程The finite diffence at sonic points 当当M=1时，方程为抛物性，存在一族特征线时，方程为抛物性，存在一族特征线When M=1,the equation is parabolic, there exist a series of characterist line 速度势方程化为速度势方程化为potential equation become ,2,1,2,1,1222222r+1102i jiji jijiji ji ji jMMVxxycyx 0yySubsoni

38、c 采用差分方程可以写成采用差分方程可以写成Using FDE六、速度判别式六、速度判别式Velocity critical condition 四种情况四种情况: Four cases 亚声速sub 亚声速sub 超声速supe 超声速super 亚声速sub 超声速super 超声速 super 亚声速subsupersupersonicairfoil,1,120i ji ji j1M ：过渡连续：过渡连续 continually changes ：出现激波：出现激波 参数不连续参数不连续 the shock appears, parameters are discontinous ：有音

39、速线存在：有音速线存在There exists sonic points逐点判别：逐点判别：根据根据 系数进行判别系数进行判别Judge according to the coefficient ofxx0 xxyyAC情况 的值 的值00亚-亚声速subsonic0 0 0亚-超声速sonic0超-亚声速subsonic中心差分中心差分一侧差分一侧差分 11,1,22ir+112ijijAMMVx 2,2,22i-1r+112i jijAMMVx 1A 2AA (i,j)点性质对应的差分方程any亚音速subsonic超音速supersonic音速点sonic00001,1,1,1,222,

40、1,122r+1122ijijiji jiji ji ji jMMVxxx,2,1,2,222,1,122r+11220yi jiji jijiji ji ji jMMVxx,1,120i ji ji j差分方程形式差分方程形式 PDE form七七. .跨声速小扰动激波的差分方程跨声速小扰动激波的差分方程 PDE for transonic small perturbation shock flow v激波处：速度由超声速过渡到亚声速激波处：速度由超声速过渡到亚声速 At shock, the flow transfer from supersonic to subsonic激波前流场均匀（

41、近似）激波前流场均匀（近似） In front of the shock ,the flow is uniform supersonic flow1,1,()xi jijV1,1,()yi ji jxVyi,ji-1ii+1j+1i-1ji,j+1i+1,j+1i+1,ji-1shock激波后流场均匀（近似）激波后流场均匀（近似） After the shock ，the flow is also uniform差分方程（跨声速小扰动方程的差分形式）差分方程（跨声速小扰动方程的差分形式） FDE (Transonic small perturbation flow)21,()xiji jV2,

42、1()yi ji jxVy212221211(1)02yyxxxxVVVVVVrMMVxy对无旋流动（无旋条件）对无旋流动（无旋条件） Condition of irrotational flow 其差分形式其差分形式 Its FD form yxVVyx212122yyxxVVVVyx考虑了无旋条件的扰动速度差分方程考虑了无旋条件的扰动速度差分方程 After considering the irrotatational condition the small perturbation equation becomesv讨论：讨论：discussion： 跨声速区小扰动激波差分方程与小扰动激

43、波关系相同跨声速区小扰动激波差分方程与小扰动激波关系相同22221221121(1)()()02xxxxyyVVrMMVVVVV八、超音速点差分方程的人工粘性八、超音速点差分方程的人工粘性 artificial viscous for supersonic FDE速势方法假设了流场均为等熵流速势方法假设了流场均为等熵流 The velocity potential method assume that the flow is iso-entropy导致流场间断解不唯一（可由亚导致流场间断解不唯一（可由亚-超，也可由超超，也可由超-亚）亚） It leads to non-unique solu

44、tion如果采用迎风格式如果采用迎风格式 （单侧差分），则只适合压缩突跃（由（单侧差分），则只适合压缩突跃（由超超-亚），不可能出现膨胀解。亚），不可能出现膨胀解。 Continuous solution，if the upwind scheme is used, the solution only suitable for compressible sharp increase (shock), not suitable for sharp decrease.)(22, 2,xoxxxxjijix)()(22, 2, 1xxxxxxjijiijxx超声速点差分方程（迎风格式）超声速点差分方程

45、（迎风格式） FDE of the potential equation at supersonic flow),(1)1 ()1 ()(2)2()211 (22222221,1,2, 2, 1, 2,22yxxMvxMMyxxMvMxxxxxyyxxjijijijijijijiji&原因：原因：采用采用1阶迎风格式阶迎风格式 1st order upwind scheme应用当地应用当地M数改成相对应的微分方程数改成相对应的微分方程 Using local Mach number M to rewrite the PDE then 其中其中 类似于跨音速小扰动粘性流方程中的粘类似于跨

46、音速小扰动粘性流方程中的粘 性项。称为人工粘性性项。称为人工粘性 Where is similar as the viscous form of small pertubation equation, so called it artificial viscous差分方程的解只含压缩突跃，即激波（是熵增过程）差分方程的解只含压缩突跃，即激波（是熵增过程） PDE only includes compressed shape change(where the entropy creases ) 不可能产生膨胀突跃（即熵减过程）不可能产生膨胀突跃（即熵减过程） Not suitable for e

47、xpanding shape change(where entropy decreases)22221(1)(1)xxyyxxxxxMMxMxv 2(1)xxxMx2(1)xxxMx4.4 边界条件及其嵌入边界条件及其嵌入 Embeding of Boundary conditions一、边界条件一、边界条件(Boundary Condition)1.物面：物面： 无粘，无穿透条件无粘，无穿透条件 on wall no normal velocity 对于翼型（叶栅），设物面方程为对于翼型（叶栅），设物面方程为， 则定常则定常流动边界条件流动边界条件0V n ( , )0F x y 0VF 0

48、 xyFFVVxy即：若翼型上下表面可表示为若翼型上下表面可表示为 则则速度分量可写成速度分量可写成 ( )yfx( , )( )0F x yyyx,0FyFxxy cosxxVVvcosyyVVv上表面的边界条件为上表面的边界条件为 BC on up surface isy(cos)sin0yVvVVx上上其中，其中， , 为扰动速度为扰动速度 Where , is the perturbation velocity componentsyvxvxvyvxyvvV，对于薄翼型对于薄翼型 For thin wing小迎角下，小迎角下， 时时 For small AOA, when 故上表面故上

49、表面 (on up surface)或写成或写成 or be written as sin,co0c0,0yyxVx上1x上y()xyyyvV上同理，对于下表面同理，对于下表面 meantime for lower side,0yyxVx下v综合上下表面可以写成以下小扰动方程翼型上下表面边综合上下表面可以写成以下小扰动方程翼型上下表面边界条件界条件Consider upper and lower side of airfoil ,the small perturbations satisfy following condition,0yyxVx2.库塔条件（后缘边界条件）库塔条件（后缘边界条件

50、） Kutta condition (trailing edge condition )上下表面流线在后缘尖点平滑汇合上下表面流线在后缘尖点平滑汇合 the streamlines on upside and Lower-side smoothly sinks at trailing edge在受气动载荷时，速度势在后缘不连续，形成间断面。在受气动载荷时，速度势在后缘不连续，形成间断面。Under the aerodynamic loads ,velocity potential function at tracting edge is discontinuous 在这条间断面上必须满足在这条

51、间断面上必须满足 On the discontinuity surface，what must satisfy is 。后上下c (1)(1)上下压强相等上下压强相等 the pressure on up and lower side of airfoil is equal (2)(2)速度方向相同，大小不同速度方向相同，大小不同 the direction of velocity are consistent, but the value of the velocity is not equal l小扰动条件下小扰动条件下 ，因此上述方程，因此上述方程可写成：可写成： for small p

52、erturbation, above equations can be written as: ( , 0)( , 0)( , 0)( , 0)( , 0)( , 0)yyxxP xP xVxVxVxVx2xVPV( , 0)( , 0)( , 0)( , 0)xxyyxxxxl经间断面速度势变化称为环量经间断面速度势变化称为环量 through the section surface the velocity potential function changes is circulation.3.3.远场条件远场条件Far field condition l用有限远代替无限远场，扰动速度势的

53、近似条件为：用有限远代替无限远场，扰动速度势的近似条件为： using limited far field replace the real far field perturbation velocity potential function BC can be written as:)0-(-)0(，后后xxdc00yyxxvv二、边界条件的嵌入二、边界条件的嵌入 Embeding of the boundary condition 边界点上速度势应同时满足边界条件和速势方程边界点上速度势应同时满足边界条件和速势方程On boundary the velocity potential fun

54、ction satisfy both the BC and the potential Eq.1.1.物面边界嵌入物面边界嵌入 Embeding of wall boundary condition翼型上表面翼型上表面 On the airfoil surface 将速势拓延到边界的另一侧（将速势拓延到边界的另一侧（i i，j-1j-1） Extend the velocity potential function to other side of boundary,()()yi jyVx上)(2)(21,1,yyjijijiy即即Or)()(23,1,1,yyjiyjiji边界点的中心差分边

55、界点的中心差分The central difference on boundary)()(2)(221,1,yyjijijijiy利用边界条件得到：利用边界条件得到：Using BC then get)()(2)(,1,jjiyjjijijjiyyyyy,1,2()()i ji jjjjyVyyyx 上2.2.库塔条件的嵌入库塔条件的嵌入 Embedding of Kutta condition增加新方程使上下表面上增加新方程使上下表面上 相同，即相同，即Additional new equation to make consistent on up and lower surface)0,(

56、)0,()0,()0,(后后xxxxyy( , 0)( , 0)yyxx,()()yi jyVx上3.3.远场条件的嵌入远场条件的嵌入 Embedding of far field condition根据具体问题特点建立运动场根据具体问题特点建立运动场 的计算方法的计算方法To found the computation method according to the character of certain problem对于自由绕流，运动速度为对于自由绕流，运动速度为 ，自由来流的速度势，自由来流的速度势为为 for a free flow around the airfoil， the

57、far field velocity is ，and the velocity potential function of free flow isvvsinvcosvyx扰动速度势应满足扰动速度势应满足Therefore the perturbation velocity potential satisfy0)(200)(201,1, 1, 1xvxvjijiyyjijixx4.5 4.5 线松弛迭代解法线松弛迭代解法The line relaxation iteration method一、非线性代数方程的迭代解法一、非线性代数方程的迭代解法 Iterative method for no

58、n-linear equationsl跨声速小扰动速势方程是非线性的跨声速小扰动速势方程是非线性的 Transonic small perturbation equation is nonlinear PDEl其差分方程为非线性代数方程，即系数是与函数值或其导数有关其差分方程为非线性代数方程，即系数是与函数值或其导数有关Its FDE is also nonlinear equation that is its coefficients are related to the variablesl迭代求解：迭代求解： Iteration method 把系数假设成已知量，每次求解之后再重新计算系

59、数把系数假设成已知量，每次求解之后再重新计算系数,再次求再次求解直到得出收敛解为止解直到得出收敛解为止.Assume the coefficient are known at first iteration, then recalculate the coefficients again after once iteration, repeat iteration until the iteration convergences二、高阶代数方程的线松弛解法二、高阶代数方程的线松弛解法 The line relaxation iteration method for High order ari

60、thmetic linear equations l 高阶线性方程组，线性化后的差分方程高阶线性方程组，线性化后的差分方程 High order linear equations, linearized FDEl 阶数为阶数为 , M为网格点数为网格点数, n为问题的维数为问题的维数. 或阶数或阶数M*N*L（M,N,L为空间三坐标方向的网格点数）为空间三坐标方向的网格点数） The order of linear-algebra equation is , where M is the number of the grids, n is the number of dimension. The or