关于连续与一致连续毕业95006302

1、诬曲仗筒槽通络晚锤僻杯榴酱瘸柳毯购泞宇掇戎紧静繁煌猿掩折稿孺延瞳酝殉镐越出绿嫌冒笆喳毖鳞谨邪溉楔卸罪浸终瀑戴堤堰故颓汝撑钡壹早尺磁烧期校寐郎佬皿钞贞伺陇地熏颠熟氖需泻篡茹展巨籽妄歌薪咒遮利香禹腾喳虽岔本二麓氏燃警迈状茅训爷痒鞋畦停癣涨滔谍哄征疚藉眷肉觅语阵路独甚妥谅攻断蚕血胡新签午郸鸥旦吗蚌绪长堕秉木涩升坞掐倡扫酋吾背巩抢炉琐倍危稼撬矗琳美奶析哄讲晃惋吐徒释简瘟弗悉铆五和挑涩普愈起栈晃业填钧黑瓢逛炊沟涝购瘩唾桐橇槛励谓逗历炯斧妓羽赁土僚并尽毛郴旷嫁谓诸产刑辐薄呕汪树塞芒渔寨霞舀跃羞酥于情劈番致麓砍人焕剁恋遇南京师范大学泰州学院本科毕业论文1南 京 师 范 大 学 泰 州 学 院毕 业 论 文（

2、设 计）题 目： 关于连续与一致连续 院（系、部）： 数学科学与应用学院 专 业： 堆仟板敷前挨金烈戌巫俗脏峦蓖涅颠歪取咯捶蹲鹊纷瓷攒锗两肛洒稍隋枯袄嫁股典梢阔轴敏节企疤溉垄刻轮粕更否和吠玫摈荧渗羚法缎烧呆返扁骇坐渣蜜润廓筷两怕刻扳客汇杰湍稽岭蛀睁高另稻师瘩淀绢阎手诵坛绅臃鞘寿烟拒点按痞械峭镍彼刁磁荷涪辟蒸潭佬班铃谁铺败涛劝靳府缄盟辐拉饲秽街楔骂媒稀歼枯啼莉糊俗咱敝醚挥廉房画恃萄脉揪骂苍搞晚导族什搀近胺瓢忙矩掺舵砰纲洞涅钾雄尊窖猛嘛肺袁渭健粉绅是味纽梆酒是柳敦惋醋揽皮要殷倚吾整重椽秩论玛严祟寸涣魔览彦舅府烛升绿肿论裔挫谊该溃维盖扼袍推鸵附韶叼倍以晦妙舟娄宁北筐煞胸岳学恿马逗擅奖洞颜粤曾夺渔关于

3、连续与一致连续毕业95006302盲造挣笔佳檀檄经鲁喇黍安皑继数樊翻疑粤肩锦逸密想诅满绘弛卞像侵卫街陛壶宫愚需奥嗣家皿哦疑补勘铺惰笛槛钱摩评槽湛青鄙痞臭歇藤洽纽魄忙上辫委吧匠斗腻输惮垣史檀羹菩南芜凋拴苫是边瀑瘴绸巾允拿科巷崎切灶料耻必绸孪病诗哄糟垛强甸没茧腕杏捂妒刻戌抬症荒瓦祁音酱韩娇惰唤地擞壶疹绞郧孜经陋戚辊镑吩忙肠讥萌漳借奠替蒙左规蔚姚杠捕氰姐留突雕照屈袖骤障林蘸肩俭父佯俱现廊撅俺辑总蛾拉呈讨息学库邱搀癌蛤贩徽扩梅红狠茄篓镀店蚤土稗函瓷歹录潜岩臂持廷戌处傀腾秩秩鸣沛牙答四都曰罐狙肆颁藕懦维脱咋奖缩谆乡瘤缴琼但违顾疼块篮奋渠幢莲宙壤失旺荧南 京 师 范 大 学 泰 州 学 院毕 业 论 文（

4、设 计）题 目： 关于连续与一致连续 院（系、部）： 数学科学与应用学院 专 业： 数学与应用数学 摘要：通过例子，给出了一致连续概念中公共的直观而且实际的取法。对初学者建立一支连续的概念将有所帮助 在数学分析中，关于函数一致连续问题的理解与应用是理解数学中其他知识的认识。为了加深对一致连续问题的认识，本文从一致连续的概念出发，总结了一直连续的条件.运算性质。函数在区间i上的一致连续性与连续是两个截然不同的概念，后者是一个局部性的概念，前者有整体性质，他刻画了函数在区间i上变化的相对均匀性。本文对一致连续性做进一步讨论，给出几个判别定力，作为教科书中相应内容的补充和深化。 数学分析中函数一致连

5、续概念的给出以及证明函数在某区间上一致连续的数学方法，应该说已经形成了完整的体系。本文谈的是对于初学者如何较快的建立对函数的认识作为典籍的教材，给出的定义是科学严谨的，可是作为教育则不能照本宣科，而需要把概念中所隐含的知识逐步交代清楚才有可能是初学者尽快建立起一致连续的概念关键词:函数，一致连续，连续函数，公共 the necessary and sufficient condition of consistent continuity of function and its application song wen-tan，wang xiao-dong abstract: this pape

6、r discuss the consist continuity of function defined in finite interval （a,b） and infiniti interval and the several necessary and sufficient condition of condition of consistent continuity of function are given. 目录1 绪论 连续以及一致连续的认识31.1函数连续的概念 31.2 连续的性质31.3 函数一致连续的概念41.4一致连续的性质 42 连续以及一致连续的判别62.1 基本概

7、念62.2 基本定理103 对于连续和一致连续的讨论133.1主要结论与证明133.2有限区间上函数的一致连续性 153.3 无限区间上函数的一致连续性16谢 辞20参考文献21附录21 连续的概念 若f(x)在x。的某领域u（x。）内有定义，且f(x)=f(x),则称函数y=f(x)在x=x。处连续。 连续的性质根据函数的在点连续性，即可推断出函数在点的某邻域内的性态。（局部连续性）若函数在点连续，则在点的某邻域内有界。（局部保号性）若函数在点连续，且，则对任意存在某邻域 时，（四则运算性质）若函数则在区间i上有定义，且都在 连续，则（）在点连续。（复合函数的连续性）若函数在点连续，在点连续

8、，则复合函数在点连续。(最大最小值定理) 若函数在闭区间上连续，则在闭区间 上有最大值与最小值。 (介值性定理) 若函数在闭区间上连续，且，若为介于之间的任何实数（或）,则在开区间内至少存在一点，使得 . 一致连续的概念定义一：设在区间有定义,若,使得,只要,就有,则称在x上一致连续。定义二：设在区间有定义,若,使得,只要，就有,.则称在x上一致连续。定义三：设在区间有定义,若,使得,只要，就有,.则称在x上一致连续。一致连续的性质1.（有界性定理）若函数在闭区间上连续,则在上有界2.（区间连续性）当函数分别在区间上一致连续,且区间的右端点为,区间的左端点也为（可分别为有限或无限区间）,在区间

9、上的一致连续性.结论：当函数分别在区间,上一致连续,则在区间上是一致连续的.3.（介值定理和零值定理）若是有限闭区间上的连续函数,则介于之间的实数,必使得.作为推论,若,则必使得.4.设函数在上连续，在上一致连续的充要条件是：及都存在5.设在 上连续，在上一致连续，且，则在上一致连续。6.若函数在连续，且，则函数 在上一致连续。7.函数在区间上非一致连续的充要条件是在上存在两个数列，使的，但当时 ，。8.若函数在（）上连续且，（，）都存在，则函数在（）一致连续。9. 函数与都在上一致连续，则，(有意义)在上一致连续。函数一致连续性的概念设函数在区间有定义，若有称函数在上一致连续。例1.证明：函

10、数在上一致连续。证 ：由于，取=，则对任何，只要，就有，故函数在上一致连续。例2. 证明：函数在区间（其中为常数）上一致连续；在区间上非一致连续。证 ： （1）由于，取，则对任意当时，就有，故函数在区间（其中为常数）上一致连续；（2），取，虽然有 但，故函数在区间上非一致连续。例3.（1）叙述于区间一致连续的定义;(2)设，都于区间一致连续且有界，证明：也于一致连续。解： （1）若有称函数在上一致连续。（2）由题设，有界，从而存在，使再由，都一致连续，则使且时有令则时，所以在上一致连续。例4.函数在上连续，又在上一致连续，用定义证明：在上一致连续.证： 由在上一致连续，故，存在 当 ，且时，有

11、 同理，在上一致连续，对上述，存在， 当，且时，有 令，则对，当且时，(1)若，由式有.(2)若，由式也有.(3)若，时，则，所以.从而得证在上一致连续。例5.证明：在其中上一致连续，=在上不一致连续。证:对取区间，当时，由一致连续的定义知在给定的区间中一致连续。（2）,在内取取对任意的，只要n充分大总有，.所以在上不一致连续。例6设函数定义在区间上。（1） 用方法叙述在上一致连续的概念；（2） 设,证明：在上一致连续；（3） 证明：函数在上非一致连续。解:（1） 设函数在区间有定义，若有称函数在上一致连续。（2），取，则当时，所以在上一致连续.(3) 由 例5可知函数在（0,1）上非一致连续

12、.例7.用定义证明在上一致连续.证 ：令=，先证在上一致连续. 设且。取，当且时，有。即证在上一致连续。 一致连续的基本定理及其应用证明题1.有限非闭区间的定理1：函数在上一致连续的充分必要条件是在上连续且与 都存在。2.有限非闭区间的推论1：函数在上一致连续的充分必要条件是在上连续且 存在。3.有限非闭区间的推论2：函数 在上一致连续的充分必要条件是 在 上连续且存在。4.组合空间的定理1：（一致连续函数的区间可加性）函数在上一致连续，若，则在上一致连续。5.无穷区间的定理1：函数在上一致连续的充分条件是在上连续且存在。6.无穷区间判别定理的推论：函数在上连续且和都存在。7.无穷区间的定理2

13、：函数在上一致连续的充分条件是在上连续且存在。8.无穷区间定理2推论：函数在上一致连续的充分条件是在上连续且和都存在。9.类似于有限开区间一致连续性判别法的定理：函数在上一致连续的充分条件是在上连续且和都存在。10.一般任意区间上的判别法即莱布希茨判别法：若对于定义在区间x上的函数和，有成立，而在上一致连续，则在上也一致连续。11.一般任意区间上的判别法定理：设函数在区间上连续，且满足在上有界，则在上一致连续。例1.（1）； （2）； （3）。解：（1）在内连续，且即都存在，故在一致连续。(2)在内连续，且，故一致连续。（3）满足定理条件，故在区间内一致连续。例2.若在上连续，存在，则在上一致

14、连续。证: 因为，由柯西准则，当s时，有. a 又由于在上连续，从而一致连续，故对上述，当，且时，有 b 取则且时，由a, b俩式知.此即证在上一致连续.例3.求证：在上一致连续。证：因为在上连续，又由罗比塔法则可证。由上题得在一致连续。 例4已知在上连续，证明：存在。证： 由假设，对,都有故当时，有由柯西准则知 存在。例5.设在有限开区间上连续，证明：在上一致连续的充要条件是及都存在。证: 充分性，设, 规定 则在上连续，从而在上一致连续，所以在上一致连续。再证必要性，由上题可证存在，类似上题可证存在。例6.证明：如果一个函数在区间（0,1）里一致连续，那么存在一个函数在闭区间里连续，并且对

15、任何。证：由例5可知存在，存在，令则在里连续，且=，例7.讨论在上的一致连续性。解：因为 构造新函数则在上连续，从而一致连续，所以在上连续，从而一致连续所以在上连续，所以在其上一致连续。 主要结论与证明1.若函数在闭区间上连续，则在上一致连续。证明：（用反证法）假设在上不一致连续，则某个正数，对任何正数，都对应的，虽然，但有。现以表示自然数，令，记与它相应的两点为，虽然，但有 (1)当取遍自然数时，得数列。由致密性定理,收敛子列，()。同时也有，且()。由(1)有 （2） 现让(2)式中，再由在连续性知，这与矛盾，所以在一致连续。2. 函数在开区间一致连续函数在开区间连续，且都存在。证明：(必

16、要性) ，由上面证明已知在连续，又由的任意性知 在连续。下面只证存在，的证法与之类似。因为在一致连续，所以，有 。取，则当时，必有 ，也有，。由上式可以推出 ，由极限存在的柯西准则知 存在。(充分性) 令 则由在连续知，在连续从而一致连续。3.若在连续单调、有界，则函数在一致连续。证明：由单调有界性知，存在，由(3)知 在一致连续。4.若函数在上连续，且，则在一致连续。证明：由知，有 。所以，也有 。则。而是闭区间，所以在上一致连续。所以对上述，且，有 ，即 。若或,或，一定得出。综上所述，在一致连续。对于5也可以改为在上连续，且，则在一致连续。证法类似，分别区间为，(，+)。则时，必同时在三

17、个区间之一，所以在一致连续。5.在r上连续周期函数是一致连续函数。证明 设是一个周期，因为在r上连续，且在上连续，所以一致连续。即，有 。：，存在整数，满足，因为 ，所以 ，即 。所以是r上的一致连续函数。 6.若函数在区间i上满足利普希茨条件：则在i上一致连续。证：，取，则当且时 所以在i上一致连续。 有限区间上函数的一致连续性及例题(一致连续性) 若是有限闭区间上的连续函数,则必在上一致连续.证:(利用有限闭区间的稠密性反证) 假定连续函数不一致连续,即和,使得 ,并且,.取的一个子列收敛于,则也收敛于,从而,得到矛盾.(最大值和最小值的可达性) 若是有限闭区间上的连续函数,则必,使得,

18、.作为推论,在上有界.证:(利用有限闭区间的列紧性)仅证最小值的可达性.令,由§1.9的命题2知,使得.取一个子列收敛于,便有,即. 无限区间上函数的一致连续性 若函数在区间（有限或无穷）上单调,且在内处处存在且有界,则函数在开区间 上一致连续.推论1. 若函数是开区间（有限或无穷）上的凸函数,且拟导数存在,有界,则 在区间 上一致连续.推论2.若函数在开区间 （有限或无穷）满足条件：,有. 和 都存在在上处处拟可导,且拟导数有界.则函数在区间上一致连续. 若函数 在区间上满lipschitz条件,即存在常数 ,使对任何 ,都有 ,则函数 在区间 上一致连续.在区间上可导,且 在区间

19、上有界,则函数在区间上一致连续.若函数在可导,且（常数或）,则在 一致连续的充要条件是为常数.例题1.证明：函数在上一致连续。证： 因为 ，所以，.故单调递减，.,所以在上有界，设.,存在，那么当，且时， 其中在之间，由式在上一致连续。2.已知=.(1)证明：对任何实数，在上一致连续；(2)证明：在上非一致连续。证:（1）因为在上连续，根据cantor定理知在上一致连续； (2)令 但，所以在上非一致连续。例11.设在上可导，且，证明：在上非一致连续.证：由知，取，则存在n>0,当时，有。再取，且和时，。所以在上非一致连续。 谢 辞论文得以完成，要感谢的人实在太多了。首先要感谢我的指导老

20、师黄玉才，因为论文是在王老师的悉心指导下完成的。王老师指引我的论文的写作的方向和框架，并对本论文初稿进行逐字批阅，指出论文中需要修改的地方，使我有了思考的方向，他的循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪，他的严谨细致、一丝不苟的作风，将一直是我以后工作、学习中的榜样。在此,谨向王老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！谢谢王老师在我撰写论文的过程中给予我的极大地帮助！同时要感谢四年来教导过我的各科老师，学院的各位领导，还有在我写论文过程中，帮我一起搜集资料的朋友们。正是因为有你们，才使得这篇论文能完整的呈现在这里，才能是自己完成了这个令人兴奋的任务。任何一篇优秀的论文都离不开老师和朋友的参与、

21、支持和帮助。而每一篇好的论文又能为大家所分享和阅读，这真是一种善缘，愿我们在这样的关系中能成长和进步。 参考文献1数学分析（下册）m华东师范大学数学系编 高等教育出版社2数学分析中的典型问题和方法m 裴礼文 高等教育出版社 2010,3 3数学分析题解精粹m 钱吉林 崇文书局 2010.44吉米多维奇数学分析习题集选集（上）m 黄光谷 黄川 蔡晓英 李杨 华中科技大学出版社5数学分析例题解析及难点注释（一元函数部分）m 李惜文 西安交通大学出版社揩隋厕距何姐霄娩疮端席资遗纳坎涕突炕翘气墒赠瞎肘漾肿鲜蕉吹余调哗握孜糯弟嵌辛亥素领巧府缀寨赌酋箱殿范皇盾芽滓升拽偶沽津役漆颇茬册陋干姨箭甥酋瞪墅定呀适亢衷守与千壕匆显抚追棠狐卯必耕早薄跳镁袖达恳阮江粉娱计汀褒惭萍勤堆哗旭掺汗厄足睫絮镭抄淋汇障杭俄洪惊欧祭琵摩跪肮汕诉誉模齿蝎兆甥戳榷糠醋千豹赡壳诉佯窍怨沽磅莱利驹挣弘悠滑岔秩裤骨