山东科技大学概率论卓相来岳嵘编第三章习题解析

1、 习 题 三1. 一个口袋中装有5只球，其中4只红球，1只白球，采用不放回抽样，接连摸两次.设试求：（1）的联合分布律；（2）解 （1） 的可能取的数组为 (0,0),(0,1),. (1,0), (1,1)下面先算出每一组取值的概率第一次取到白球的概率为，第一次取到白球后，第二次取白球的概率为0.第一次取到白球的概率为，第一次取到白球后，第二次取红球的概率为.因此由乘法定理得第一次取到红球的概率为，第一次取到红球后，第二次取白球的概率为. 第一次取到红球的概率为，第一次取到红球后，第二次取红球的概率为.因此由乘法定理得于是所求的分布律为 0 10 0 1 （2）=2. 将一硬币抛掷三次，以表

2、示在三次中出现正面的次数，以表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值。试写出的联合分布律.解 由表示在三次中出现正面的次数，出现反面次数为，所以，的取值为，的取值为，且于是 而均为不可能事件.所求的的联合分布律为 0 1 2 31 0 03 0 3. 一盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只，以表示取到黑球的只数，以表示取到红球的只数，求的联合分布律.解 的取值为，的取值为,其联合分布律为 0 1 2 30 0 0 1 0 2 0 4. 设二维随机变量概率密度为求:（1）常数；（2）；（3）；（4）.解 （1）由概率密度的性质，得,故.于是 (4）. 5. 设二维随机

3、变量服从区域上的均匀分布，其中，试求关于的一元二次方程无实根的概率.解 二维随机变量在区域服从均匀分布，由的面积，所以的概率密度为 若关于的一元二次方程无实数根，则判别式 的一元二次方程无实数根的概率为.6. 设与的联合概率密度为 求与的联合分布函数 解 7. 设与的联合概率密度为 y O 图3-7其中区域如图3-7所示，试求与的边缘概率密度. 2解 8. 二维随机变量概率密度为 试求:（1）确定常数；（2）边缘概率密度.解 （1）由概率密度的性质 ，得,故.于是 (2) 的边缘概率密度的边缘概率密度9. 设袋中有标记为的四张卡片，从中不放回地抽取两张，表示首次抽到的卡片上的数字，表示抽到的两

4、张卡片上的数字差的绝对值 .（1）求的概率分布；（2）给出与的边缘分布；（3）求在下的条件概率分布和在下的条件概率分布.解 (1) 的取值为，的取值为,的概率分布为 1 2 3 41 2 3 0 （2）给出与的边缘分布 1 2 3 4 1 2 3 （3）求在下的条件概率分布 1 2 3 在下的条件概率分布 1 4 10. 在第8题中，试求（1）已知事件发生时的条件概率密度；（2）.解 （1）由已知事件发生时的条件概率密度（2）.由当时11. 设服从区域上的均匀分布，设区域；（1）写出的联合密度函数；（2）给出与的边缘密度函数；(3）求在时的条件密度函数和在时的条件密度函数；.（4）求概率.解

5、（1）区域的面积.的联合密度函数为 （2）与的边缘密度函数；（3） ，在时的条件密度函数已知事件发生时的条件概率密度（4）概率 12. 二维随机变量概率密度为求解 从而 于是 从而13. 相互独立，的联合分布律及关于，关于的边缘分布律部分数值如下表 完成上述表格中的空格. 解. 相互独立，有的可能取值有，的联合分布律及关于，关于的边缘分布律部分数值如下表 14. 已知随机变量与的分布律分别为 -1 0 1 0 1 已知 .试求 （1）与的联合分布律；（2）与是否相互独立？为什么？解 （1）由 可知故 因而 与的联合分布律的联合分布律及关于，关于的边缘分布律部分数值如下表 由以上结果 ， ，于是

6、与不独立.15. 二维随机变量概率密度为试求（1）与是否相互独立？为什么？；(2） ， 与，其中 解 （1）的边缘概率密度的边缘概率密度对于任意的常数有.所以与是否相互独立（2） 与，其中 16. 与是相互独立的随机变量,在（0,1）上服从均匀分布，的概率密度为（1） 试求与的联合概率密度；（2） 设含有的二次方程，试求有实根的概率.解（1）在（0,1）上服从均匀分布，的概率密度为的概率密度为因为与是相互独立的随机变量, 与的联合概率密度（2）含有的二次方程，若 有实根，则判别式 的二次方程，若 有实根的概率为17. 若在区间(0,1)内任取两个数，求事件“两数之和小于”的概率. 解 在区间(

7、0,1)内任取两个数分别为随机变量与在（0,1）上服从均匀分布，的概率密度为在（0,1）上服从均匀分布，的概率密度为因为与是相互独立的随机变量, 与的联合概率密度事件“两数之和小于”的概率. 18. 设钻头的寿命（即钻头直到磨损报废为止 ，所钻透的地层厚度，以米为单位）服从参数为 的指数分布，即的概率密度为现要打一口深度为2000米的的井.(1)求只需一根钻头的概率；(2)恰好用两根钻头的概率。解 （1） 设钻头的寿命为随机变量, 只需一根钻头的概率为设两根钻头的寿命分别为随机变量与，它们是相互独立的随机变量, 与的联合概率密度(2) 恰好用两根钻头的概率为 19. 设与相互独立且服从同一分布

8、律 0 1 1/2 1/2求 （1）的分布律；（2）的分布律；（3）的分布律.解 由的分布律可得 （0，0）（0，1）（1，0）（1，1） 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1则（1）的分布律为 0 1 （2）的分布律为 0 1 （3）的分布律.0 1 20. 设与相互独立，服从（0,1）上的均匀分布,服从参数为1的指数分布，试求的概率密度.解 在（0,1）上服从均匀分布，的概率密度为服从参数为1的指数分布,的概率密度为因为与是相互独立的随机变量, 与的联合概率密度的概率密度.=.由 21. 设二维随机变量概率密度为(1) 问与相互独立？为什么？（2）试求的概率密度.解 （1）的边缘

9、概率密度的边缘概率密度对于有.与不独立（2）的概率密度其中 22. 设二维随机变量概率密度为(1) 试确定常数；（2） 求与的边缘概率密度；（3） 求函数的分布函数解 （1）由概率密度的性质，得,故.于是 (2)的边缘概率密度的边缘概率密度对于任意有.与相互独立(3) 函数的分布函数，的分布函数的分布函数23. 与是相互独立的随机变量,其概率密度分别为其中是常数.又随机变量(1)求条件概率密度；（2）求的分布律和分布函数.解（1）因为与是相互独立的随机变量, 与的联合概率密度当时,条件概率密度；（2）求的分布律和分布函数 若当时，则是不可能事件，所以=0. 当时， 当时， 故随机变量的分布函数

10、为 24. 设系统L由两个相互独立的子系统L1，L2连接而成，连接方式分别为（i）串联，（ii）并联（iii）备用（如图），L2（i） L1 L2（ii） （iii） L1 X L1 L2设分别为L1，L2的寿命，且它们的概率密度为其中且，试求以上三种连接形式的L的寿命Z的概率密度解（i）分别为L1，L2的寿命 系统L由两个相互独立的子系统L1，L2串联连接 L的寿命,随机变量的分布函数为 随机变量的分布函数为 L的寿命的分布函数为 Z的概率密度（ii）系统L由两个相互独立的子系统L1，L2并联连接 L的寿命的分布函数为Z的概率密度（iii）备用的情况（如图连接） L的寿命的概率密度其中25.

11、某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度为设各周的需求量是相互独立的，试求（1）两周的需求量的概率密度；（2）三周的需求量的概率密度.解 设第周的需求量为，它们是独立同分布的个随机变量（1）两周的需求量为，其概率密度为(2）三周的需求量为，其概率密度为26. 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似的服从分布，随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率.解 随机地选取4只，记其寿命分别为，它们是独立同分布的随机变量，且 记，事件“没有一只寿命小于180”就是，从而27. 对某种电子装置的输出测量了5次，得到观察值，设它们是相互独立的随机变量且都服从参数的瑞利分布。（密度参数的瑞利

12、分布的密度函数 ）（1）求的分布函数；（2）求.解 由题设知相互独立，且具有相同的密度函数由此得到分布函数为（1）的分布函数（2）28. 设是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为的泊松分布，证明服从参数为的泊松分布.证明 由题设知故29 . 设随机变量与相互独立，都服从上的均匀分布。引进事件，已知，求常数. 解 设，因为与是相互独立同分布的随机变量，因此得从而 于是问题有两解， 或 。30. 设二维随机变量在矩形上服从均匀分布，试求边长为与的矩形面积的概率密度.解 与的联合概率密度设为的分布函数 则当时，当时，当时，于是31. 设二维随机变量的概率密度.求随机变量的分布函数解 ， 当时，当时

13、，随机变量的分布函数32.设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为PX=k=p（k），k=0，1，2，PY=r=q（r），r=0，1，2，.证明随机变量Z=X+Y的分布律为PZ=i=，i=0，1，2，.32.因X和Y所有可能值都是非负整数，所以 于是 33.设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布.33.方法一：X+Y可能取值为0，1，2，2n. 方法二：设1,2,n;1,2,，n均服从两点分布（参数为p），则X=1+2+n，Y=1+2+n,X+Y=1+2+n+1+2+n,所以，X+Y服从参数为（2n,p)的二项分布.34.雷达的圆形屏