函数的最值与导数(2)课件

1、1.3.3函数的极值与导数之间的关系：函数的极值与导数之间的关系： xx0 0左侧左侧 x0 x0 0右侧右侧 f (x) f(x) xx0 0左侧左侧 x0 x0 0右侧右侧 f (x) f(x)增增f (x) 0f (x) =0f (x) 0极大值极大值减减f (x) 0 0fx 注注意意：是是可可导导函函数数取取得得极极值值的的必必要要不不充充分分条条件件【求可导函数f(x)的极值的步骤】(1)确定函数的定义区间，求导数f(x)(2)求方程f(x)0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x

2、)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.强调强调:要想知道要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必须判断是极大值点还是极小值点就必须判断 f (x0)=0=0左右侧导数的符号左右侧导数的符号.【课前训练】12491(2)= (- )=f23272.( )( )ff xf x极大极小答：（1）a=-,b =-2. ；（1）=-导数的极值常与函数的单调性、导数联合考查，是高考的常考内容，常常三者结合与含参数的讨论等知识点相联系，综合考查解决时可以以大化小分步解决，严格遵循解决极值问题和单调性的解题步骤，遇到该讨论时要

3、进行合理、恰当地讨论这种综合题在解决时要弄清思路，分步进行，切忌主次不分，讨论混乱归 纳 总 结 ：P29P30【阅读课本相关内容，回答问题】有极值无最值有极值无最值P30P31【阅读课本相关内容】探究利用导数求函数最值的步骤P【跟踪练习1】课本 31练习福建卷：已知函数f(x)ax36ax2b，问是否存在实数a、b，使f(x)在1,2上取得最大值3，最小值29？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由分析函数最值的逆向问题，通常是已知函数的最值求函数关系式中字母的值的问题解决时应利用函数的极值与最值相比较，综合运用求极值、最值的方法确定系数的方程(组)，解之即可解显然a0.f(x)3ax

4、212ax3ax(x4)令f(x)0，解得x10，x24(舍去)(1)当a0时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1,0)0(0,2f(x)0f(x)最大值所以当x0时，f(x)取得最大值，所以f(0)b3.又f(2)16a3，f(1)7a3，f(1)f(2)所以当x2时，f(x)取得最小值，即16a329，a2.(2)当af(1)所以当x2时，f(x)取得最大值，即16a293，a2.综上所述a2，b3或a2，b29.点拨点拨本题运用了求极值、最值的方法，采用了待定系数法本题运用了求极值、最值的方法，采用了待定系数法确定确定a，b的值，体现了方程的思想和分类讨论的思想的值，体

5、现了方程的思想和分类讨论的思想 32().121 2.fxaxxbxabRg xfxfxfxg xg x(2010重庆）已知函数其中常数、，是奇函数求的表达式；讨论【变式训的单调性，并求在区间 ， 上的最大值和练最小值】.34g(2)324)2g( 2x 31 -g(x)2( . 31 -f(x) 0b31 -a g(x) - g(-x)1g(x)g(x)xxx323小大；，下略）可，恒成立。）由奇函数（参考：自主练习：自主练习：思考讨论：思考讨论：思考讨论：思考讨论：3( )31f xaxx1,1x ( )0f x a【解析解析】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用本小题考查函数单调性

6、及恒成立问题的综合运用, 体现了分类讨论的数学思想。要使之恒成立，只要在体现了分类讨论的数学思想。要使之恒成立，只要在 上上求求f（x）最小值即可。）最小值即可。对于对于总有总有成立，则成立，则= 。1 ,1x22( )333(1)fxaxax010a ( )31f xx min( )20f x 020a 22( )333(1)0f xaxax ( )f xmin( )(1)2 02f xfaa 当当时，时，所以，所以，不符合题意，舍去不符合题意，舍去当当时时，即即单调递减单调递减， ，舍去。舍去。030a 1( )0fxxa 111aa( )f x11,a1,1a11,aamin1( )mi

7、n( 1),()f xffa( 1)400411()120faafaa ( )fx1,1x min( )(1)202f xfaa当当时时(1)当当时时在在和和 上单调递增，在上单调递增，在上单调递减。所以上单调递减。所以时时在在上单调递减，上单调递减，不符合题意，舍去。，不符合题意，舍去。(2)当当111aa综上可知：综上可知：a=4.零。）前提必须大于或等于（）与（另注：可求。讨论）（；）（由）谁最小即可。（）与（）小，故只比较（）比（：结合图像可知说明1-fa1f*a12-1a1f4-a1-f1-fa1f1fa1f30导数与不等式恒成立的解题方法利用导数证明不等式恒成立，就是利用不等式与函

8、数之间的联系，将不等式部分或全部投射到函数上，直接或等价变形后，结合不等式的结构特征构造相应的函数，通过导数运算判断出函数的单调性，然后求出函数在给定区间上的最值，问【点评】题得解.解：（解：（I I） （ ），），当当x=-tx=-t时，时，f(x)f(x)取最小值取最小值f(-t)=-f(-t)=-t3+t-1,t-1,即即h(t)=-th(t)=-t3 3+t-1.+t-1.(II)(II)令令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-tg(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3 3+3t-1-m,+3t-1-m,由由 =-3t=-3t2 2+3=0+3=0得得t=1,t=-1t=1,t=-

9、1（不合题意，舍去）（不合题意，舍去）. .当当t t变化时变化时 、g(t)g(t)的变化情况如下表：的变化情况如下表：t t(0,1)(0,1)1 1(1,2)(1,2)+ +0 0- -g(t)g(t)递增递增极大值极大值1-m1-m递减递减g(t)g(t)在（在（0 0，2 2）内有最大值）内有最大值g(1)=1-mg(1)=1-mh(t)-2t+mh(t)-2t+m在（在（0 0，2 2）内恒成立等价于）内恒成立等价于g(t)0g(t)0在（在（0 0，2 2）内恒成立，）内恒成立，即等价于即等价于1-m01-m1m1)( tg)( tg)(tg小小结：结：片片7-9题型，方法。（应

10、用题）题型，方法。（应用题） 321P32A3 ,131,51f xxaxx aRxf xf xxf xRa、课本页 组62、已知函数若是函数的极值点，求在的最大值和最小值；若函数是 上的单调递增函数，求实数 的取 值范围.（1,2） 32().121 2.fxaxxbxabRg xfxfxfxg xg x(2010重庆）已知函数其中常数、，是奇函数求的表达式；讨论【变式训的单调性，并求在区间 ， 上的最大值和练最小值】练习练习P32A组组6T，三维。，三维。3.参考：.34g(2)324)2g( 2x 31 -g(x)2( . 31 -f(x) 0b31 -a g(x) - g(-x)1.

11、3g(x)g(x)xxx323小大；，下略）可，恒成立。）由奇函数（.3,3-a)2(.1-;19;5)1.(2)1()5(ffa小大( (本小题满分本小题满分1414分分) ) 已知函数( )lnfxxx.（1）讨论关于( )0 xf xm的方程的解的个数 )()2(2afxafxg)()(0 xgxfax时，（2）设，求证：（略解）（略解）（1）方程即 mxf ln1, (0)fxxx 0 xfex1,令得： 为增函数时，为减函数；当时，当xfxfexxfxfex, 0,1, 01, 0，所以 ，取唯一的极小值时，当exfex1-10 x 0( )0f xf x且 当时,1me 时，无解；

12、10mme或时，一解；10me时， 两解.所以方程当 afxafxfxgxfxF 22aaxaxaxxln2lnln（2）设 ，（2）设 ，可求得 xaxxaxxF2ln) 12(ln1ln，, 020 xaxax时，12xax 0 xF当 ，当 即F（x）在),(a, 0)()F(0aFxax时，上单调递增，且F（a）=0。 . 所以，)()(xgxf即 2fx=x+1 ln x-x+1.1xfxx+ax+1a2x-1 fx140.已 知 函 数若， 求的 取 值 范 围 ；证 明 ：讨 论 ： (本 题分 ） 21f x=ln x+xf xx +ax+1x1ln x-xagx =ln x-

13、xgx =-1.xix1gx0;ii)1gx0,x=1gxa-1gxg1+=-1），题设，令 （ ）（ ）当0（ ）当x（ ）即是 （ ）的最大值点，综上：，解：（ ）（ ）.。）1 gxg1 =-ix1fx = x+1 ln x-x+1=x ln x+0ii)1fx = ln x+ x ln x-x+1 = ln x+1x lnl*lnx-x+1nx-x1ln-+1xxx+-1 = ln x-.+x0.x由上知 （即10）（ ） 1，）当0当x，综上2）1 x = x-1 f xF，导思考：令数求证。 1x ln x+1f x=ln x+=, x0 xxh x =x ln x+1, x0h

14、x=ln x+1, x01110 x=h x=h=0 x0eeeh x0f x0f x0 +ix1f xf 1 =0 x-10ii)1f xf 1 =0 x-10易最小另2） 由上1）知，令界点 ，时，时，即在，递增。则）当0；成立；当x；成立。综上：.221201213fx =x +aln x a2)1f1x+2y+3=0afxln xIII)fxfxxfx-2e=exaRIII记 （ ） 为函数 （ ）的导函数，若关于 的方程 （期末:满分）已知函数 （ ）。若函数再点P）（ ， （ ）处的切线与直为自然对数的底数）有且线垂直，求 的仅有两个不同值；）求函的实根，求数 （ ）的的取单调区间；值范围。2222+max)a=1ax +a)fx=x+=xxa0）分注时