函数的幂级数展开式(1)课件

1、1第五节第五节 函数的幂级数展开式函数的幂级数展开式 nnnxaxf 0)( 求幂级数求幂级数, 在其收敛域内以在其收敛域内以 f (x) 为和函数为和函数函数函数的幂级数展开的幂级数展开。问题问题:2.如果能展开如果能展开, 是什么是什么?na3.展开式是否唯一展开式是否唯一?1. f (x)在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数?nnnxxaxf)()( 00 或或麦克劳林展开式麦克劳林展开式 泰勒展开式泰勒展开式 2函函数数)(xf能能展展开开成成幂幂级级数数 0nnnxa的的必必要要条条件件是是)(xf在在点点0 x处处有有任任意意阶阶导导数数，且且系系数数 定理定理

2、, )0(0fa ,! 1)0(1fa ,! 2)0(2fa ,!)0()(nfann 证证设设函函数数)(xf能能展展开开成成幂幂级级数数 0nnnxa， 于于是是存存在在0 r使使得得 22100)(xaxaaxaxfnnn)| (rx 3这这表表明明)(xf是是幂幂级级数数 0nnnxa在在),(rr 内内的的和和函函数数， 在在上上式式中中令令 0 x，即即得得在在0)0(af . . 利用幂级数的和函数在其收敛区间内可任意阶利用幂级数的和函数在其收敛区间内可任意阶求导的性质，求导的性质，又又可可得得出出)(xf在在),(rr 内内有有任任意意阶阶导导数数， 11)(nnnxnaxf)

3、| (rx )| (rx 22100)(xaxaaxaxfnnn1! 1)0(af ! 1)0( 1fa 4 11)(nnnxnaxf)| (rx )| (rx 22100)(xaxaaxaxfnnn! 1)0( 1fa 22)1()(nnnxannxf)| (rx 2! 2)0(af ! 2)0( 2fa 33)2)(1()(nnnxannnxf)| (rx 3! 3)0(af ! 3)0( 3fa 5)| (rx 22100)(xaxaaxaxfnnn归纳可得，归纳可得，!)0()(kfakk )2 , 1 , 0( k即得即得, )0(0fa ,! 1)0(1fa ,! 2)0(2fa

4、,!)0()(nfann 6函函数数)(xf能能展展开开成成幂幂级级数数 0nnnxa的的充充分分条条件件是是 定理定理,0)(lim xRnnDx 其其中中 D 是是幂幂级级数数 0)(!)0(nnnxnf的的收收敛敛域域， 2!2)0(!1)0()0()()(xfxffxfxRnnnxnf!)0()( 称为称为n阶余项阶余项. . 71 1. . 求求出出0 x处处的的函函数数值值及及各各阶阶导导数数值值 )0(f, ,)0(f , ,)0(f , ,),0(,)(nf； 0)(!)0(nnnxnf函数函数 f( (x) ) 展开成幂级数展开成幂级数 具体步骤：具体步骤：2. 2. 写出写

5、出幂幂级数级数 ，并求其收敛域，并求其收敛域 D. . 0)(!)0(nnnxnf3 3. . 考考察察0)(lim xRnx在在 D 上上是是否否成成立立。 0)(!)0()(nnnxnfxf)(Dx 如果是如果是, ,则则 f( (x) )在在 D上可展开成上可展开成麦克劳林麦克劳林级数级数 8基本展开式基本展开式,! 5! 3! ) 12() 1(sin53012 xxxnxxnnn,! ! 21! e20 nxxxnxnnnx),( x),( x,! 4! 21! )2()1(cos4202 xxnxxnnn),( x,32)1()1ln(3211 xxxnxxnnn1, 1( x9收

6、敛域为收敛域为: : 0 : 1, 1 01 : 1, 1( 1 : )1, 1( 2! 2)1(1)1(xxx nxnn! )1()1( ( ( n 不为正整数不为正整数) )此外还有此外还有,110 nnxx)1, 1( x10 一般用间接法一般用间接法: : 根据展开式的唯一性根据展开式的唯一性, 利用已知利用已知展开式展开式, 通过通过变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求逐项求导导, 逐项积分逐项积分等方法等方法, 求展开式求展开式 .例例1 1将将2e)(xxf 展开成展开成x的幂级数的幂级数. . ,! e0 nnxnx),( x所以所以 02! )(

7、e2nnxnx,! )1(02 nnnxn),( x11将将2eech)(xxxxf 展展开开成成x的的幂幂级级数数. . 例例2 2解解,! )1(! )(e00 nnnnnxxnnx ! )2(!4!21! )2(ch24202nxxxnxxnnn,! e0 nnxnx),( x),( x所以所以),( x12,! 5! 3! ) 12() 1(sin53012 xxxnxxnnn),( x,! 4! 21! )2()1(cos4202 xxnxxnnn),( x例例3 3两边求导两边求导, 得得13将将)1ln()(xxf 展展开开成成x的的幂幂级级数数. . 因因为为xxf 11)(

8、两两边边从从 0 0 到到x积积分分, ,得得 011)1()1ln(nnnnxx 11)1(nnnnx, , 上上式式对对1 x也也成成立立, ,故故收收敛敛域域为为 1 , 1( x, , 例例4 4解解， 0)(nnx1| x14将将xxfarctan)( 展展开开成成x的的幂幂级级数数. . 因因为为 211)(xxf 02)(nnx, , 两两边边从从 0 0 到到x积积分分, ,得得 上上述述幂幂级级数数在在1 x处处也也收收敛敛, ,且且xarctan在在1 x处处有有定定义义且且连连续续, ,所所以以上上述述展展开开式式成成立立的的范范围围为为 例例5 5解解 5312)1(a

9、rctan53012xxxnxxnnn1 , 1 x1| x15将将xxf2cos)( 展展开开成成x的的幂幂级级数数. . 例例6 6解法解法1 1)2cos1(21cos2xx ,! 4! 21! )2()1(cos4202 xxnxxnnn),( x 02! )2()2()1(2121nnnnx,! )2(2)1(11212 nnnnxn),( x16 012! )12()2()1(nnnnx, 两两边边从从 0 0 到到x积积分分, ,得得 0222! )22()2()1(211cosnnnnxx xx2sin)(cos2 所以所以将将xxf2cos)( 展展开开成成x的的幂幂级级数数

10、. . 例例6 6解法解法2 2),( x 12! )2()2()1(21nnnnx,! )2(2)1(1212 nnnnxn,! )2(2)1(1cos12122 nnnnxnx),( x17将将341)(2 xxxf展展开开成成x的的幂幂级级数数. . )3)(1(1 xx 311121xx 3/1161)1(21xx 003)1(61)1(21nnnnnnxx 036121)1(nnnnx, , 例例7 7解解341)(2 xxxf1| x18将将)34ln()(2xxxf 展展开开成成x的的幂幂级级数数. . 例例8 8解解)34ln()(2xxxf )1)(4ln(xx )1ln()

11、4ln(xx )1ln()41ln(4lnxx ,32)1()1ln(3211 xxxnxxnnn1, 1( x 11)1(414lnnnnnnxnxn,4)4(14ln1 nnnnxn1, 1( x19.1lnarctan)(2克劳林级数克劳林级数展开成麦展开成麦将将xxxxf 例例9 9解解221arctan1)(xxxxxxf )11( x xxxx02d11arctan又又 xnnnxx002d) 1(，xarctan ,12)1(012 nnnnx 022)22)(12()1(nnnnnx xnnnxnxxf0012d12)1()( 故故)11( x,)12(2)1(121 nnnn

12、nx20 以上讨论的均为麦克劳林级数，下面讨论一下以上讨论的均为麦克劳林级数，下面讨论一下一般的泰勒级数：一般的泰勒级数： 000)()(!)(nnnxxnxf其收敛域为其收敛域为D， 并并要要求求余余项项0)(lim xRnx在在 D上上成成立立， nnxxnxfxf)(!)()(00)( )(Dx 则则)(xf在在0 xx 处处的的泰泰勒勒展展开开式式为为 一般利用麦克劳林级数间接展开。一般利用麦克劳林级数间接展开。21将将xxf 41)(展展开开成成) 1( x的的幂幂级级数数. . 收收敛敛域域: : 51 x, , 即即)6, 4( x. . 例例1010解解x 41511151 x

13、151 x 0)51(51nnx,)1(5)1(01 nnnnx22将将xxfsin)( 展展开开成成)4( x的的幂幂级级数数. . )4cos()4sin(21 xx 02012! )2()4()1(21! )12()4()1(21nnnnnnnxnx 0122! )12()4(! )2()4()1(21nnnnnxnx , , 例例1111解解)44sin(sin xx),( x23例例1212解解11 x，2111231)(2 xxxxxf， 03431nnx；134 x将将函函数数231)(2 xxxf展展开开为为( (4 x) )的的幂幂级级数数. . 而而341131 x， 02421241121)4(2121nnxxxx)4(31 x24， 011)4(3121)( nnnnxxf)2, 6( x， 0343111nnxx；134 x， 0242121nnxx；124 x例例1212解解将将函函数数231)(2 xxxf展展开开为为