函数的单调性与曲线的凹凸性(3)课件

1、 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性1函数单调性的判别法函数单调性的判别法函数单调区间的求法函数单调区间的求法小结小结 思考题思考题 作业作业 6.4 函数的单调性与函数的单调性与 曲线的凹凸性曲线的凹凸性曲线凹凸性的判别法曲线凹凸性的判别法曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法第第6章章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性20)( xf0)( xf定理定理6.8, 0)(),()2( xfba内内如如果果在在单调增加单调增加;单调减少单调减少.一、函数单调性的判别法一、函数单调性的判别法xyO

2、abAB)(xfy xyO)(xfy abAB设函数设函数y = f (x)在在a, b上连续上连续,在在(a, b)内可导内可导.那末函数那末函数y = f (x)在在a, b上上那末函数那末函数y = f (x)在在a, b上上, 0)(),()1( xfba内内如如果果在在 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性3证证,21baxx ,21xx 且且 拉氏定理拉氏定理)()()(1212xxfxfxf , 0)( f则则),()(12xfxf , 0)( f则则),()(12xfxf )(21xx , 0)( xf, 0)( xf(1)(2) 此定理不论对于开、闭、

3、有限或无穷此定理不论对于开、闭、有限或无穷区间都正确区间都正确.注注若在若在(a, b)内内,若在若在(a, b)内内,因为因为所以所以y = f (x)在在a, b上单调增加上单调增加;因为因为所以所以y = f (x)在在a, b上单调减少上单调减少. 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性4例例解解.1e的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xyx. 1e xy,)0,(内内在在 , 0 y,), 0(内内在在 , 0 y.), 0单单调调增增加加函函数数在在 ).,( 定义域为定义域为;0,(单调减少单调减少函数在函数在 因为因为所以所以所以所以 6.4 函数的单调性

4、与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性5方法方法不不存存在在的的根根及及用用方方程程)(0)(xfxf 问题问题如上例如上例, 函数在定义区间上不是单调的函数在定义区间上不是单调的,若函数在其定义域的某个区间内是单调的若函数在其定义域的某个区间内是单调的,然后判定区间内导然后判定区间内导数的符号数的符号.的的分界点分界点二、函数单调区间的求法二、函数单调区间的求法但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调.则该区间称为函数的则该区间称为函数的单调区间单调区间. .导数等于零的点和不可导点导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间可能是单调区间的点划分函数的点划分函数f (x)的定义区间的定义

5、区间, 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性6例例解解的的确确定定函函数数31292)(23 xxxxf12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx, 11 x. 22 x).,(定义域定义域)1 ,( )2 , 1(), 2( x)(xf)(xf 单调区间为单调区间为,1 ,(,2 , 1 )., 2 xyO1122,0)(得得解解方方程程 xf单调区间单调区间. 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性7例例解解.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf )0(,32)(3 xxxf,0时时当当 x单调减少区间为单调减少区间为,0 ,

6、( )., 0 32xy )0,(), 0( x)(xf)(xf ).,( 定义域定义域xyO单调增加区间为单调增加区间为导数不存在导数不存在. 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性8区间内有限个或无穷多个离散点处导数为零区间内有限个或无穷多个离散点处导数为零,如如,3xy , 00 xy上上但但在在),( 注注不影响区间的单调性不影响区间的单调性.单调增加单调增加.3xy 又如又如,内内在在),(sin xxy可导可导, 且且xycos1 等号只在等号只在), 1, 0()12( kkx(无穷多个离散点无穷多个离散点)处成立处成立,故故),(sin 在在xxy内内单调

7、增加单调增加., 0 xyO 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性9例例证证.)1ln(,0成成立立试试证证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则则,), 0(,), 0)(可可导导且且上上连连续续在在 xf;), 0上上单单调调增增加加所所以以在在 , 0)0( f,0时时所所以以当当 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即, 0)( xf, 0)0()( fxf因为因为因为因为 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性10例例证证xxxfxsine21)(2 设设xxxfxcose)( , 0)(, 10 xf

8、x.1 , 0)(上单调增加上单调增加在在所以所以xf 定不出符号定不出符号0)0( f且且0)0( f且且.1 , 0)(Cxf 0 .21sine, 102xxxx 证明证明xxfxsine1)( 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性11 )(,10 xfx有有时时当当0sine212 xxx,10时时当当 x, 0)(, 10 xfx.1 , 0)(上上单单调调增增加加在在所所以以xf )(xf有有)0(f . 0 .1 , 0)(Cxf )0(f. 0 xxxfxcose)( 即即xxxfxsine21)(2 上上单单调调增增加加在在1 , 0)(xf .21s

9、ine2xxx 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性12证证.), 111)(上单调增加上单调增加在在证明证明 xxfx若令若令 xxg11ln)(x,11ln xx则只须证明则只须证明g(x)单调增加单调增加. xxxg11ln)(而而xxx 11ln)1ln( 拉氏定理拉氏定理,1ln)1(ln xx),1,( xx xxg 111)( 0 )0( x g(x)单调增加单调增加.从而从而.), 1 )(上单调增加上单调增加在在xf 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性13考研数学考研数学(一一, 二二) 12分分).(e4lnln,ee222

10、2ababba 证证明明设设证证 法一法一,e4ln)(22xxx 设设则则,e4ln2)(2 xxx ,ln12)(2xxx 所以所以,e时时当当 x, 0)( x )(x 故故单调减少单调减少, 从而从而,ee2时时当当 x)e ()(2 x,ee2时时即即当当 x)(x 单调增加单调增加.,ee2时时当当 ba因此因此),()(ab 即即,e4lne4ln2222aabb 故故).(e4lnln222abab , 0e4e422 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性14).(e4lnln,ee2222ababba 证证明明设设证证 法二法二x2ln对函数对函数,l

11、n)(ttt ,ln1)(2ttt ,e时时当当 t, 0)( t 所以所以)(t 单调减少单调减少,从而从而).(e4lnln222abab 在在a, b上应用拉氏定理上应用拉氏定理, 得得),(ln2lnln22abab . ba 设设则则),e ()(2 即即22eelnln 即即,e22 考研数学考研数学(一一, 二二) 12分分 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性15考研数学考研数学(一一, 二二) 选择题选择题4分分设函数设函数 f (x)连续连续, 0)0( f且且则存在则存在, 0 使得使得.), 0()()A(内单调增加内单调增加在在 xf.)0 ,

12、()()B(内单调减少内单调减少在在 xf).0()(), 0()C(fxfx 有有对对任任意意的的 ).0()()0 ,()D(fxfx 有有对任意的对任意的 Axfxffx 0)0()(lim)0(0设设, 0 ,2A 对对, 0 ,0时时当当 x20)0()(AAxfxf 有有23)0()(2AxfxfA 即即).0()(fxf 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性16(concave and convex)三、三、曲线曲线凹凸凹凸性的判别法性的判别法1. 定义定义如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向xyOABC 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单

13、调性与曲线的凹凸性17)(xfy )(xfy 1x2x1x2x定义定义6.1,)(baCxf 设设,2)()()2(2121xfxfxxf 恒有恒有凹凹2)()()2(2121xfxfxxf (凸凸)221xx 221xx 图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的下方位于所张弦的下方图形上任意弧段图形上任意弧段位于所张弦的上方位于所张弦的上方xyOxyO如果对如果对(a, b)内任意内任意两点两点x1, x2,那么称那么称f (x)在在(a, b)内的图形是内的图形是 的的. 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性18)(xfy )(xfy 曲线弧上每一点的切线都在曲线的

14、曲线弧上每一点的切线都在曲线的下下或或定义定义 (上上)方方,称为称为凹凹 弧弧. .(凸凸)凹凹弧的曲线段弧的曲线段)(xf 即即 f (x)的切线斜率是单增的的切线斜率是单增的,是单增的是单增的,弧的切线斜率是单减的弧的切线斜率是单减的,)(xf 即即是单减的是单减的. .而凸而凸利用利用二阶导数二阶导数判断曲线的判断曲线的凹凸性凹凸性从几何直观上从几何直观上, 随着随着x的增大的增大,xyOxyO 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性19递增递增)(xf 0)( xf递递减减)(xf 0)( xf定理定理6.96.9具有具有二阶导数二阶导数,0)( xf若若),0

15、( 凹凹(凸凸)2. 凹凸性的判别法凹凸性的判别法xyOabAB)(xfy xyOabAB)(xfy 如果如果 f (x)在在a, b上连续上连续, 在在(a, b)内内在在(a, b)内内,在在a, b上的图形是上的图形是 的的.则则 f (x) 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性20证证20000)(! 2)()()()(xxfxxxfxfxf )(0之之间间与与在在xx )()()(000 xxxfxfxf即即)()()(000 xxxfxfxf 这说明切线位于曲线的下方这说明切线位于曲线的下方,),(0bax 任任取取 泰勒公式泰勒公式),(bax 处的切线处

16、的切线在在曲线曲线0)(xxfy 0 20)(! 2)(xxf 即即f (x)是凹的是凹的. .),(bax 0)( xf若若 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性21)1, 0, 0(2)(21 nyxyxyxyxnnnnttf )( )(tf )(tf)()(21yfxf 即即.2)(21nnnyxyx 例例证证,1 nnt2)1( ntnn0 yxt,0内内任任意意两两点点对对 2yxf)0( t设设图形是图形是凹的凹的.利用函数图形的利用函数图形的凹凸性证明不等式凹凸性证明不等式: 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性22例例.3的的凹凹

17、凸凸性性判判断断曲曲线线xy 解解,32xy 因为因为,6xy ,0时时当当 x, 0 y;0,(为为凸凸的的在在所所以以曲曲线线 ,0时时当当 x, 0 y.), 0为为凹凹的的在在所所以以曲曲线线 注注 凸凸变变凹凹的分界点的分界点.3xy xyO 点点(0, 0)是曲线由是曲线由 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性23考研数学考研数学(一一,二二, 三三,四四)填空填空4分分设函数设函数 y = f (x)具有二阶导数具有二阶导数, 0)( xf且且yyxxxxfd, 0)(0与与处的增量处的增量在点在点为自变量为自变量 , 0 x若若分别为分别为 f (x)在

18、点在点x0处对应的增量与微分处对应的增量与微分,则则.d0)A(yy .d0)B(yy . 0d)C( yy. 0d)D( yyxyO)(xfy T0 xMxx0 N y ydQx 0)(d xxfy 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性241. 定义定义连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的 拐点拐点. .几何上几何上四、曲线的四、曲线的拐点拐点及其求法及其求法(inflection point)拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. .3xy xyO 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性25,

19、)(0变变号号两两近近旁旁xfx ,)(0不变号不变号两近旁两近旁xfx 拐点的充分条件拐点的充分条件0)(0 xf且且2. 拐点的求法拐点的求法 拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处. .拐点的必要条件拐点的必要条件若若f (x)具有二阶导数具有二阶导数,则点则点. 0)(0 xf(1)(2)(x0, f (x0)是拐点的是拐点的必要条件为必要条件为(或或x0为二阶导数不存在的点为二阶导数不存在的点)设函数设函数f (x)在点在点x0邻域内邻域内二阶二阶可导可导,点点(x0, f (x0)即为即为拐点拐点;点点(x0, f (x0)不是不是拐点拐点. .

20、6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性26例例.95)2(235的拐点及凹、凸性的拐点及凹、凸性求曲线求曲线xxy 解解),( ,910)2(3532xxy .)2()2(19103131 xxy, 0 y令令, 31 x得得 不不存存在在的的点点y 不存在不存在定义域为定义域为(1)(2). 22 x(3) 列表列表x)2 ,( ), 3( )3 , 2(23)(xf )(xf 0拐点拐点拐点拐点)920, 2( )4, 3( 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性27例例.)2 , 0(cossin的的拐拐点点内内求求曲曲线线xxy 解解,sin

21、cosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令,431 x得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2 , 0),0 ,43(拐点的第二充分条件拐点的第二充分条件, 0)(0 xf且且,0)(0 xf而而.472 x).0 ,47(设函数设函数f (x)在在x0的邻域内的邻域内是曲线是曲线 y = f (x)的的拐点拐点. .三阶可导三阶可导,那末那末(x0, f (x0) 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性28例例.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,

22、0均均不不存存在在是是不不可可导导点点yyx , 0,)0 ,( y内内但但在在;0 ,(上上是是凹凹的的曲曲线线在在 , 0,), 0( y内内在在.), 0上上是是凸凸的的曲曲线线在在 .)0 , 0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性29证证 法一法一 用单调性证用单调性证.法二法二 用凹凸性证用凹凸性证.,2sin)(xxxf ,2cos)( xxf, 0)0( f又又, 0)( xf因因此此.2sinxx .2sin,20:xxx 时时当当证明不等式证明不等式例例xxf

23、sin)( 设设则则, 0 , 0)2( f即即函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性 所以所以f (x)的图形是凸的的图形是凸的. 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性30函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性32)1(xxy 求求例例的单调区间、凹凸区间和拐点的单调区间、凹凸区间和拐点.解解,3235xxy 31323235 xxy)52(3531 xxyx 处处0不存在不存在,处处52 x. 0 y y),51(91034 xx343192910 xx,51处处 x. 0 y 不存在不存在x)51,( 0y 拐点拐点)2556,51(3

24、 y y51 )0 ,51( )52, 0(52),52( 0 0 单调增加区间单调增加区间),52()0 ,( 及及单调减少区间单调减少区间)52, 0(凸区间凸区间凹区间凹区间)51,( )., 0()0 ,51( 和和 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性31考研数学考研数学( 三三,四四)10分分设函数设函数 y = y (x)由方程由方程0ln yxyy确定确定,试判断曲线试判断曲线 y = y (x)在点在点(1,1)附近的凹凸性附近的凹凸性.解解0ln yxyy在在两边对两边对x求导得求导得, 012ln yyy解得解得,ln21yy 两边对两边对x再求导

25、得再求导得,)ln2(2yyyy 代入得代入得将将y ,)ln2(13yyy 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性32考研数学考研数学( 三三,四四)10分分设函数设函数 y = y (x)由方程由方程0ln yxyy确定确定,试判断曲线试判断曲线 y = y (x)在点在点(1,1)附近的凹凸性附近的凹凸性.,)ln2(13yyy 代入得代入得将将1, 1 yx.81)1( y由于二阶导函数由于二阶导函数1 xy 在在的附近是连续函数的附近是连续函数,所以由所以由,81)1( y1 x可知在可知在的附近的附近, 0 y故曲线故曲线 y = y (x)在点在点(1,1)

26、附近是凸附近是凸. 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性33五、小结五、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要单调性的单调性的应用应用:改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点: :凹凸性凹凸性;拐点拐点;利用函数的单调性可以确定某些方程实根利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式的个数和证明不等式.研究曲线的弯曲方向研究曲线的弯曲方向: :凹凸性凹凸性的的应用应用: 利用利用凹凸性凹凸性证明不等式证明不等式.应用应用. 6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性34证证 只要证只要证.lnlnbaab 令令,lnln)(xaaxxf ax 则则0)( afxaaxf ln)(xa 1,时时当当ax ,)(时单调增加时单调增加在在axxf 所以所以,时时当当ab )()(afbf 即即有有, 0lnl